平常題“非常”運用提升學生核心素養
——一道高三模擬試題教學為例

浙江省上虞市城南中學 (312300)

王春霞

平常題“非常”運用提升學生核心素養
——一道高三模擬試題教學為例

浙江省上虞市城南中學 (312300)

王春霞

數學核心素養主要包含數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六方面.培養學生的核心素養是新課改的主旋律，也是新型課堂模式的基本要求.在高三的模擬卷中，不少試題看似平凡，但深入研究則是富有內涵、具有良好教學價值的好題.在教學過程中若能對此類好題展開多角度審視、多方位變式拓展，變“習題”為“問題”，變“問題”為“課題”，變“講授”為“悟道”，讓學生自己探索研究問題的路徑，給學生留足思考空間，讓學生經歷完整的獲得對象——研究性質——應用拓展過程，使學生學會思考，實現能用數學的方式認識問題和解決問題.這樣就能讓學生從整體上把握高中數學的核心內容、了解知識發展脈絡、透析數學思想方法、洞察解題基本規律，促使學生的數學素養得到提升，幫助學生從學習數學的“苦海”中解脫出來，使他們在高考中獲得成功.

此題來源于筆者所用高三復習綜合測試卷,定弦定角是解不定型三角形比較典型、常見的一類問題,雖然該題比較基礎，但基礎是素養的保證，是以后發展的基石，是高考考查的重點所在，因此筆者打算挖掘此題“可再生資源”，揭示該類題的背景和本質.

師：變式1中若確定A、C的位置，則B的運動軌跡是什么？

圖1

師：理解很對，如果不再給其他條件，我們可以研究哪些問題呢？請同學們思考.(學生思考時教師最好不要過多的提示，應該讓學生的思維得到充分發揮，3分鐘后請學生說說自己的想法.)

生2：a或c的范圍.

師：如何解決？

生3：其實a,c的范圍直接從圖上可以看出來，比如邊長a，當BC過圓心時最大值為4，當B,C趨向于重合時最小值為0，邊c也一樣.

師：很好！利用圖像簡潔明了，真是有圖有真相！

生4：既然a,c范圍可求，那么a±c，a·c范圍應該也可求.

師：以a+c為例，請同學試試(給學生5分鐘嘗試)

圖2

師：這種方法很好，結合圖像該三角形還有那些問題一目了然？

生8：面積的最大值，周長的最值等.

師：既然a±c，a·c范圍應該也可求，那么……

生9：有關角A,C的一些范圍問題也可以求得，比如sinA+sinC,sinA·sinC的取值范圍問題.

師：嗯，對！怎么想到的？

生9：由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,C=2RsinC,邊的范圍可求自然對應角的范圍也出來了.

師：那么a+λc(λ為常數)最值能求么？

師：那其他兩種方法呢？還適用么？

生11：好像不太好用，有變化.

師：那怎辦，此兩條思路該不該放棄？

生12：老師不用的！生6的方法只要改進一下就好，設a+λc=k,則a=k-λc,代入a2+c2-12=ac，得到(λ2+λ+1)c2-2kλc+k2-12=0,方程有解，判別式Δ≥0，可求得k的范圍.

師：非常棒！

圖3

生13：老師我覺得利用圖像也可行，如圖3，延長CB至D使得BD=λc,在△ABD中，AD2=a2+(λa)2-2·a·(λa)cos120°=(1+λ+λ2)a,∴∠ADP的余弦值可以用λ,a表示，設直線BC斜率為k,直線AD斜率可用k表示，兩直線相交求得D的坐標(用參數k表示)，消去參數就得D的軌跡方程.軌跡為圓，那么問題轉化為原點到圓上點距離的最大值.

師：叫我刮目相看！真是應驗了那句話“只有想不到的，沒有做不到的”.整理過程留給大家課后完成.

教室內頓時響起了熱烈的掌聲，教師把此題的探究又進一步引向深入，學生思維的火花照亮了課堂.

師：前面我們主要探討已知一角一對邊三角形的其余角邊范圍問題，下面請大家想想模擬試卷的問題還有哪些解決辦法？(由于有前面的鋪墊，學生很快得到如下解法.)

師：三角形中6個基本量，已知一角一對邊的不定型問題已經解決.解決此類問題主要利用正余弦定理進行角、邊互化，進而把問題轉化為函數最值范圍問題或者利用圖像解決.同學們還想探究什么問題呢？

學生討論，老師總結：兩角，兩邊及一邊一鄰角.兩角的問題比較簡單，不去研究了.一邊一鄰角問題課后研究.

師：如果已知三角形一個內角，此時的三角形又有什么值得我們研究的呢？

師：大家再試試看.

一道填空題，花費了整整一節課時間，盡管一張試卷的講解不能如期完成，但是學生的核心素養也得到提升，如通過對問題的一題多解、一題多變讓學生洞察問題的深層結構，形成優化的認知網絡，這種從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構就是在發展學生“數學抽象”的核心素養；又如引導學生探究B的運動軌跡的過程可促進發展學生的“直觀想象”核心素養；再如由a或c的范圍到a±c，a·c的范圍再到a+λc的范圍的探究過程可促進學生發展“邏輯推理”“數學運算”的核心素養.通過激烈討論，大膽猜想，小心求證；通過 “怎樣想到的”，“如何轉化”“有不同想法么”等一系列剝筍式的提問促使學生暴露其思維過程，讓學生不僅知其然，且知其所以然.正如G.波利亞說:“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目,去幫助學生挖掘問題的各個方面,使得通過這道題,就好像通過一道門戶,把學生引入一個完整的理論領域.”