兒童數量表征能力發展的追蹤研究

吳曉超

（北京市豐臺區豐臺第二中學附屬實驗小學，北京 100066）

兒童數量表征能力發展的追蹤研究

吳曉超

（北京市豐臺區豐臺第二中學附屬實驗小學，北京 100066）

研究主要探討兒童在一年級到二年級間的數量表征能力的發展以及其與“數與代數”學習經驗的關系。實驗在2年內對60名兒童進行了2次0～100和0～1000的數字線估計任務的測量。結果顯示，兒童的數量表征能力具有一定的發展規律：在0～100數量范圍內，6歲時的數量表征能力能夠預測7歲時的表征能力；在0～1000數量范圍內，在6歲到7歲之間，兒童的數量表征準確性及數量表征模式發生了顯著變化；“數的運算”能力與兒童數量表征的結果、策略及發展有關。另外，“數與代數”學習經驗影響兒童數量表征的策略。

數量表征；追蹤研究；數字線估計任務

1 問題提出

數量表征（numerical representation）指個體心理對數量刺激的解釋、表達與操作的過程，既包含非符號數量表征也包含符號數量表征［1，2］。隨著個體的發展，個體的數量表征逐漸呈現一種精確的表示方式，即線性表征［3］。線性表征是何時以及如何形成尚無定論［4，5］。許多研究者采用數字線估計任務對數量表征何時呈現線性模式進行研究［6］。數字線估計任務是給被試呈現一條數字線，線段的兩端各自有一個數字，表示這條線段所代表的數字范圍，讓被試在線段上標出第三個數字所在的位置。該任務是將數字轉化為數字線上空間位置的過程，包含給位置標數字 （position to number，PN）和給數字標位置（number to position，NP）兩種模式，采用表征模式和估計精確度 （絕對誤差百分比，percent absolute error， PAE）作為衡量指標［7］。已有研究結果顯示，在一定數量范圍內，隨著年齡的增長，兒童的表征模式逐漸從對數或指數表征發展為線性表征，估計精確度提高；在同年齡被試中，數字線的數量范圍越小，被試越可能采用線性表征，精確度越高。數量表征能力受到數學認知能力相關因素和認知加工相關因素的影響，與數學認知能力相關的因素主要包括數值范圍、數數能力和比例知識，與認知加工相關的因素主要包括空間能力、工作記憶、反饋和錨定、估計策略的選擇性和精確性、心理刻度的可變性等［8-10］。

研究者們提出了多種理論模型解釋數量表征模式。這些理論模型主要有兩個分歧點：第一，個體是否同時采用多種表征模式；第二，個體采用了哪種函數表征模式。“單一表征假說”認為個體在同一時段依靠單一規則進行數量表征，如Dehaene（1997）提出的“對數尺模型”認為估計數量與真實數量之間的差距會隨著真實數量的增大而增大；Case和Okamoto（1990）提出的“線性尺模式”認為人們按照線性函數表征數字，但是這種表征只有到了一定年齡后才會出現；“存儲器模型”（Gibbon＆ Chuerch 1981）認為數字及其它數量都是以相等的空間距離被表征，表征數的過程像是數數的過程，但每個數字的量的記憶是“雜亂無章”的，所以數字在被提取的時候會有變異性，數字越大，其變異性也越大，數字的變異性會隨著數字的增大呈等級增長，這就是數字表征的 “等級可變性”（scale variability） 現象［1］Barth和 Paladino（2011）認為人們是以冪函數來表征數字的，因為數字線估計的關鍵屬性是比例判斷而冪函數才能最好地模擬根據比例判斷所做的估計它具有高靈敏度，隨著指數的改變冪函數的形狀類似于對數和線性函數，能夠概括兩種表征模式［11］。“多表征假說”認為個體能根據具體情境，采用不同的表征模式，主要的理論模型包括多重表征假說、分段線性模式和循環冪函數模式。多重表征假說的前身是重疊波浪理論，認為任何年齡階段的兒童都知道并可運用多種相互競爭的表征或策略、規則、方法，根據問題和數學情境選擇相對恰當的表征方式［2，12］分段線性模式是一個改良型的估計模式，認為在數字估計中，兒童只存在一種由至少兩條線段組成圖像的表征模式，兒童在熟悉的數量范圍，數字估計符合線性模式，在這個范圍之外，估計仍然是線性的但是斜率線性度較之前小［3］；循環冪函數采用冪函數定律解釋在估計過程中產生的各種偏差模式，認為刺激物中的參考點的選擇在某種程度上決定了估計偏差模式的不同。

從中外對比的角度來看，我國兒童的數量表征更好地擬合線性曲線，這可能與被試的文化背景、教育經驗有關。Dehaene等人的研究表明，文化教育是促進兒童由對數表征轉向線性表征的主要原因，線性表征是教育及文化的產物，即教育經驗有可能促使兒童由對數表征向線性表征轉化［4］。“數與代數”是我國義務教育階段數學課堂中的重要內容，第一學段的“數與代數”教學內容包含萬以內數的認識、數的表示、數的大小、數的運算以及數量的估計等。數的大小的教學內容包括：理解數的順序、大小關系并能用符號語言描述。小學第一學段的數的運算主要指算術，即研究數在加、減、乘、除、乘方和開方等運算下的性質的數學分支學科。我國現行的人民教育出版社、北京出版社、北京師范大學出版社等版本教材均在一年級完成了“百以內數的認識”的內容，即此階段兒童具有學習“100以內數”的認知發展基礎，且在完成此部分學習后，大部分兒童具備熟練地表征100以內數字的能力。各版本教材在二年級安排了“萬以內數的認識”的教學內容，這說明教材編寫者認為此年齡階段兒童具備學習 “萬以內數的認識”的認知發展基礎，即在一年級到二年級的一年時間內，兒童數的表征能力不斷發展，具有對萬以內數準確表征的能力。那么兒童從一年級過渡到二年級的過程中，數的表征能力究竟是如何發展的？“數與代數”的學習經驗是否真的能夠促進學生數的表征能力的發展？

據此，本研究對60名學生進行了2年的追蹤研究，探討從一年級到二年級的發展階段，兒童自身發展與學習經驗對數量表征能力的影響。本研究由此提出假設：在此階段，兒童的數量表征能力顯著提高；兒童“數與代數”的學習經驗會對兒童的數量表征模式產生影響。本研究設計實驗探究以下問題：從一年級到二年級的過程中，兒童的數量表征能力是否顯著發展？兒童的“數與代數”學習經驗是否會對數量表征能力產生影響？兒童數量表征能力是否與“數的運算”能力相關？

2 研究方法

2．1 研究對象

為滿足本研究假設，在第一次測驗時兒童已經具備100以內數的認識及運算的學習經驗，第二次測驗時，兒童已具備萬以內數的認識及運算的學習經驗。本研究抽取了北京市一所普通公立小學60名兒童（男生30人，女生30人）進行為期2年的追蹤研究。第一次測量時兒童均已經完成了一年級學習內容：“100以內數的認識”“100以內數的加法和減法”，平均年齡6．68歲；第二次測量時他們均已完成二年級學習內容 “萬以內數的認識”“萬以內數的加法和減法”，平均年齡 7．70歲。

2．2 實驗材料

實驗材料分為兩部分，第一部分采用Siegler的研究中使用的數字線估計任務范式中的PN模式，第二部分為百以內數的運算能力測驗或萬以內數的運算能力測驗。

第一部分實驗材料為一本31頁的小冊子，小冊子第一頁為被試基本材料（性別、年齡、編號）。小冊子第2～16頁為0～100數字范圍內的數字線估計任務，第17～31頁為0～1000數字范圍內的數字線估計任務。在0～100范圍內數字線估計任務中有一條15厘米長的線段，線段左端標記為0，右端標記為100，中間無任何標記。在線段終點的左上方一厘米處有一個圓圈，圓圈里面有一個讓被試估計的數字，除圓圈里面的數字外，每一頁其他方面均相同。E-bersbach等發現1～25范圍內的數字影響了7歲兒童的表征模式，因此任務選取了8個0～25范圍內的數字：1、3、6、8、10、15、18、25。 為保證十位數間有一個數字，在26～100范圍內選取了7個數字：37、42、55、68、75、81、98。 0～1000 范圍內數字估計任務材料的線段右端標記為1000，其余均與0～100任務材料相同，在分析周廣東等研究材料的基礎上，選取了 0～150 范圍內的 6 個數字（9、65、91、100、122、150）；151～1000 范圍內的 9 個數字（179、246、366、423、548、683、754、818、975）。 Thompson 和 Siegler（2010）研究表明，150以下的低端數字在對數模型中鑒別性更高，而150以上的高端數字在線性模型中鑒別性更高，因此本研究在保證百位數間均有一個數字的基礎上，較平均地保留了低、高端數字，以保證更好地區分對數表征與線性表征。數字出現順序為，在范圍內打亂數字的大小順序，隨機呈現數字。

“數的運算”是需要綜合數量關系、運算符號等能力的高級數字能力，本研究為第一次測驗的兒童編制“100以內運算能力測驗”，為第二次測驗的兒童編制“萬以內運算能力測驗”。試卷均包含100道口算試題和4道筆算試題，為保證測驗的信度及效度，所有被試在20分鐘內統一完成測驗。

2．3 數據收集與處理

兩次測驗均采用相同過程：首先，由一名主試告訴兒童填寫個人信息，然后完成測試。任務在小冊子第2頁到第31頁，要求兒童根據任務要求作答，并告訴兒童任務完成情況不計入學習成績。實驗過程不允許用直尺，并提示注意第17頁之后為0～1000的估計任務，其它無任何提示。由一名主試以直尺測量被試的估計結果，精確到毫米，再轉化成估計值。在此任務完成兩天后，被試完成“數的運算”測驗任務，采用團體施測的方式，由一名主試告訴兒童填寫個人信息，并根據題目要求作答，期間無任何提示。測驗結果由一名主試參考標準答案評判，最終轉化成百分制的得分。最后用Excel2016對數據進行錄入和管理，結果采用SPSS18.0進行描述統計和相關分析，用MATLAB2014驗證變量間關系。

3 結果分析

3．1 不同數字范圍內兒童數量表征準確性的發展本研究檢驗被試數量表征準確性的指標為 “絕

對誤差百分比（percent absolute error，PAE）”。 把每個被試對每個數字的估計長度轉化為估計值 （估計長度等于起點0到被試標注估計數字所在位置之間的長度，估計值等于估計長度除以線段總長度后乘以被估計的數值范圍），然后根據公式計算出PAE計算公式為：PAE＝│估計值－實際值│÷被估計的數值范圍。PAE越大，兒童的估計差越大，準確性越差。 對兩次測驗中 0～100、0～1000的表征準確性PAE進行配對樣本t檢驗，結果如表1所示。在不同數字范圍內，第二次測驗結果均顯著優于第一次測驗結果。

表1 數量表征準確性指標PAE比較

對兩次測驗中不同數字范圍內的PAE進行相關性分析，發現在0～100的數字范圍內，兩次測驗結果的相關系數為 0．3382，顯著性水平為 p＝0．003，二者顯著相關。為進一步探索兒童數量估計能力的發展過程，采用MABLAB工具對兩次測驗中的0～100范圍內的估計結果進行曲線擬合，發現二者呈現二項式關系， 即 Y＝0．456X2＋0．1642X＋0．03467，其中自變量為第一次測驗結果，因變量為第二次測驗結果。根據曲線關系，在自變量取值區間內（0～1），因變量隨著自變量的增加而增加。這說明在0～100估計范圍內，兒童第一次測驗結果能夠預測第二次測驗結果，且第一次估計準確度越高，第二次估計準確度也越高。在0～1000范圍內，兩次估計結果相關性不顯著（p＝0．335），采用多種方法均無法探索出在0～1000范圍內兩次估計結果的穩定影響關系。

3．2 不同數字范圍內兒童數字表征模型的變化

以實際呈現的數值為自變量，以兒童估計值的中位數為因變量，分別對兩次測驗中的0～100、0～1000范圍內的估計進行了線性函數和對數函數的曲線擬合，探尋兒童的數字表征模型，結果如圖1所示。

在0～100范圍內，兒童第一次測驗的數字估計均很好地擬合了線性函數（R2lin＝0．983），然而對數函數擬合亦達到顯著水平（ R2log＝0．797）。在第二次測驗中，兒童的數字估計結果均很好地擬合了線性函數（R2lin＝0．983），同時對數函數擬合亦非常顯著（R2log＝0．896）。 為增加判定兒童采用何種表征形式的確定性，對線性函數、對數函數與估計中值差異進行了顯著性統計檢驗。對兩種模型預測值的絕對誤差進行兩兩配對t檢驗，結果如表2所示。兩次測驗中線性模型顯著好于對數模型，說明兒童在0～10數值范圍內的估計能夠更好地擬合線性模型。

圖1 以估計中值為因變量的0～100、0～1000估計范圍內曲線擬合圖

表2 0～100范圍內不同表征模式絕對差值比較

為進一步驗證這一發現是否適合每一個被試的估計表現，對每一個被試的估計進行了曲線擬合。結果顯示，在第一次測驗中，98．36%的兒童線性曲線擬合達到顯著水平，且90%的擬合系數大于0．7 100%的兒童對數函數曲線擬合達到顯著水平，且67．7%的擬合系數大于0．7。在第二次測驗中，100%的兒童線性曲線擬合均達到顯著水平，且擬合系數均大于0．7；100%的兒童對數函數曲線擬合水平顯著，83．3%的擬合系數大于 0．7。采用配對樣本 t檢驗比較兩次測驗兒童對曲線的擬合程度，結果如表3所示。在兩次測驗中，線性擬合系數均顯著優于對數擬合系數，同時第二次測驗的線性擬合系數優于第一次測驗，說明兒童在0～100的估計范圍內采用了線性模型，且線性模型的準確性在提高。

在0～1000范圍內，第一次測驗的數字估計很好地擬合了對數函數，R2log＝0．920，不能很好地擬合線性函數，R2lin＝0．646。 結果說明，此時的兒童在 0～1000數值估計范圍內的估計更適合對數模型的規律。第二次測驗的數字估計能夠顯著地擬合線性函數 （R2lin＝0．944），同時也能較好地擬合對數函數（R2log＝0．868）。 為增加判定兒童采用何種表征形式的確定性，對線性函數、對數函數與估計中值差異進行了顯著性統計檢驗，發現二者差異顯著，t＝－2．844，p＜0．05。 結果說明，在第二次測驗時，兒童在 0～1000范圍內的數字估計更適合線性函數模型的規律。

表3 0～100范圍內不同擬合曲線擬合系數比較

為進一步驗證這一發現是否適合每一個被試的估計表現，對每一個被試的估計進行了曲線擬合。結果顯示，在第一次測驗中，85．0%的兒童線性曲線擬合達到顯著水平，僅18．3%的擬合系數大于0．7；96．7%的兒童對數函數曲線擬合達到顯著水平，且50．0%的擬合系數大于 0．7。 在第二次測驗中，91．7%的兒童線性曲線擬合均達到顯著水平，且58．3%的擬合系數均大于0．7；93．3%的兒童對數函數曲線擬合水平顯著，68．3%的擬合系數大于0．7。采用配對樣本t檢驗比較兩次測驗兒童對曲線的擬合程度結果如表4所示。在兩次測驗中，對數擬合系數均顯著優于線性擬合系數，同時第二次測驗的線性擬合系數顯著優于第一次測量的線性擬合系數，說明兒童在0～1000的估計范圍內更適合對數模型，但是線性模型的準確性顯著提高。

表4 0～1000范圍內不同擬合曲線擬合系數比較

3．3 “數的運算”對數量表征的影響

分別對兩次測驗中的0～100、0～1000范圍內的數量表征準確性PAE和“數的運算”成績進行相關性分析，結果如表5所示。“數的運算”測試成績和0～100、0～1000范圍的估計準確性均顯著相關，且為負相關，說明“數的運算”測試越高，兒童在兩個范圍內的估計準確性越高。為檢驗“數的運算”成績與數字估計模型的關系，對兒童的測試成績與數字估計值的線性曲線、對數曲線的擬合指數（即R2）進行相關分析。結果表明，在第一次測驗中，兒童的測試成績與0～1000范圍內數值估計線性曲線擬合指數顯著相關，即兒童“數的運算”測試成績越高，0～1000范圍內的數字表征的線性擬合指數越高。在第二次測驗中，兒童的測試成績與0～1000范圍內數值估計線性和對數曲線擬合指數均顯著相關。進一步通過MATLAB工具探索變量之間的關系，未發現具有顯著性特點的函數關系，即“數的運算”測驗成績無法預測兒童數量表征的準確性或表征模式。

4 討論

在第一次測驗時，本研究的被試僅具有“100以內數的認識”的學習經驗，在0～100內的數量表征準確性顯著高于0～1000范圍內的數量表征準確性；被試在0～100范圍內的數量表征整體上很好地擬合為線性函數，并且絕大多數被試均采用數的線性表征，在0～1000范圍內的數量表征擬合對數函數。在第二次測驗時，被試具有“萬以內的數”的學習經驗，此時他們在兩個數字范圍內的數量表征準確性均顯著提高，且大部分兒童的數量表征均擬合線性函數，以上結果均說明兒童的“數與代數”學習經驗能夠對數量表征產生影響，這與潘茂明追蹤分析6～7歲兒童數量估計能力發展后得出的研究結果一致。

研究發現兒童對0～100范圍內數量表征的準確性能夠有效地預測第二次測驗時0～100范圍內數量表征的準確性。這體現出在6～7歲的年齡階段且在無針對性的學習經驗的影響下，兒童的數量表征能力的發展是連續性的。在0～1000的范圍內，兒童獲得了針對性的學習經驗，從而在數量表征準確性上發生了顯著性的變化并且無相關性，這說明在有相關學習經驗的影響下，學生的數量表征能力的發展是非連續性的。這與皮亞杰對于認知發展的描述是吻合的，即“認知發展是連續性與非連續性的統一”，同時也說明了學習經驗對于兒童認知發展的促進作用。

表5 “數的運算”測試成績與估計準確性PAE、線性、對數函數擬合度的相關分析

與預期一致，兒童數量表征與自身運算能力相關，這與 Booth 等［7］、Laski等［8］、Siegler 等［11］的推測一致。他們認為心理數字線是整數的中心概念，并且對兒童的數量表征、數字運算等數學任務至關重要，是它們共同的心理基礎。因此在實驗數據上，兒童的數量表征與運算能力會出現顯著相關的現象。本研究發現，除了共同心理基礎之外，兒童的運算能力可能會在表征測量方面影響兒童的數量表征，運算能力強的兒童可能具有更多的數量表征的策略。如在1～100數字范圍內估計15的位置，運算能力強的兒童可能以“10＋5”的形式將數字分解，并用兩個步驟完成表征任務，即先估計10的位置，以10的位置為起點，再估計5。許多研究已經表明，幼兒階段可以形成對10以內的線性表征［3］，因此這種表征方式會更加準確。通過事后訪談，發現兩次測量中，均有部分兒童采用了這種策略。同時這種策略在0～1000的數量估計范圍內依然存在，且事后訪談發現，在第二次測量時，部分兒童“升級”了此策略。如在0～1000范圍內估計數字366時，兒童首先將數據線分為10份，估計其中3份到4份的范圍；再在此范圍內估計50的位置；通過“50＋16”完成最后的數字估計。這一策略體現了以下三個方面的能力：兒童理解“千”與“百”的關系；兒童能夠有效比較數的大小，并能夠準確地在百的范圍內估計數字；兒童能夠自覺地將小范圍的數字估計能力遷移至大范圍的數字估計任務中。

5 結論

本研究可以得出以下結論：（1）兒童在一年級到二年級的發展過程中，0～100和 0～1000的數字線

估算任務的精確化估計得到了顯著提高，0～1000數字線估算任務完成了從非線性化到線性化的轉變；（2）兒童的數量表征能力是連續性與非連續性的統一；（3）兒童的數量運算能力影響數量表征方式，且這種影響在不同的年齡階段是穩定的；（4）兒童的數概念學習經驗會對數量表征策略的使用產生影響。

1 潘茂明．6－7歲兒童數字估計能力發展的追蹤研究．首都師范大學碩士學位論文，2011．

2 王瀾．5－6歲兒童數字線估計能力及其與早期數學能力發展關系的追蹤研究．首都師范大學碩士學位論文，2013．

3張帆，賴穎慧，陳英和．兒童數字線表征的發展——心理長度的影響．心理發展與教育，2015，（2）：149－156．

4 莫雷，周廣東，溫紅博．兒童數字估計中的心理長度．心理學報， 2010， （5）： 569－580．

5 Siegler R S， Ramani G B．Playing linear numerical board games promotes low－income children’s numerical development．DevelopmentScience， 2008， 11 （5）：655－661．

6 周廣東，莫雷，溫紅博．兒童數字估計的表征模式與發展．心理發展與教育， 2009， 25（4）： 21－29．

7 Booth J L， Siegler R S．Developmental and individual differences in pure numerical estimation．Developmental Psychology， 2006， 42（1）： 189－201．

8 Laski E V， Siegler R S．Is 27 a big number？ Correlational and causal connections among numerical categorization， number line estimation， and numerical magnitude comparison．Child Development， 2007， 76：1723－1743．

9 Opfer J E， Siegler R S．Representational change and children’s numerical estimation．Cognitive Psychology，2007， 55： 169－195．

10 Geary D C， Hoard M K， Byrd－Craven J， et al．Cognitive mechanisms underlying achievement deficits in children with mathematicallearning disability．Child Development， 2007， 78（4）： 1343－1359.

11 Siegler R S， Thompson C A， Schneider M．An integrated theory of whole number and fractions development．Cognitive Psychology， 2011， 62（4）： 273－296．

12 Siegler R S， Opfer J．The development of numerical estimation： Evidence formultiple representations of numerical quantity．Psychological Science， 2003， 14（3）： 237－243.

A Longitudinal Study on Development of Numerical Representation

Wu Xiaochao
（Affiliated Experimental Primary School of Fengtai No．2 Middle School of Fengtai District， Beijing 100166）

In order to explore the development of the numerical representation， the study examined 60 children’s performance in the 0～100， 0～1000 number line estimation tasks twice in 2 years．The results showed： （1） There was a certain law of the development on numerical representation.In the 0－100 number line， the numerical representation in age 6 could predict that in age 7．And there were significant differences on numerical representation between age 6 and age 7 in the 0～1000 number line． （2）The operational capability affected the numerical representation．（3） Strategies of numerical representation was influenced by learning experience of “number and algebra”．

numerical representation； longitudinal study； number line estimation task

吳曉超，女，二級教師，碩士研究生。Email：1376909587@qq.com