分類思想方法的內涵及數學教育價值

數學教育的目的不僅要使學生掌握數學知識與技能，喚起學生對數學的認識，更要發展學生的數學意識，培養他們應用數學的能力，形成解決問題的策略。因此，在學生的數學基礎知識、基本技能獲得的過程中，也應同時讓學生感悟基本的數學思想方法，形成正確的數學觀念，全面提高數學素養。分類思想方法是現實世界人們應用最廣泛的思想方法，對人的數學能力的發展有著重要的作用。通過分類內容的學習與分類思想方法的應用，使學生獲得分類思想方法，學會用分類思想方法分析、解決問題，形成有效的解決問題的策略，對學生的數學能力的提高有著極為重要的作用。

一、分類思想方法的內涵

數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，是從某些具體數學認識過程中提煉出的一些觀點，它揭示了數學發展中普遍的規律，直接支配著數學的實踐活動，是對數學規律的理性認識。數學方法，就是解決數學問題的方法，即解決數學具體問題時所采用的方式、途徑和手段，也可以說是解決數學問題的策略。數學思想是宏觀的，它更具有普遍的指導意義。而數學方法是微觀的，它是解決數學問題的直接具體的手段。一般來說，前者給出了解決問題的方向，后者給出了解決問題的策略。由于小學數學內容比較簡單，所以隱藏的數學思想和方法其本質往往是一致的，很難截然分開。如常用的分類思想和分類方法、化歸的思想和化歸的方法，在本質上都是相通的，所以小學數學通常把數學思想和方法看成一個整體概念，即數學思想方法。我們通常將分類思想、分類方法統稱為分類思想方法。

（一）分類思想

分類思想，是指根據一定的標準，對事物進行有序劃分和組織的過程。是人們對分類對象的本質及規律性的認識，它是在分類活動中解決問題的基本觀點和根本想法，是建立數學知識和運用分類工具解決問題的指導思想。在數學上的重要應用就是分類討論的思想，即將問題按照一定的標準分為若干類，然后逐類進行討論，再將這幾類的結論匯總，得出問題的答案。如在小學階段，得出“三角形內角和是180°”這個結論，可以用動手操作試驗的方法獲得結果：將某個三角形的三個角撕下，拼在一起，能拼成一個平角，從而得出這個三角形內角和是180°。但只做一個三角形的操作試驗不能足以說明任意三角形的內角和是180°，可以根據三角形按角分類分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，對三種類型的三角形分別進行動手操作試驗，由此使學生認識到，每類三角形將其三個角撕下，拼在一起，均能拼成一個平角，而得出一般結論：“任意三角形內角和是180°”。這種得出“任意三角形內角和是180°”的方法，就是將三角形按角分為的三類，逐類進行討論，得出“每類三角形的內角和都是180°”的結論，從而得出“任意三角形內角和都是180°的結論。”

（二）分類方法

在分類思想的指導下，人們在從數學角度提出問題、解決問題的過程中獲得了分類解決問題的概括性策略，產生了分類方法。下面對分類的涵義、分類方法、分類應遵循的原則及分類過程加以闡述。

1.分類的涵義

根據事物的特點分別歸類。即按照事物的種類、等級或性質等屬性分別歸類。如將人分類、將郵件分類、將圖形分類等。現實生活及數學問題解決中分類的現象很多。通過分類將研究對象細化、具體化，有利于問題解決。

2.分類方法

將事物根據其某個屬性分為若干個有規律的類別，按此類別處理事物或解決問題。分類方法是分類思想指導下的解決問題的程序。如在現實生活中，將人按其性別分為男性和女性兩個類別，據此，將公共衛生間設置成男、女衛生間，將學生的宿舍設置成男、女宿舍等，這是應用分類的方法處理現實問題的例子。在數學問題解決中常常還有在分類思想指導下的分類討論方法：在研究與解決數學問題時，如果問題不能以統一的或同一種方法處理或同一種形式表述、概括，可根據數學對象的本質屬性的特點，按照一定的原則或某一確定的標準，在比較的基礎上，將數學對象劃分為若干既有聯系、又有區別的部分，然后逐類進行討論，在此基礎上，綜合各類情況討論的結果，獲得問題的解決。

（三）分類的原則

應用分類思想方法解決問題，應根據事物的屬性選擇恰當的標準進行正確分類，正確分類的原則是：無重復、無遺漏、一致性、逐級分類、最簡便。無重復原則是指被分類的對象是確定的，在分類的結果中，每一個對象只能被分在某一類中，而不能重復出現在其他類中。無遺漏原則是指在分類的結果中，每一個被分的對象應在某一類中，而不能有遺漏。一致性原則是指每一次分類的標準必須是統一的。逐級分類原則是指如需多次分類，必須逐級進行，不得越級。最簡便原則是指所選擇的分類標準應使分類簡捷，有利于簡便地解決問題。

（四）分類過程

1.根據問題解決的需要確定分類標準

分類是根據事物的某一屬性進行的，這一屬性就是分類標準，它是根據問題解決的需要來確定的。如，解決人們公共如廁問題，就是根據人的性別這一屬性，將人分為男性、女性兩類。隨之，將公共衛生間設為男廁、女廁兩類，有效地解決了人們公共如廁的問題。

2.恰當地對研究對象進行分類

分類之后的子項既不能“交叉”也不能“從屬”，即 “既不重復，又無遺漏”。如按同一標準分物品，被分的某物品不能既是這一類，又是另一類。

此外，還有逐類進行討論和綜合概括，歸納得出最后結論等。

二、分類思想方法的教育價值

分類思想方法對于人的成長和社會的發展有著重要的價值和作用，在現實生活中有廣泛的應用價值，是學生后續發展性學習、理論與實踐結合的應用基礎，是發展思維能力，培養創新性人才的有效學習內容，通過分類思想方法的學習與應用，可以幫助人們形成分類思想方法，獲得用分類思想方法解決問題的策略。

（一）分類思想方法是最基本的教學思想方法

數學思想方法是數學知識的抽象和概括，它蘊涵在數學知識的發生、發展和應用的過程中，能夠遷移和應用于相關知識、數學問題的解決中，是數學知識體系的靈魂和本質所在。分類思想方法是基本的數學思想方法，通過分類思想方法的學習與應用，可以使人們獲得通過分類解決問題的一般策略，增強數學意識，提高解決問題的能力。分類思想方法是人們應該獲得的最基本的重要的思想方法，它應用廣泛，無孔不入地滲透到人們生活的各個領域。如圖書館圖書的擺放、商場中賣場的劃分等等，都是利用分類思想方法，將物品分類擺放，方便人們盡快地找到物品；再如，學校中的學生管理，可以按照學生入學的年份或學習內容，將全校學生分成一至六年級。生活中應用分類思想方法解決問題的例子很多，不勝枚舉。當人們在獲得了分類思想方法之后，才可能利用分類的方法去分析、解決問題，形成用分類的思想方法解決問題的意識和能力，從而在學習、生活及工作中加以應用。

分類思想方法是學生學習數學知識、形成能力的重要基礎。小學生對統計與概率內容的學習，正是在學習了分類知識的基礎之上展開的。如統計班級學生最喜歡什么種類的圖書，首先就要將圖書進行正確分類，然后對學生喜歡的每類圖書情況進行統計，最后根據統計的數據分析而獲得對班級學生最喜歡的圖書種類的認識。

在小學階段使學生獲得分類思想方法，將對學生升入初中、高中的后繼學習產生重大影響。初中和高中數學的分類解決問題的方法就是在學生已有的經驗基礎上學習的。分類討論思想是數學思想方法中一種比較重要的方法。分類討論思想又稱“邏輯化分思想”，是分類思想在解題中的具體應用，它是把所要研究的數學對象劃分為若干不同的情形，然后再分別進行研究和求解的一種數學思想，相關的習題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性的特點。學生在小學階段進行分類思想方法的學習，對其后繼的學習及應用有著重要的教育價值。

（二）分類思想方法是發展學生數學思維能力的有效途徑

數學思想方法是學生數學認知結構中最積極、最活躍的因素，處于數學認知結構的最頂端，是形成學生良好認識結構的紐帶，是由知識轉化為能力的橋梁。對學生數學認知結構的建構具有重要的意義。數學思想方法在數學教育中有著重要的作用，它對改變傳統教育觀念、培養學生創新意識及應用意識、發展數學思維、形成良好的數學素養方面具有極為重要的作用。數學思想方法在培養人的創新意識、培養人的探究能力和動手操作能力等方面是不可或缺的重要的學習內容，其重要作用已經引起國內外專家的重視。圍繞數學思想方法的論著有很多，并在此基礎上提出如何根據蘊含數學知識的教學內容，來研究現代數學思想方法和指導教學。分類思想方法是應在小學數學教學中向學生滲透的基本數學思想方法，在學生獲得知識的過程中，發展其思維的縝密性、全面性等思維能力，培養其抽象、概括能力和探索創新的意識與精神。分類思想方法是發展思維能力，培養創新人才的有效學習內容，是培養創新性人才的基礎。

（三）分類思想方法是學生學會解決問題的根本策略

人們在探索解決問題的過程中獲得了一些重要的思維結果，由此形成了數學思想，將數學思想作為解決問題的工具或手段就產生了數學思想方法。數學思想方法在問題解決中常常起到評估、決策的作用，進而確定解決問題的策略。數學思想方法是分析、處理和解決數學問題的根本策略，是對數學規律的理性認識，是對數學知識和方法的本質概括。通過分類思想方法的學習與應用，可以使人們在解決問題的過程中獲得用分類的方法分析和解決問題的策略。

（作者單位：大連教育學院）

（責任編輯：楊強）