“幾何”那些事兒/許天樞

◎許天樞

“幾何”那些事兒/許天樞

◎許天樞

幾何是什么東東？

直觀地說，與圖形有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容就是幾何.

抽象地說，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系（簡稱“數(shù)”）和空間形式（簡稱“形”）的學(xué)科，其中以空間形式為直接研究對象的分支，叫做幾何.

幾何從哪里來？

當(dāng)然從生活中來，因?yàn)樾枰詣?chuàng)造嘛！

根據(jù)史料和實(shí)證，古埃及時代，尼羅河水定期泛濫，淤積的泥土經(jīng)常沖毀兩岸土地，水退后土地的界限常常面目全非，當(dāng)時勞動人民為了重新測出被洪水淹沒的土地邊界，每年都要進(jìn)行土地測量，長此以往，積累了許多測量土地方面的經(jīng)驗(yàn)和知識.幾何就起源于測量土地的技術(shù)，幾何學(xué)的英文單詞geometry就是由geo（土地）和metry（測量）組成的，另外，制造器皿、測量容器等都是幾何起源的搖籃.明代，徐光啟和利瑪竇將geometry翻譯成“幾何”，在漢語中是“多少”的意思，你瞧，用數(shù)量刻畫圖形的形狀、位置、大小，含意多么雋永啊！

幾何是怎么發(fā)展起來的？

幾何從當(dāng)初的萌芽到如今的參天大樹，不吹不黑地講，它的發(fā)展歷史堪稱是一部人類認(rèn)識世界、改造世界的壯麗史詩.

綜合東西方數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，幾何的發(fā)展大致可以分成這樣三個階段：

一、幾何的萌芽和初步發(fā)展——經(jīng)驗(yàn)幾何階段

遠(yuǎn)古時代，人們在實(shí)踐中漸漸感受到豐富的幾何概念，比如曲、直、平、圓、大小、長短、寬窄、厚薄、遠(yuǎn)近，初步有了“形”的意識，進(jìn)而嘗試簡單的土地度量、器皿制造等工作，對“幾何結(jié)構(gòu)”的探索就慢慢開始了，日積月累，漸漸形成了豐富的幾何經(jīng)驗(yàn).

例如，大量的出土文物證明，在我國史前時期，人們已經(jīng)掌握了許多幾何的基本知識，出土的陶罐上繪有方格、米字、回文等圖案，設(shè)計精巧、對稱.進(jìn)一步發(fā)展，幾何知識逐漸經(jīng)驗(yàn)化、專業(yè)化，如春秋時的著作《考工紀(jì)》把幾種特殊的角給出了特定的名稱，90°的角叫“矩”，45°的角叫“宣”，135°的角叫“磬折”，《周髀算經(jīng)》提出了勾股定理及其證明，《九章算術(shù)》進(jìn)一步展示了勾股定理如何應(yīng)用于實(shí)踐.

所謂經(jīng)驗(yàn)幾何，就是人們“感受體驗(yàn)→歸納概括→應(yīng)用檢驗(yàn)”.其實(shí)，這也是我們學(xué)習(xí)幾何的必經(jīng)之路！經(jīng)驗(yàn)幾何中比較重要的方法是特例研究發(fā)現(xiàn)法和不完全歸納法，都是需要我們認(rèn)真體會和實(shí)踐的.

二、由哲學(xué)而來的幾何——論證幾何階段

盡管那時候幾何知識已經(jīng)十分豐富，但這些知識仍然是零散的、孤立的、不系統(tǒng)的.柏拉圖和亞里士多德把哲學(xué)引入幾何，為幾何系統(tǒng)化提供了理論依據(jù)和思想支柱，而真正把幾何總結(jié)成一門具有比較嚴(yán)明理論的學(xué)科的，是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得.歐幾里得的著作《幾何原本》最突出的是從一些特別提出的公理、公設(shè)和定義有計劃地來論證其他命題，其次是它第一次把豐富而散漫的幾何材料整理成了系統(tǒng)嚴(yán)明的讀本.正因?yàn)槿绱耍摹稁缀卧尽芬恢北缓笫浪瞥纾灾劣趦汕Ф嗄陙硭谐醯葞缀谓炭茣约俺醯葞缀蔚恼撝鵁o不以他的《幾何原本》為根據(jù).

所以論證幾何的特點(diǎn)就是“系統(tǒng)、嚴(yán)密”，在初中階段，我們將在證明和說理中體會這些特點(diǎn).

三、百花齊放的新幾何——現(xiàn)代幾何階段

隨后，幾何出現(xiàn)了百花齊放的局面，笛卡爾將“坐標(biāo)”引入了幾何，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，這就是“解析幾何”；古希臘依茨都山尼根據(jù)幾何知識和日光觀察，提出了“球面幾何”，對地球大小做出了初步估計，這就是后來的“非歐幾何”的雛形；希爾伯特在總結(jié)前人工作基礎(chǔ)上，提出了一個更加完善的幾何學(xué)公理體系——希爾伯特公理體系，具有“和諧性、獨(dú)立性、完備性”的特點(diǎn)……再加上“微分幾何”“拓?fù)鋷缀巍薄吧溆皫缀巍边@些不可忽略的花朵，組成了現(xiàn)代幾何階段的局面.有興趣的同學(xué)不妨去查閱一番，相信你一定會收獲滿滿的！

初中幾何學(xué)什么？

初中階段的幾何圖形既有立體圖形，又有平面圖形，立體圖形涉及不多，主要學(xué)的是平面圖形（線和角、三角形、四邊形、圓）的形狀、大小、關(guān)系.這里既有直觀的觀察和感受，也有嚴(yán)密的邏輯推理，充滿了“美”和“理”，請大家充滿期待吧！

幾何就要來了，你準(zhǔn)備好了嗎？

江蘇省南京市第五十中學(xué)）