淺談圓錐曲線的定義在解題中的應用

[摘 要] 眾所周知，圓錐曲線是解析幾何的“重頭戲”，同時也是解析幾何內容的高潮與解題升華，即使在教學大綱要求較低的中職教育的數學教學中也不例外。圓錐曲線的各種題型中，圓錐曲線的定義發揮了舉足輕重的作用。但不少學生對圓錐曲線的定義缺乏自覺性，其實在處理某些解析幾何問題時，若能結合圓錐曲線的定義考慮，可避免繁瑣的計算過程，從而顯得簡潔、明快。一旦涉及曲線上的點到焦點或到準線的距離，往往只要將其巧妙靈活地運用，問題便會迎刃而解。

[關 鍵 詞] 圓錐曲線；解題；數學定義

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）26-0112-02

子曰：“學而不思則罔?！睌祵W定義是數學體系中十分重要的組成部分，具有高度的抽象性和概括性，搞清楚定義的內涵與外延，有助于解題的判斷與推理，有助于思維嚴謹性的培養。提高數學解題能力的堅實基礎是必須對相對應的數學定義有深刻的理解。因此，圓錐曲線問題的定義法求解不僅構成了解析幾何解題方法上一片絕妙、靚麗的“風景”，而且充分體現了數學定義基石的作用。下面筆者結合近幾年中職數學教學實踐，談談圓錐曲線定義在解題中如何靈活應用。

平面內與一個定點和一條定直線的距離之比是一個常數e的點的軌跡叫做圓錐曲線，當01時該曲線為雙曲線，當e=1時該曲線為拋物線。其中定點是它們的焦點，定直線是它們的準線，常數e是它們的離心率。橢圓、雙曲線及拋物線統稱為圓錐曲線。這是圓錐曲線的第二定義。第一定義（略）表面上只是闡述橢圓、雙曲線、拋物線各自的性質特征。而第二定義中把橢圓、雙曲線、拋物線的共同特性刻畫得淋漓盡致。其實二者有著的內在聯系和高度統一。比如，在橢圓概念教學中，課本首先拋出橢圓的第一定義，然后在習題中給出橢圓的第二定義，而課本又沒解釋只一筆帶過，這時，教師就應該想辦法解釋橢圓兩種定義之間的內在聯系，這自然會激發學生一起去探索其中奧秘的欲望，促進了對橢圓概念統一性的全面認識。由于中職學生在思考問題時，思維經常跳不出條條框框的束縛，其思維被定勢了，這樣就會造成思維封閉狀態。因此，在圓錐曲線的教學中，教師要不斷創設教學情景，從深化概念教學入手，激發學生的求知欲望和體式思維，培養學生思維的深刻性，從而才能在有關圓錐曲線題目的解題中做到游刃有余。

一、關于用圓錐曲線定義解決平面幾何問題

在解決圓錐曲線的問題中，有些是與平面幾何有關的問題，如求距離、周長、面積、夾角等，圓錐曲線的定義為它們的解決提供了十分有效的工具。

例1 橢圓 + =1上的一點P到其左焦點的距離為3，求點P到其右準線的距離。

[分析]本題充分利用橢圓的兩個定義，先由第一定義求出點P到其右焦點的距離，再由第二定義求出點P到其右準線的距離。即點P到其右焦點的距離為2a-3=7，e= = ，這時點P到其右準線的距離d= 。

例2 設F1、F2為雙曲線 -y2=1的兩焦點，點P在雙曲線上，且∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面積。

[分析]由雙曲線第一定義得，PF1-PF2=2a=4在Rt△F1PF2中，PF12+PF22=F1F22=4c2=20，（PF1-PF2）2=PF12+PF22-2PF1PF2，得PF1PF2=2，∴S△F PF =1。

解這類圓錐曲線的問題，多運用圓錐曲線的數形進行結合轉化，巧妙地運用圓錐曲線的兩種定義，再結合運用平面幾何的一些定理、公式就可以解決，學生掌握了此類問題的實質和規律，既對問題進行較高層次的概括，同時也開拓了學生的創造性思維。

二、關于用圓錐曲線定義解決最值問題

與圓錐曲線有關的最值問題，有些題目若是按常規思路去解決處理，很難奏效，如能根據圓錐曲線的定義解決，往往能出奇制勝，起到事半功倍的作用。

例3 已知橢圓 + =1及點M（2，1），F1、F2是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上的動點，求AM+AF2的最大值。

[分析]由橢圓的定義知：AM+AF2=AM+（2a-AF1）=2a+（AM-AF1）≤2a+MF1=8+ 。

∴AM+AF2max為8+ 。

例4 長度為t（t≥1）的線段AB的兩個端點在拋物線x2=y上移動，這一線段的中點為M，求離x軸最近的點M的縱坐標。

[分析]設線段AB的兩個端點為A（x1，y1），B（x2，y2），中點M（x，y），拋物線x2=y的焦點為F，AF=y1+ ，BF=y2+ ，y= = （AF+BF- ）≥ （AB- ）= ，當AB過F點時，ymin= 。

解這類題時，由于受求最值問題的模式影響，學生常用的一般常規思路是建立目標函數，結果造成解題失敗。其實，在解題過程中通過觀察、聯想，再運用圓錐曲線的定義，可以快速地解決問題，從而培養了學生的觀察、聯想能力。

三、關于用圓錐曲線定義解決軌跡方程問題

解析幾何中的求軌跡方程問題十分繁多，方法也較多，而利用圓錐曲線定義求軌跡方程是一種極其重要的方法，若題設中出現定點與定直線，出現到兩定點距離之和或之差為常數等條件時，常常利用圓錐曲線定義可以盡快對軌跡形狀作出準確的判斷，從而快速地求出軌跡方程。

例5 一動圓與兩定圓同時相外切，求動圓圓心的軌跡。

[分析]設動圓圓心為P，半徑為r，兩定圓圓心為O1，O2，半徑為r1、r2，設r10為定值，據雙曲線第一定義可以得出所求的軌跡是雙曲線中的一支。

例6 在△ABC中，BC=2m，當動點A滿足條件sin C+sin B=2sin A時，求動點A的軌跡方程。

分析 由正弦定理得，sin C+sin B=2sin A可化為AB+AC=2BC=4m。由橢圓的第一定義知，動點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓（與B、C共線的頂點除外）。易知，a=2m，c=1m，b= m。∴A點的軌跡方程 + =1（y≠0）或 + =1（x≠0）。

求圓錐曲線動點的軌跡方程是解析幾何問題中的一大難點，巧妙地運用圓錐曲線的定義和其他公式、定理并能結合平面幾何方法，既有助于突破這一難點，也能激發學生數形結合思考問題的興趣，提高了學生解題思維的嚴謹性。

四、關于用圓錐曲線定義解決參數范圍問題

利用圓錐曲線定義求參數范圍，是方程、不等式、函數、三角、解析幾何等知識綜合性應用問題，也是中職數學內容的升華，有時利用圓錐曲線的定義把條件進行巧妙地轉化成為解題的關鍵，從而大大縮短求解過程。

例7 在平面直角坐標系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的曲線是橢圓，求m的取值范圍。

[分析]若將已知方程化為橢圓的標準方程，運算太繁瑣。利用橢圓第二定義把條件轉化是解題的關鍵。已知方程可化為mx2+（y+1）2=（x-2y+3）2，則有 =x-2y+3，∴ = ，它表示P（x，y）到定點（0，-1）的距離與P到定直線x-2y+3=0的距離之比為常數 ，又∵ <1，解得m>5。

例8 橢圓 +y2=1的右焦點為F，右準線為L，以L、F為對應準線和焦點的雙曲線截直線y=kx+2所得的弦平分x軸，求k的取值范圍。

[分析]利用定義求出雙曲線的方程是本題的關鍵。橢圓的右焦點F（1，0），右準線為L：x=2，設雙曲線的離心率為e（e>1），P（x，y）為雙曲線上任意一點，由圓錐曲線的第二定義得：（1-e2）x2+（4e2-2）x+y2+1-4e2=0，設直線與雙曲線的交點為P1（x1，y1），P2（x2，y2），把y=kx+2代入上式并整理得：（1+k2-e2）x2+（4e2+4k-2）x+5-4e2=0?！鄕1+x2= ，y1+y2=k（x1+x2）+4，又由已知得y1+y2=0?！鄀2= （k≠-1），又e>1，∴-1

求圓錐曲線的參數范圍時，在解題上要多探索和思考，打破學生思維定式的影響，多聯系圓錐曲線的定義，有時靈活運用韋達定理，就可以簡化運算，這樣既優化了學生的思維品質，又提高了學生的學習自信心。

圓錐曲線兩種定義缺一不可，教師通過分析，反復讓學生討論、辨析、發現，不僅加深了學生對圓錐曲線兩種不同定義的理解，同時也培養了學生嚴謹的思維習慣，讓他們真正地體會了圓錐曲線定義的內涵和外延，在遇到不同的問題時能巧妙地運用圓錐曲線的兩種不同的定義解決問題，從而達到事半功倍的良好效果。

只有從定義和思想方法兩個層面上去教數學和學數學，讓學生從定義內部、從整體上掌握系統化、規律化的數學知識，以及蘊含于定義中以知識為載體的思想方法，才能形成良好的知識網絡，才能提高學生觀察問題、探索問題、解決問題的思維品質和能力，最終才能培養現代社會需求的創新型人才。

參考文獻：

[1]李廣全.數學（拓展模塊）[M].高等教育出版社，2010.

[2]莊興無，張鵬程，王永琛，等.高職教育復習指導用書·數學綜合訓練[M].廈門大學出版社，2010.