奇思妙想巧運算
——學生數學運算素養培養的實踐與思考

江西省南昌市東湖區教研中心 (330008)

周 蓉

奇思妙想巧運算
——學生數學運算素養培養的實踐與思考

江西省南昌市東湖區教研中心 (330008)

周 蓉

“奇思妙想巧運算”是南昌市第八屆園丁杯初中數學指定課題.在談論教育立德樹人，培養學生核心素養如火如荼的今天，選擇一個這樣的比賽課題既基于《義務教育數學課程標準(2011版)》中的十個核心概念“數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創新意識”的數學素養培養意義，也對接高中課程標準修訂組按照內涵、價值和表現的框架提出的六條數學核心素養“數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象、數據分析”培養目標.那么怎樣踐行“數學運算”，如何在中學起始年級培養學生“數學運算”核心素養，怎樣在數值運算、代數運算中讓學生體會“數學運算”是滿足學生終身發展和社會發展所必備的、關鍵的數學素養，如何扣緊課題在運算中體現“奇思妙想”和“巧”的價值是這節課的重點和難點.經過研究、思考，筆者把巧定位在了追求算理算法之巧——不盲目運算，培養觀察的角度，研究運算的合理性，尋找一般性方法，培養學生的一般性能力.

一、教學回顧(擇其過程略講)

1.情境引入，激發思考

教師用動畫片形式《大雄的煩惱》設計了大雄在運算中遇到的困惑，感受到有理數巧運算思維的艱難，并形成數學思考，引入課題，引導學生思考“機器貓”倒序相加方法巧的探尋方式和運算奧妙.

設計意圖：倒序相加是高中數列求和的內容，本節課設計這個引入立意不是讓學生用“高級”的運算方法去解決初中可能遇到的問題，而是讓學生體驗運算中蘊含的“數感”，在發展數感的基礎上夯實運算能力.

2.實踐探索，感悟提升

體驗一：列舉一些課本已學經驗中的巧運算，看誰算的又快又準.其中方法主要有湊整、分類、運用加法、乘法公式等.

設計意圖：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程.在這組題中，學生實際經歷理解(運算對象)、掌握(運算法則)、選擇(運算方法)、計算(運算結果)等步驟.學生的速度和準確度區別就是運算能力的高下區別，個體在思考問題時在數學方面的自覺意識或思維習慣反映出學生的數學意識.

體驗二：未知情況下尋巧之路的行與思.

例1 計算：15+196+1997+19998+199999.

變式：計算0.9+0.99+0.999+0.9999.

例4 計算2+22+23+…+2100.

設計意圖：《高中數學課程標準(2016試行稿)》中提出：數學運算是數學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段.在學生運算能力的培養過程中，題目只是個載體，它承載的是培養學生數感、數學意識的發展作用.學生的數學意識，它包括數的意識，如對數的意義的理解；用數進行交流；算法的選擇；數值的估算與解釋等.從這些有規律的數字運算中引發“奇思妙想”，體會巧需要發現和建構，讓學生在轉化中漸悟其巧.運算的轉化是從復雜的運算背景向簡明的運算結果推理逼近的一個過程.

3.課堂小結，課外延伸

師生共同歸納得出奇思妙想尋巧之路的“腦電圖”可以總結為：觀察問題的特征；喚醒已有學習經驗；構思巧算的策略；沉淀學習的積累.

教師分三個層面布置課外作業：

放飛性作業：推薦兩本課外閱讀書：《數學.啟迪智慧》，張國棟.中國文史出版社；《奇思妙想學數學》，格雷斯.馬卡羅內.外語教學與研究出版社.

設計意圖：給學生創造直觀思維的機會，給學生的“悟”留有充分的時間和空間.課堂的小結是方法的提煉，而學生真正運算能力的提高還需要其它各方面數學能力的共同提高.“放飛性”作業的布置就是基于此想.

二、課例特點分析

《義務教育數學課程標準(2011年版)解讀》中關于運算能力有這樣的解讀：根據一定的數學概念、法則和定理，由一些已知的量得到確定結果的過程，稱為運算.能夠按照一定的程序和步驟進行運算，稱為運算技能.不但會根據法則、公式等正確地進行運算，而且理解運算的算理，能夠根據題目條件尋求正確的運算途徑，稱為運算能力.本節課上，運算能力的培養體現在師生一系列的分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，確定運算程序，包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算以及實施運算和計算的技能培養方面.

筆者給出的第二組例題，教學中不是在教學生尋找特殊運算的技巧，因為這種技巧在計算機時代屬于小境界小視野.而是強調觀察，在普遍性的數字中，不盲目運算，(通過觀察)探尋合理的運算方向、選擇運算程序、調整運算策略，從方法考慮運算的合理性、一般性.當然，運算設計上還是有不足，比如例1中的加數依次比10的倍數少5、4、3、2、1，思維導向的痕跡太重，生活實踐中幾乎是不存在這樣的數的.我們應該理解任何一個數都可以分成兩部分：主體部分、次要部分，寫成(a+b)的形式，數學中的巧不是數字之巧而是思維之巧.而例4的學習過程，這是最難構造的一道題，這道題和高中的數列知識相銜接，從知識的角度和方法的教學看是一道好題，這道題需要老師放慢一些.而放慢則時間不足，快則成了操練，在同課異構“有理數的巧運算”中，我們多看到的是思維太少，操練太多.從中西教學此題比較來看，美國嫌太慢，中國則太快.這道題真正自己發現、想到方法是一個很難的過程，需要足夠長的時間，中國孩子多是學過，而不是發現.在這類題上，知識和技能可教，真正自己觀察、尋找到方法卻是非常之難.而教學中我們要培養什么？方法背后的思維！養成觀察方法，研究算的合理性，從一般的方法中去選擇.我們常說理解數學知識的三重境界是“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”——啟發學生，示以思維之道耳！

三、運算能力與其它數學素養的融合

學生的學科素養是一個綜合培養的過程，運算素養的培養我們還能走得更遠嗎？能.以例4舉例，我們借助數學圖形，建立數學模型，用邏輯推理的方法進行思考，給出變式練習.

圖1

實驗操作過程：取一張正方形紙片，設它的面積為1.

第3次折疊，把上次折疊圖中空白部分的面積繼續三等分，……；

圖2

從解析的過程看，數形結合、轉化起了關鍵的作用.我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”.在數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透.

從最廣泛的意義上來理解數學的話，它就是研究兩個問題：數和形.數與形是數學大廈最深處的兩塊奠基石，它們之間有著十分密切的聯系，全部數學都是圍繞數和形的提煉、演變、發展而展開的.兩者在內容上互相交叉，在方法上相互滲透、補充、并在一定條件下互相轉化，這兩種形式的轉化，數學中叫做數形結合.在數學教學中培養學生數形互相轉化的觀念、意識具有重要的意義.

四、結束語

運算能力的培養從來都不是一朝一夕的.我們不指望用一節課去培養學生的一種能力，但我們希望能用一節課去培養學生一種選擇運算方法的能力的意識.優秀學生的“會運算”是因為他們能通過觀察問題的特點，迅速抓住問題的本質，產生聯想，發現解決問題的途徑或者選擇最優的解題方案.筆者在本課時資源上設置不同類型的巧，就是希望有不同的數學模型，讓學生經歷這種觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證的活動，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法.