圓錐曲線一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)的推廣
——兼談一個(gè)無(wú)效的證明

福建省莆田第五中學(xué) (351100)

陳燕花

圓錐曲線一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)的推廣
——兼談一個(gè)無(wú)效的證明

福建省莆田第五中學(xué) (351100)

陳燕花

文[1]由一道福州市質(zhì)檢試題得到了關(guān)于橢圓、雙曲線、拋物線的各兩個(gè)結(jié)論，即結(jié)論1-6，最后統(tǒng)一為關(guān)于圓錐曲線的一個(gè)性質(zhì)，即定理1、定理2.讀后頗受啟發(fā)，但也發(fā)現(xiàn)有兩點(diǎn)值得提出，一是關(guān)于橢圓的結(jié)論2的“證明”是無(wú)效證明，二是上述這些結(jié)論和定理可以進(jìn)一步推廣到更一般的情形.下面對(duì)此進(jìn)行探究.

先把文[1]的結(jié)論1、2抄錄如下：

注：文[1]是2016年度福建省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究課題《全國(guó)卷背景下數(shù)學(xué)高考高效復(fù)習(xí)方式的探究與研究》(編號(hào)MJYKT2016-194)的階段性研究成果.

一、結(jié)論2的“證明”是無(wú)效證明

顯然，上述“證明”是把結(jié)論“點(diǎn)Q與Q′關(guān)于x軸對(duì)稱”當(dāng)作條件來證明已知條件“P,F,Q三點(diǎn)共線”， 進(jìn)而無(wú)端得出結(jié)論“點(diǎn)Q與Q′關(guān)于x軸對(duì)稱”，陷入了“循環(huán)論證”的怪圈 ，這一證明是無(wú)效的！這里所證明的“P,F,Q三點(diǎn)共線”顯然是多此一舉，因?yàn)椤斑^點(diǎn)F的直線m(m與x軸不重合)交橢圓Γ于P,Q兩點(diǎn)”這一條件不就是“P,F,Q三點(diǎn)共線”嗎？況且由“P,F,Q三點(diǎn)共線”并不能直接得出“點(diǎn)Q與Q′關(guān)于x軸對(duì)稱”. 文[1]作為省級(jí)研究課題的階段性研究成果，不應(yīng)出現(xiàn)這種失誤.

二、結(jié)論2的“證明”的“副產(chǎn)品”

這就是結(jié)論2的“證明”的“副產(chǎn)品”.同樣，不妨把文[1]關(guān)于雙曲線的結(jié)論3、4分別記為結(jié)論2.1、2.3，關(guān)于拋物線的結(jié)論5、6分別記為結(jié)論3.1、3.3，關(guān)于圓錐曲線的定理1、2分別記為定理1、3，類似地，可得

結(jié)論3.2 拋物線Γ：線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線分別為F、l，直線l與x軸的交點(diǎn)為R，點(diǎn)P,Q在拋物線Γ上且在x軸的異側(cè)，直線RP與拋物線Γ的另一交點(diǎn)為Q′，若點(diǎn)Q與Q′關(guān)于x軸對(duì)稱，則P,F,Q三點(diǎn)共線.

定理2 圓錐曲線Γ的焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線分別為F、l，直線l與曲線Γ的對(duì)稱軸a的交點(diǎn)為R，點(diǎn)P,Q在曲線Γ上且在a的異側(cè)，直線RP與曲線Γ的另一交點(diǎn)為Q′，若點(diǎn)Q與Q′關(guān)于a對(duì)稱，則P,F,Q三點(diǎn)共線.

下面利用結(jié)論1.2證明結(jié)論1.3(即文[1]的結(jié)論2)

證明:設(shè)點(diǎn)Q1與Q′關(guān)于x軸對(duì)稱，因?yàn)闄E圓Γ關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)Q1也在橢圓Γ上，據(jù)結(jié)論1.2，得P,F,Q1三點(diǎn)共線，即點(diǎn)Q1在直線PF上.又由已知條件知點(diǎn)Q在直線PF上且在橢圓Γ上，則Q1與Q同為直線PF與橢圓Γ除點(diǎn)P以外的另一交點(diǎn)，故點(diǎn)Q1與Q重合，再由點(diǎn)Q1與Q′關(guān)于x軸對(duì)稱，得點(diǎn)Q與Q′關(guān)于x軸對(duì)稱.證畢.

三、結(jié)論的推廣

上述結(jié)論和定理揭示了圓錐曲線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的關(guān)聯(lián)性質(zhì)，這些性質(zhì)能否推廣到“類焦點(diǎn)”與“類準(zhǔn)線”情形？

設(shè)直線PQ方程為x=my+n(m≠0,0<|n|

類似地，可得

利用結(jié)論1.2的推廣，可得

其證明與上述利用結(jié)論1.2證明結(jié)論1.3(即文[1]的結(jié)論2)的證明類似，這里從略.

特別地，當(dāng)n=-c時(shí)，上述三個(gè)推廣依次為結(jié)論1.1、1.2、1.3.

這樣，定理1(即文[1]的定理1)、2、3(即文[1]的定理2)可分別推廣為

定理Ⅰ 圓錐曲線Γ的“類焦點(diǎn)”和“類準(zhǔn)線”分別為E，l，直線l與曲線Γ的對(duì)稱軸a的交點(diǎn)為R，過點(diǎn)E且與直線a不重合的直線與曲線Γ交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于a的對(duì)稱點(diǎn)為Q′，則R，P，Q′三點(diǎn)共線.

定理Ⅱ 圓錐曲線Γ的“類焦點(diǎn)”和“類準(zhǔn)線”分別為E、l，直線l與曲線Γ的對(duì)稱軸a的交點(diǎn)為R，點(diǎn)P,Q在曲線Γ上且在a的異側(cè)，直線RP與曲線Γ的另一交點(diǎn)為Q′，若點(diǎn)Q與Q′關(guān)于a對(duì)稱，則P,F,Q三點(diǎn)共線.

定理Ⅲ 圓錐曲線Γ的“類焦點(diǎn)”和“類準(zhǔn)線”分別為E，l，直線l與曲線Γ的對(duì)稱軸a的交點(diǎn)為R，過點(diǎn)E且與直線a不重合的直線與曲線Γ交于P，Q兩點(diǎn)，直線PR與曲線Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為Q′ ， 則點(diǎn)Q，Q′關(guān)于a對(duì)稱.

至此，我們完成了對(duì)文[1]的結(jié)論和定理的推廣.

[1]張兵源，林運(yùn)來.數(shù)學(xué)美驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017(2)：6-8.