例談不定式極限的一些解題技巧

丁嘉程

摘要：不定式極限的解法非常多，常用的方法有洛必達(dá)法則，等價(jià)無(wú)窮小，泰勒公式，重要極限，導(dǎo)數(shù)定義，迫斂定理等.此外，及時(shí)化簡(jiǎn)，變換與整理等技巧也有助于不定式極限的求解.本文通過(guò)9個(gè)具體的實(shí)例，來(lái)闡述這些方法在求解不定式極限的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：不定式極限；解題技巧；洛必達(dá)法則；等價(jià)無(wú)窮小；泰勒公式

在不定式極限求解問(wèn)題中，除了洛必達(dá)法則，等價(jià)無(wú)窮小，泰勒公式，重要極限等常規(guī)方法，還可利用導(dǎo)數(shù)定義，迫斂定理，化簡(jiǎn)，變換與整理等技巧。例如視函數(shù)特征進(jìn)行分子分母有理化或簡(jiǎn)單分離，分子分母同除以x的最高次冪，使用換元法，通分法等。本文通過(guò)9個(gè)具體的實(shí)例，合理運(yùn)用這些技巧，來(lái)闡述這些方法技巧在求解不定式極限的應(yīng)用。

【例1】求limx→+ 3x+1-3-x3x+3-x.（分子分母同除以3-x，再運(yùn)用洛必達(dá)法則求解）。

解：原式=limx→+ 32x+1-132x+1=limx→+

【例2】求limx→0x-arcsinxx3.（運(yùn)用洛必達(dá)法則后將分子有理化）。

解：原式=limx→01-11-x23x2=limx→0（1-x2）2-13x2·limx→011-x2limx→011-x2+1=-16.

【例3】求limx→1xx-1xlnx.（利用變量換元法）。

解：設(shè)t=xx-1，則xlnx=ln（t+1），所以原式=limx→1tln（1+t）=limx→1111+t=1.

【例4】求limx→1sin4（x2-1）x-1.（利用導(dǎo)數(shù)定義求解）。

解：設(shè)f（x）=sin4（x2-1），則f（1）=0，原式=limx→1f（x）-f（1）x-1=f′（1）=8.

【例5】求limx→+ [x]x.（利用迫斂定理求解）。

解：由x-1<[x]≤x，當(dāng)x>0時(shí)，有1-1x<[x]x≤1。因?yàn)閘imx→+

1-1x=1，由迫斂定理，得limx→+ [x]x=1.

【例6】求limx→0ln（1+x2）secx-cosx.（結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小和洛必達(dá)法則從而簡(jiǎn)化計(jì)算）。

解：limx→0ln（1+x2）secx-cosx=limx→0x2secx-cesx=limx→02xsecxtanx+sinx=limx→02x（cos2x+1）-1sinx

=limx→0xsinx·2cos2xcos2x+1=1.

【例7】求limx→0（cosx）1x2.（利用初等函數(shù)的連續(xù)性與洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算）。

解：原式=limx→0e1x2lncosx=

elimx→01x2lncosx=

elimx→0-tanx2x=e-12.

【例8】求lim1+1n2n-13=1。

【例9】求limx→0（e3-1-x）2xsin3x的極限.（泰勒公式與等價(jià)無(wú)窮小量結(jié)合）。

解：當(dāng)x→0時(shí)有sinx～x，又ex=1+x+x22+o（x2），

∴原式=limx→0x22+o（x2）2x·x2

=limx→0x44+x2o（x2）+[o（x2）]2x4

=limx→0x44+o（x4）+o（x4）x4

=limx→0[14+o（x4）x4]=14.

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）（第四版），高等教育出版社，2010.7.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析習(xí)題詳解（上冊(cè)）（第四版）.高等教育出版社，2010.7.endprint