源于數學變換的神奇CT

邵紅能

1895年，倫琴發現了X射線，為人類帶來了福音，特別是在征服肺病上立下汗馬功勞。但是，它也有缺點，如在診斷腫瘤的時候，X射線透視常常力不從心。這是因為，人體是立體的，照在一張平面的底片上，影像互相重疊，前面的影子擋住后面的影子，沒有立體感，分不清楚問題到底出在哪里。這一問題引起了美國數學家、物理學家科馬克的思考。

數學變換帶來神奇裝置

20世紀70年代中期，在醫學領域出現了一種神奇裝置，名為“計算機輔助X射線斷層成像儀”（Computer Assisted Tomography，簡稱CAT或CT），它能夠在不損傷病人的情況下，提供人體從頭到腳各部位的斷層X射線圖像。利用CT，醫生可以輕而易舉地觀察到人體內部哪怕是極其微小的病變和病灶分布，能夠及早采取正確的治療措施，從而拯救無數患者的生命。這個神奇裝置是如何發明的呢？這就要從科馬克接受的一次任務說起。

1955年，還是開普敦大學物理學講師的科馬克接到一項任務，要為南非一家醫院的放射科監測腫瘤患者接受放射性同位素治療的劑量。接受治療的患者體內的同位素劑量及其分布會受到嚴格的控制。這是因為如果同位素劑量太小，將達不到理想的療效；劑量太大，則會危害患者的健康。同時，同位素的濃度應在腫瘤組織內較高，在健康組織內盡可能低。科馬克想，是否可以通過體外測量同位素發出的射線，來確定其在體內的濃度分布，以幫助醫師確定最佳治療方法？他很快發現這其實是一個數學問題，如果這個問題解決了，很多問題都會迎刃而解。1963年，他發表了名為“函數的直線積分表示及其放射學應用”的開創性論文，通過自己的努力解決了這個數學問題。這篇論文中包括研制CT的完整理論，而且也提到了三個實際應用：①確定二維區域內X射線吸收率的變化；②確定物質中正電子湮滅的非均勻分布；③確定恒定成分物質中的密度變化。

其實，早在1917年，奧地利數學家拉東就發表過一篇論文，文中提出一種變換方法，即對于一個定義在一定區域上的函數f，如何從該函數在以不同角度穿過該區域的直線上的積分值，來求得其分布解的變換方法。這個方法后來被稱為“拉東變換”。科馬克的工作其實就是重新發現“拉東變換”，并把它用于放射醫學。

CT的工作原理

CT，又稱電子計算機斷層掃描，是利用精確準直的X射線束、γ射線、超聲波等，與靈敏度極高的探測器一同圍繞人體的某一部位做一個接一個的斷面掃描，具有掃描時間快，圖像清晰等特點，可用于多種疾病的檢查；根據所采用的射線不同可分為：X射線CT（X-CT）、超聲CT（UCT）以及γ射線CT（γ-CT）等。

CT是如何做到在不損傷病人的情況下，獲得病人體內橫斷層的圖像的？人體內部不同的組織具有不同的X射線吸收率。所以，如果能夠知道人體內X射線吸收率的分布，就可以重建體內組織的圖像了，這正是CT所要做的。從數學的角度來看，一根直線上的X射線平均吸收率就相當于在該直線上對于吸收率函數的積分值。因此，如果能根據函數在直線上的積分值來求出函數在各點的值，那么，就可以實現CT的功能了。這正是科馬克在1963年的那篇論文中所完成的工作。

沉寂之后迎來的諾貝爾獎

科馬克的論文發表后，在好幾年內無人理會。直到20世紀70年代初期，由于計算機的迅速發展使得大規模數值運算成為可能，英國計算機工程師豪斯·菲爾德制造出了第一臺CT原型機，更多的學者才開始研究CT的工作原理。這時人們注意到，科馬克早在多年前就已經建立好了CT的完整理論。豪斯·菲爾德并未受過專業的工程教育，但他參加過第二次世界大戰并在軍隊里學習了電子技術，他甚至未曾獲得過正規大學的畢業文憑。正是這樣一個被遺忘的數學理論和一個草根出身的工程師開辟了一條全新的醫學檢測道路。

1979年的諾貝爾生理學或醫學獎授予了科馬克和豪斯·菲爾德，這兩位完全沒有進入過醫學院深造的“醫學編外人”。卡羅琳醫院的葛雷茨教授在授獎發言中說：“今年諾貝爾生理學或醫學獎的兩位獲獎者都不是醫學專家，然而他們在醫學領域掀起了一場革命……他們所發明的計算機輔助X射線成像技術，使醫學進入了太空時代。沒有什么醫學成就能夠像CT技術那樣，立即被廣泛接受并得到毫無保留的熱烈歡迎。科馬克和豪斯·菲爾德開創了醫學診斷的新時代……”

20世紀80年代初，CT發展到第五代，它已經不僅用于臨床診斷，而且應用到放射治療和劑量的設計、心臟動態掃描、精密活體標本取樣、癌變組織鑒別等方面，CT與X射線透視、超聲、同位素等影像顯示方法相結合，建立起影像診斷學，已成為當時現代化醫院的標志之一。

CT理論的更廣泛應用

除了在醫學領域大放光彩，CT技術的數學理論還有著更廣泛的應用。例如，當用γ射線、質子或正電子代替X射線時，就相應得到了γ射線、質子或正電子的CT。這些CT圖像有著不同于X射線圖像的意義。比如，正電子CT（PET）能夠提供病人體內新陳代謝水平的分布圖像。此外，該理論還可以用于其他領域，如測量海水溫度分布、觀察天體運動等。近幾年有報道稱，CT技術被用于木材的無破壞內部檢測，它將大大提高木材的利用率并降低生產成本。

經過多年實踐驗證，CT的發明為醫學、電子掃描、科學觀測等科技領域帶來了極大的便利。CT的發明為人類帶來了健康的福音和技術的飛躍，而CT的發明者科馬克和豪斯·菲爾德也將被載入史冊。

【責任編輯】張小萌