運用整體思想解題 培養創新思維能力

陳利明

(江蘇省揚州市廣陵區頭橋中學 225000)

運用整體思想解題培養創新思維能力

陳利明

(江蘇省揚州市廣陵區頭橋中學 225000)

“整體思想”是一種重要的數學解題思想方法，“整體思想”就是在解題過程中不執著于局部的處理，不拘泥于常規的方法，而根據數學題目自身的特殊性，從整體的角度出發進行處理.即把題目中的某一部分看成一個整體，而不進行單獨求解，在求條件代數式的值時，一般從已知式中不能確定代數式中字母的值，或雖能確定，但計算繁雜，這時若采用整體思想代換求值，常能使問題迅速獲解.這種從整體處理的思維方法，不僅解題方法別致新穎、思路清晰，而且能達到迅速、準確的解題目的.有利于開闊學生的視野，提高能力、發展智力、增強素質.

整體代換；代數式；二次三項式；中間結果；扇形面積；無理數；圓環面積

下面用幾個實例說明整體思想在教學實踐中的應用.

例1 ①已知x3+x2+x+1=0，那么1+x+x2+x3+x4+…+x1995=____;②已知a2-a+1=0,求a3-2a+1的值.③已知x2+x-1=0,求x3+2x2+1997的值.

解①原式=(1+x+x2+x3)+x4(x+x+x2+x3)+x8(1+x+x2+x3)+…+x1992(1+x+x2+x3)=(1+x+x2+x3)(1+x4+x8+x12+…+x1992).

∵1+x+x2+x3=0,∴原式=0.

②原式=a3-a2-a+a2-a-1+2=a(a2-a-1)+(a2-a-1)+2.∵a2-a-1=0,∴原式=a×0+0+2=2.

③由x2+x-1=0,得x2+x=1.

原式=x3+x2+x2+x-x+1997=x(x2+x-1)+(x2+x)+1997=x×0+1+1997=1998.

說明：如果從已知式中得出字母的值，再直接代入計算過程相當繁瑣.將已知的代數式的值，整體代入待求的代數式中求值，可以大大減少運算的工作量，化繁為易.

②解法2

由題意知：x2+1=4x,

說明若已知條件式是二次三項式，可以根據待求式的特征，進行恰當的變形，然后利用整體代入以達到簡化的目的.

例3 已知-2x+y=5,求20x2-20xy+5y2-6x+3y+1870的值.

分析用整體思維處理問題，就是從大處著眼，不局限于細微枝節，有時可把已知條件或解題過程中所得的中間結果作為一個整體，代入所求的式子中，使問題能快捷解決.

將2x-y視為一個整體，直接代入原式方便而快速求解.

解由-2x+y=5,得2x-y=-5,

原式=5(2x-y)2-3(2x-y)+1870

=5×(-5)2-3×(-5)+1870

=2010.

例4 當x=-3時，代數式ax5+bx3+cx-8=6，求當x=3時ax5+bx3+cx-8的值.

分析因無法分別求出a、b、c的值，可把ax5+bx3+cx看作一個“整體”，先求其值.

解當x=-3時，由已知可得35a+33b+3c=-14,故當x=3時，ax5+bx3+cx-8=35a+33b+3c-8=-14-8=-22.

分析把5x-4看成一個整數，即可消去x.

解把②代入①，得4y=3+3y，即y=3.

把y=3代入②得5x-4=6,即x=2.

代換思想是解題中常用的策略，對于一般的代換思想同學們并不陌生，這里給出一些非常規的整體求解，整體代換的實例.

例6 已知x+y+z=3,求證：(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=2[(x-1)(1-y)+(y-1)(1-z)+(z-1)(1-x)].

分析本題若從常規方法考慮，無疑是很繁瑣的，通過觀察發現：求證的式子有點像(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

再觀察條件x+y+z=3,可變為x-1+y-1+z-1=0，于是可采用整體求解，整體代換的思想.

證∵x+y+z=3,∴(x-1)+(y-1)+(z-1)=0,∴[(x-1)+(y-1)+(z-1)]2=0,∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+2(x-1)(y-1)+2(x-1)(z-1)+2(y-1)(z-1)=0,∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=2[(x-1)(1-y)+(y-1)(1-z)+(z-1)(1-x)].

在解決一些數學題時，有些問題如果說分開來看，似乎很不好處理，找不到解決問題的關鍵，但作為一個整體來處理，就變得容易一些.

例7 已知：x2-x-1=0,求-x3+2x2+2009的值.

分析由x2-x-1=0知x是無理數，所以求出x代入所求的代數式計算很繁.考慮用整體處理的思想方法.

∵x≠0，∴x3-x2-x=0.

∴-x3+2x2+2009=-(x3-2x2)+2009=-(x3-x2-x-x2+x)+2009=-(-x2+x)+2009=2010.

例8 若α、β是關于x的方程x2-2008x+2010=0的兩個根，求(α2-2009α+2010)(β2-2009β+2010)的值.

分析由已知有α2-2009α+2010=-α,β2-2009β+2010=-β.所以(α2-2009α+2010)(β2-2009β+2010)=αβ=2010.

本題將α2-2009α+2010和β2-2010β+2010都作為一個整體代入運算，很方便求得結果.

例9 一個同心圓，圓心為O，小圓的切線被大圓截得的線段AB長為6，則兩圓構成的圓環面積是多少？

分析題中大圓半徑R、小圓半徑r無法求出，但只要知道R2-r2這一整體即可.

例10 如圖2，分別以△ABC的三個頂點A、B、C為圓心作圓，⊙A、⊙B、⊙C兩兩不相交，且它們的半徑都是1，則圖中三個扇形(即三個陰影部分)面積之和是多少？

分析△ABC是任意的，所以每一個扇形的面積無法求出，故用整體法來求.

[1]黃東坡.數學培優新方法[M].武漢：湖北人民出版社，2015.

2017-07-01

陳利明(1975.06-)，男，揚州市廣陵區頭橋中學，本科.

G632

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1008-0333(2017)32-0013-02

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