例談不定式極限的一些解題技巧

丁嘉程

摘要：不定式極限的解法非常多，常用的方法有洛必達法則，等價無窮小，泰勒公式，重要極限，導數定義，迫斂定理等.此外，及時化簡，變換與整理等技巧也有助于不定式極限的求解.本文通過9個具體的實例，來闡述這些方法在求解不定式極限的應用.

關鍵詞：不定式極限；解題技巧；洛必達法則；等價無窮小；泰勒公式

在不定式極限求解問題中，除了洛必達法則，等價無窮小，泰勒公式，重要極限等常規方法，還可利用導數定義，迫斂定理，化簡，變換與整理等技巧。例如視函數特征進行分子分母有理化或簡單分離，分子分母同除以x的最高次冪，使用換元法，通分法等。本文通過9個具體的實例，合理運用這些技巧，來闡述這些方法技巧在求解不定式極限的應用。

【例1】求limx→+ 3x+1-3-x3x+3-x.（分子分母同除以3-x，再運用洛必達法則求解）。

解：原式=limx→+ 32x+1-132x+1=limx→+

【例2】求limx→0x-arcsinxx3.（運用洛必達法則后將分子有理化）。

解：原式=limx→01-11-x23x2=limx→0（1-x2）2-13x2·limx→011-x2limx→011-x2+1=-16.

【例3】求limx→1xx-1xlnx.（利用變量換元法）。

解：設t=xx-1，則xlnx=ln（t+1），所以原式=limx→1tln（1+t）=limx→1111+t=1.

【例4】求limx→1sin4（x2-1）x-1.（利用導數定義求解）。

解：設f（x）=sin4（x2-1），則f（1）=0，原式=limx→1f（x）-f（1）x-1=f′（1）=8.

【例5】求limx→+ [x]x.（利用迫斂定理求解）。

解：由x-1<[x]≤x，當x>0時，有1-1x<[x]x≤1。因為limx→+

1-1x=1，由迫斂定理，得limx→+ [x]x=1.

【例6】求limx→0ln（1+x2）secx-cosx.（結合等價無窮小和洛必達法則從而簡化計算）。

解：limx→0ln（1+x2）secx-cosx=limx→0x2secx-cesx=limx→02xsecxtanx+sinx=limx→02x（cos2x+1）-1sinx

=limx→0xsinx·2cos2xcos2x+1=1.

【例7】求limx→0（cosx）1x2.（利用初等函數的連續性與洛必達法則進行計算）。

解：原式=limx→0e1x2lncosx=

elimx→01x2lncosx=

elimx→0-tanx2x=e-12.

【例8】求lim1+1n2n-13=1。

【例9】求limx→0（e3-1-x）2xsin3x的極限.（泰勒公式與等價無窮小量結合）。

解：當x→0時有sinx～x，又ex=1+x+x22+o（x2），

∴原式=limx→0x22+o（x2）2x·x2

=limx→0x44+x2o（x2）+[o（x2）]2x4

=limx→0x44+o（x4）+o（x4）x4

=limx→0[14+o（x4）x4]=14.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系編.數學分析（上冊）（第四版），高等教育出版社，2010.7.

[2]華東師范大學數學系編.數學分析習題詳解（上冊）（第四版）.高等教育出版社，2010.7.endprint