基于分?jǐn)?shù)階全局滑模控制的永磁同步電動機(jī)的研究

李雙雙， 崔艷偉， 許明鑫， 高 琳

(山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

基于分?jǐn)?shù)階全局滑模控制的永磁同步電動機(jī)的研究

李雙雙， 崔艷偉， 許明鑫， 高 琳

(山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

為了提高永磁同步電動機(jī)(PMSM)控制系統(tǒng)的抗干擾能力，在傳統(tǒng)雙閉環(huán)PI控制的基礎(chǔ)上，將速度外環(huán)采用速度誤差的分?jǐn)?shù)階微積分，設(shè)計了分?jǐn)?shù)階全局滑模控制器。利用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)隨時間變化衰減緩慢的特性來增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性，并針對傳統(tǒng)滑模控制中存在的抖振問題引入了邊界層法，即采用飽和函數(shù)代替控制律中的開關(guān)函數(shù)，從而有效地削弱滑模面的抖振現(xiàn)象，提高了系統(tǒng)的綜合性能。MATLAB仿真結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)的雙閉環(huán)PI控制，PMSM分?jǐn)?shù)階全局滑模控制系統(tǒng)對負(fù)載擾動和轉(zhuǎn)速突變具有更好的跟蹤能力和魯棒性。

永磁同步電動機(jī)； 分?jǐn)?shù)階； 全局滑模控制； 邊界層法

0 引言

永磁同步電動機(jī)(PMSM)因其體積小、損耗少、效率高等優(yōu)點(diǎn)在控制系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。目前PMSM控制系統(tǒng)一般采用傳統(tǒng)的PI控制，該控制算法簡單，可靠性較高，在一定擾動范圍內(nèi)能滿足現(xiàn)場控制要求，但在外界擾動過大或電動機(jī)內(nèi)部參數(shù)發(fā)生變化時難以滿足控制系統(tǒng)的綜合性能[1]。為了獲得良好的系統(tǒng)響應(yīng)，一些控制方法如自適應(yīng)控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、滑模控制等均被應(yīng)用到電動機(jī)伺服系統(tǒng)中[2-5]。其中，滑模控制因其具有魯棒性強(qiáng)、響應(yīng)速度快以及對系統(tǒng)參數(shù)變化不敏感等特性受到了越來越多的關(guān)注。滑模控制通常包括趨近模態(tài)和滑動模態(tài)，但傳統(tǒng)滑模控制對系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)變化不敏感性及抗干擾能力只存在于滑動模態(tài)階段，即在到達(dá)模態(tài)不具有魯棒性。近些年來提出的全局滑模控制方法可有效的解決上述問題。全局滑模控制[6]是通過設(shè)計一個動態(tài)非線性滑模面來克服傳統(tǒng)滑模控制的到達(dá)階段不具魯棒性的缺陷，使系統(tǒng)在響應(yīng)的全過程中都具有魯棒性，但這仍然無法解決滑模控制在滑模切換時產(chǎn)生的高頻抖振現(xiàn)象。針對上述問題，分?jǐn)?shù)階微積分[7]的理論以及應(yīng)用迅速成為研究的熱點(diǎn)。由于分?jǐn)?shù)階控制器能選擇更多的自由度，且分?jǐn)?shù)階微積分具有顯著的遺傳特性，因此將分?jǐn)?shù)階理論應(yīng)用到全局滑模面的設(shè)計中，從而可有效解決滑模控制中的抖振問題。文獻(xiàn)[8]提出了一種新型指數(shù)趨近律并應(yīng)用于永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中，提高了系統(tǒng)的靜態(tài)、動態(tài)性能。文獻(xiàn)[9]設(shè)計了一種分?jǐn)?shù)階與滑模變結(jié)構(gòu)復(fù)合控制器，提高了永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)的快速性和抗擾能力。文獻(xiàn)[10]設(shè)計了非線性積分滑模面，利用分?jǐn)?shù)階積分滑模控制算法，使得永磁同步電機(jī)比傳統(tǒng)PI控制有更好的動態(tài)性能。文獻(xiàn)[11]利用分?jǐn)?shù)階微積分算子來設(shè)計滑模面，并應(yīng)用于永磁同步電機(jī)的速度環(huán)控制器的設(shè)計中。文獻(xiàn)[12]對永磁同步電機(jī)二階積分滑模速度控制器進(jìn)行了研究，并驗(yàn)證了二階滑模控制能抑制“抖振”現(xiàn)象，降低了對系統(tǒng)性能的影響。

本文結(jié)合分?jǐn)?shù)階理論和全局滑模控制的優(yōu)點(diǎn)，提出了分?jǐn)?shù)階全局滑模控制的永磁同步電動機(jī)調(diào)速控制系統(tǒng)，并通過Lyapunov穩(wěn)定性定理，對所設(shè)計控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行了證明。系統(tǒng)仿真結(jié)果表明，該控制系統(tǒng)具有快速性、超調(diào)小等優(yōu)點(diǎn)，并對負(fù)載擾動具有較強(qiáng)的魯棒性。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

建立在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的永磁同步電動機(jī)數(shù)學(xué)模型，其定子電壓方程為：

(1)

式中：ud、uq為d-q軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)下的定子電壓；id、iq為定子電流；Ld、Lq為定子電感；R為定子電阻；ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈在定子繞組上交鏈出的磁鏈；ωe為電動機(jī)的電角速度。

對于表貼式永磁同步電動機(jī)，定子電感滿足Ld=Lq，因此，電磁轉(zhuǎn)矩的方程可寫為：

(2)

式中：P為三相PMSM的磁極對數(shù)。

PMSM的機(jī)械運(yùn)動方程為：

(3)

式中：Te、TL為電磁轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為電動機(jī)轉(zhuǎn)動慣量；B為摩擦系數(shù)；ω為電動機(jī)轉(zhuǎn)子的機(jī)械角速度，且ωe=Pω。

由(2)(3)式可得運(yùn)動方程為：

(4)

考慮到系統(tǒng)參數(shù)的不確定因素，上式可寫為：

(5)

式中：Δa、Δb、Δc為系統(tǒng)參數(shù)的變化量。

為了使系統(tǒng)的輸出速度ω能夠快速準(zhǔn)確地跟隨參考輸入信號ωr的變化，定義PMSM控制系統(tǒng)的速度誤差e(t)為：

e(t)=ωr(t)-ω(t)

(6)

對式(6)進(jìn)行求導(dǎo)可得：

(7)

式中：

(8)

δ(t)=Δaω(t)-Δbiq+Δc

(9)

假設(shè)滿足

|δ(t)|≤ψ

(10)

式中：ψ∈R+。

2 分?jǐn)?shù)階全局滑模控制器設(shè)計

圖1所示為永磁同步電動機(jī)的控制框圖，該系統(tǒng)采用轉(zhuǎn)速外環(huán)電流內(nèi)環(huán)的雙閉環(huán)控制，轉(zhuǎn)速外環(huán)控制器設(shè)計為分?jǐn)?shù)階全局滑模控制器，電流內(nèi)環(huán)采用PI控制。

圖1 永磁同步電動機(jī)控制框圖

2.1 分?jǐn)?shù)階全局滑模面的設(shè)計

考慮到進(jìn)一步提高永磁同步電動機(jī)的綜合控制性能，增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾能力，設(shè)計如下分?jǐn)?shù)階滑模控制器，首先定義如下分?jǐn)?shù)階滑模面：

(11)

為使系統(tǒng)在響應(yīng)過程中具有更強(qiáng)的魯棒性，本文設(shè)計以下的全局滑模面切換函數(shù)[13]：

(12)

其中，函數(shù)h(t)須滿足以下的條件：

(3)h(t)具有一階可導(dǎo)性。

由上述三個條件可設(shè)計h(t)為按指數(shù)衰減的函數(shù)，即：

(13)

可以看出，當(dāng)t=0時，s=0,即可保證系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)均在滑模面上，消除了滑模控制的到達(dá)模態(tài)，使系統(tǒng)在整個控制過程中均具有滑模特性，提高了系統(tǒng)的魯棒性。

2.2 分?jǐn)?shù)階全局滑模控制器的設(shè)計

對式(11)中的s求導(dǎo)，并結(jié)合式(7)可得：

(14)

選擇有效合理的趨近律，可以削弱滑動階段的抖振，提高系統(tǒng)的抗干擾能力，本文選取等速趨近律來設(shè)計分?jǐn)?shù)階全局滑模控制器，即：

(15)

式中：ε為系統(tǒng)運(yùn)行軌跡到達(dá)切換面的s=0的速率；sgn(s)為符號函數(shù)。

結(jié)合式(13)、(14)可設(shè)計分?jǐn)?shù)階全局滑模控制律為：

(16)

根據(jù)式(8)、(15)可得q軸電流控制的表達(dá)

(17)

邊界層法[14-15]是一種常見的消抖方法，本文選擇飽和函數(shù)代替控制律中的符號函數(shù)，使邊界層內(nèi)部變?yōu)檫B續(xù)控制來削弱滑模面的高頻抖振現(xiàn)象，如式(18)所示：

(18)

式中:φ>0為邊界層厚度。

用sat(s/φ)代替控制律中的sgn(s)，可得分?jǐn)?shù)階全局滑模控制器的輸出為：

(19)

2.3 滑模控制器的穩(wěn)定性分析

控制律的設(shè)計要求系統(tǒng)從任意的初始狀態(tài)都能夠到達(dá)滑模面，即滿足滑模控制的可達(dá)性。另外，本文選擇分?jǐn)?shù)階全局滑模面，需要保證滑動模態(tài)的存在性，即滿足滑模控制的存在性。因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性必須從以上兩點(diǎn)來進(jìn)行分析。

基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論選擇如下Lyapunov函數(shù)：

(20)

對上式求導(dǎo)可得

(21)

當(dāng)|s|≤φ時，sat(s/φ)=s/φ，那么式(21)可寫為

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)能由任意初始狀態(tài)在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面，滿足滑模控制器的穩(wěn)定性條件。

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑模區(qū)后，系統(tǒng)狀態(tài)滿足s=0,即：

(22)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論可得，當(dāng)c1>0時，滿足系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，即滑模控制器的設(shè)計滿足滑模控制的存在性。

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證本文設(shè)計的分?jǐn)?shù)階全局滑模控制器的有效性，在MATLAB/Simulink中進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。將分?jǐn)?shù)階滑模控制系統(tǒng)[16-17]與傳統(tǒng)PI雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行了對比。調(diào)速系統(tǒng)采用id=0的矢量控制方案，永磁同步電動機(jī)的具體參數(shù)為：PMSM極對數(shù)P=4；定子電阻R=2.875 Ω；d軸電感和q軸電感相等，即

Ld=Lq=0.008 5 H；轉(zhuǎn)子磁鏈ψf=0.175 Wb；電動機(jī)轉(zhuǎn)動慣量J=0.008 kg·m2；摩擦系數(shù)B=0.001 kg·m2/s。

(1)t=0.25 s時，TL=4 N變?yōu)門L=10 N。

給定轉(zhuǎn)速n=800 r/min，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，在t=0.25 s時，突加負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL=10 N·m，得到圖2、圖3所示分?jǐn)?shù)階全局滑模控制下的三相定子電流和d軸電流波形圖。圖2可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行時三相定子電流波形實(shí)現(xiàn)正弦化，且在突加負(fù)載時過渡平穩(wěn)。圖3中d軸平均電流為0，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值速度快，突加負(fù)載時d軸電流過渡較平穩(wěn)，證明了控制系統(tǒng)的有效性。

圖2 定子電流波形

圖3 d軸電流波形

圖4所示為轉(zhuǎn)速波形對比圖，與傳統(tǒng)雙閉環(huán)PI控制相比，分?jǐn)?shù)階全局滑模控制策略下轉(zhuǎn)速超調(diào)小且能快速達(dá)到穩(wěn)態(tài)。在0.25 s時突加負(fù)載轉(zhuǎn)矩時，分?jǐn)?shù)階全局滑模控制較傳統(tǒng)PI控制轉(zhuǎn)速波形波動小，恢復(fù)時間更快。

圖4 負(fù)載突變時轉(zhuǎn)速波形圖

(2)t=0.25 s時，轉(zhuǎn)速由600 r/min變?yōu)?00 r/min。

t=0時刻，給定轉(zhuǎn)速600 r/min，電動機(jī)空載啟動，在t=0.25 s時增加轉(zhuǎn)速到800 r/min，得到系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖5所示。

圖6為轉(zhuǎn)速突變時的電磁轉(zhuǎn)矩波形，在電動機(jī)運(yùn)行到0.25 s時設(shè)置轉(zhuǎn)速為800 r/min，分?jǐn)?shù)階全局滑模控制下，電動機(jī)轉(zhuǎn)矩瞬間上升且在0.27 s迅速進(jìn)入到穩(wěn)定狀態(tài)，而傳統(tǒng)雙閉環(huán)PI控制轉(zhuǎn)矩脈動較大，直到0.3 s才恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5 轉(zhuǎn)速突變時系轉(zhuǎn)速波形圖

圖6 轉(zhuǎn)速突變時轉(zhuǎn)矩波形圖

(3)給定轉(zhuǎn)速n=600 r/min，圖7為永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)輸入量的變化曲線，可以看出分?jǐn)?shù)階全局滑模控制相對于傳統(tǒng)滑模控制能更好的抑制“抖振”問題。圖8為分?jǐn)?shù)階全局滑模控制下永磁同步電機(jī)參數(shù)J變化對系統(tǒng)控制性能影響的仿真圖，可以看出電機(jī)參數(shù)變化對系統(tǒng)的綜合控制性能基本沒多大差別，這進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提控制系統(tǒng)的魯棒性。

圖7 控制系統(tǒng)輸入量

圖8 電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量變化時轉(zhuǎn)速波形圖

4 結(jié)論

本文針對PMSM傳統(tǒng)雙閉環(huán)PI控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度慢和抗干擾能力較差以及傳統(tǒng)滑模控制中的抖振問題，提出了分?jǐn)?shù)階全局滑模控制系統(tǒng)，設(shè)計了分?jǐn)?shù)階全局滑模控制器，并通過Lyapunov穩(wěn)定性定理對該控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。最后仿真結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階全局滑模控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗干擾能力得到提高，魯棒性得到增強(qiáng)，且較傳統(tǒng)的PI控制具有更精確的跟蹤能力和動態(tài)性能。

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Research on Permanent Magnet Synchronous Motor with GlobalSliding Mode Control Based on Fractional Order

LI Shuangshuang， CUI Yanwei， XU Mingxin， GAO Lin

(College of Electrical Engineering and Automation, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China)

In order to improve the anti-interference ability of the permanent magnet synchronous motor (PMSM) control system, based on the traditional double closed loop PI control, by modifying the speed loop and applying the fractional calculus of speed error, the fractional global sliding mode controller is designed in this paper. Making use of the feature of slow attenuation with time of the fractional order system, the robustness of the system is enhanced. Meanwhile, the method of boundary layer for the problem of chattering existing in traditional sliding mode control is introduced, which uses the saturated function to replace the control switch function of the law, so as to effectively weaken the chattering phenomenon of sliding surface, and improve the comprehensive performance of the system. MATLAB simulation results show that compared with the traditional double closed loop PI control, the PMSM fractional order global sliding mode control system has better tracking ability and robustness against load disturbance and speed change.

permanent magnet synchronous motor (PMSM); fractional order; global sliding mode control; boundary layer method

10.3969/j.ISSN.1672-0792.2017.11.001

2017-05-31。

TM341

A

1672-0792(2017)11-0001-06

李雙雙(1992-)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)榭刂评碚撆c控制工程。