源于教材 立足基礎(chǔ) 基于素養(yǎng) 敢于創(chuàng)新

趙秀珍

2017年無錫市中考數(shù)學(xué)試卷既注重基礎(chǔ)、基本技能的考查，又關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。其中部分試題，立意新穎，解法多樣，具有一定的創(chuàng)新性。下面結(jié)合筆者對無錫市中考數(shù)學(xué)第24題的閱卷情況，結(jié)合學(xué)生的答題情況進(jìn)行簡要分析，并談幾點(diǎn)對試題的反思與教學(xué)導(dǎo)向。

【題目】如圖，已知等邊△ABC，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：

（1）作△ABC的外心O；

（2）設(shè)D是AB邊上一點(diǎn)，在圖中作出一個正六邊形DEFGHI，使點(diǎn)F、點(diǎn)H分別在邊BC和AC上。

一、試題評析

1.源于教材

24題的第（1）小題作△ABC的外心O來源于書本九年級上冊《2.3確定圓的條件》中的嘗試與交流；第（2）小題來源于書本九年級上冊《2.6正多邊形與圓》中的操作與思考。但是通過適當(dāng)?shù)母木帲芎玫伢w現(xiàn)了命題“源于教材，卻高于教材”，注重考查知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性和完整性，為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的改革提供了良好的導(dǎo)向。

2.立足基礎(chǔ)

2017年無錫市初中數(shù)學(xué)中考指導(dǎo)意見中，對于尺規(guī)作圖的要求是這樣的：①五種基本作圖；②利用基本作圖作三角形；③利用基本作圖完成：過不共線三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形；④了解尺規(guī)作圖的道理，保留作圖痕跡，不要求寫出作法。前三條的要求是C等級，也就是掌握，第四條是B等級，只要理解即可。本題考查圓外心的知識點(diǎn)，突出對正六邊形的特點(diǎn)與作法的考查，不僅重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基本作圖能力，而且突出考查學(xué)生的分析能力、推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3.基于素養(yǎng)

尺規(guī)作圖是一種很好的考查內(nèi)容的方法。第（1）小題實(shí)際上已經(jīng)確定一個點(diǎn)（定點(diǎn)圓心）和一條線段（定長DO），根據(jù)圓的定義就可以把圓O作出來。實(shí)際上這一小題起著承上啟下的作用。學(xué)生如果缺少圓的意識，還可以通過畫一個正六邊形，再分析推理得出正六邊形的一些性質(zhì)和特點(diǎn)，如正六邊形的對稱性等，這樣就迎刃而解了。這種方法就是分析推理法，這對學(xué)生的思維能力要求比較高。而我們在平時的教學(xué)過程中要盡可能地培養(yǎng)學(xué)生的分析推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

4.重在創(chuàng)新

本題不僅考查外心的作法和正六邊形的作法，而且在基本模型上添加了條件，把第一小題與第二小題聯(lián)系在一起，為不同思維層次的學(xué)生搭建了不同的平臺，在問題解決的過程中充分展示了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這樣作適度的創(chuàng)新，提高了學(xué)生思維能力的要求。

二、典型問題及解決的方法

1.典型錯誤方法

（1）如圖1，認(rèn)為線段DI與線段FG平行，于是在三角形另兩邊上截取點(diǎn)E、H。

（2）如圖2，當(dāng)學(xué)生在BC上找點(diǎn)F時，很多學(xué)生過點(diǎn)D作BC的垂線，學(xué)生認(rèn)為垂線與BC的交點(diǎn)就是點(diǎn)F。

（3）如圖3，已作出圓O，但是認(rèn)為圓與三邊交點(diǎn)就是正六邊形的六個頂點(diǎn)。

（4）如圖4，已作出圓O，也找到圓與邊交點(diǎn)為點(diǎn)F和點(diǎn)H，但在找剩余點(diǎn)時，是以已知點(diǎn)為圓心，DO為半徑，在三角形三邊上去截取剩余的點(diǎn)，把五個點(diǎn)硬湊到三邊上。

2.答題錯誤原因

（1）缺乏圓的意識。

（2）對正六邊形特點(diǎn)掌握不牢固。

（3）學(xué)生缺少分析、推理能力。

3.答題正確方法

（1）在不作圓的前提下，如圖1，分別以點(diǎn)D、O為圓心，OD為半徑作圓弧，交于三角形AC邊右側(cè)的點(diǎn)即為點(diǎn)I，以此類推，作出剩余點(diǎn)。

（2）作圓，與邊BC左側(cè)交點(diǎn)為點(diǎn)F，與邊AC下側(cè)交點(diǎn)為點(diǎn)H，構(gòu)成等邊三角形DFH。

①如圖2，分別作三個內(nèi)角角平分線或三邊垂直平分線交于圓得出剩余三點(diǎn)；②如圖3，利用對稱性，分別將D、F、H與圓心連接并延長，與圓的交點(diǎn)或者在延長線上以半徑去截取得到的點(diǎn)即為剩余三點(diǎn)。

（3）作圓，利用截取法。

①如圖4，分別以點(diǎn)D、F、H為圓心，DO為半徑在圓周上截取三次，得到點(diǎn)I、G、E；②如圖5，以點(diǎn)D為圓心，DO為半徑，在圓周上連續(xù)截取五次，得到剩余五點(diǎn)。

三、教學(xué)導(dǎo)向

1.深度挖掘教材，合理使用教材

學(xué)生的學(xué)習(xí)是以教材為根基的，所以試題的選材、立意必須依托于教材，遵循“植根于教材，來源于教材”“題在書外，理在書中”的命題原則。2017年無錫市中考數(shù)學(xué)試題中，除了24題以外，多數(shù)題目基礎(chǔ)性較強(qiáng)，是對教材中的內(nèi)容的改編和延伸拓展。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該立足于教材，以數(shù)學(xué)知識的主干內(nèi)容為框架，將各知識點(diǎn)串連起來，形成知識網(wǎng)；要充分挖掘教材，創(chuàng)造性地使用教材，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識和基本技能的訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本方法。

2.依據(jù)課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，注重落實(shí)“四基”

（1）注重實(shí)效訓(xùn)練，熟練基本技能。

在基本技能的教學(xué)中，要讓學(xué)生在理解程序和步驟的道理的前提下，掌握技能操作的程序和步驟。比如說尺規(guī)作圖，學(xué)生不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道這些步驟的理由。基本技能的形成，需要適度的訓(xùn)練，而在訓(xùn)練的過程中，教師要注重訓(xùn)練的實(shí)效性。

（2）滲透數(shù)學(xué)思想，掌握學(xué)習(xí)技巧。

教師要深入挖掘知識形成過程中所滲透的數(shù)學(xué)思想與方法，要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生在探究過程中自悟自生，學(xué)會數(shù)學(xué)的思維，建構(gòu)學(xué)生自己的理解，掌握學(xué)習(xí)的技巧。任何知識的獲取，只有通過自己的思維和理解，才能內(nèi)化自己的認(rèn)知。學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展也不是一種數(shù)量上的簡單積累的過程，而是認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷重新建構(gòu)的過程，所以數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)思維，應(yīng)為促進(jìn)學(xué)生的理解而教。

（3）積累活動經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是一種活動，學(xué)生對知識的接受是經(jīng)驗(yàn)、思維投入的過程。所以，教師在教學(xué)過程中要注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過程，這才是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的重要途徑。比如說在幾何教學(xué)中，不妨圍繞一些基本圖形，探究拓展，采用一題多解、一題多變等教學(xué)方式，不斷加強(qiáng)幾何推理經(jīng)驗(yàn)的積累，提升學(xué)生的解題能力。

3.鍛煉推理能力，走向核心素養(yǎng)

從所舉題目的畫圖補(bǔ)救的方法中可以看到，推理能力是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個特征，是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)、學(xué)習(xí)的核心—思維能力的重要方面，同時也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。

推理包括合情推理和演繹推理。在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等教學(xué)內(nèi)容中，教師應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；通過實(shí)例使學(xué)生逐步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，合情推理和演繹推理是相輔相成的兩種推理形式。比如在“猜想—證明”的問題探究中，要讓學(xué)生親歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、用演繹推理證明結(jié)論的完整推理過程，在過程中感悟數(shù)學(xué)思想，鍛煉推理能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。endprint