巧用“整體代入”數學思想方法解決數學問題

在解決數學問題的時候，有時不能直接解決問題，可以考慮使用“整體代入”數學思想方法解決問題，往往能起到事半功倍的效果。下面就我在教學中用“整體代入”數學思想方法解決的幾個數學問題。以此提供給大家參考，不妥之處請指正。

一、利用“整體代入”數學思想方法解決實際中方程組的求解

問題1.甲、乙兩人合作完成一項工程需24天，若乙先干10天后甲加入則需20天完成；問甲乙單獨完成這項工程各需多少天？

解：設甲、乙單獨完成這項工程過需x天，y天，依據意得； 。將①式代入②式得 ，解得y=60. 將y=60代入①式得x=40.經驗根知：x=40是方程組的解。由此發現整體代入在解決問題中取到的功效顯而一見。

二、利用“整體代入”數學思想方法解決代數式的求值問題

在學習了代數式的化簡求值之后，對代數式的化簡求值，有時在不能直接求出代數式值的情況下，可以考慮使用”整體代入”數學思想解決問題。

問題2.已知 ，求 的值。分析：因為 ，所以 。兩邊同除以m得； ，于是 =25+2=27，

因此 +（ ）=1+27=28。利用“整體代入”數學思想方法解決與一元二次方程根與系數有關的代數式的求值問題。

問題3.設a、b是方程 的兩個實數根，求代數式 的值。

解：由一元二次方程根與系數的關系，得a+b=-1，又因為a是方程 的實數根，所以 即： ，因此， = =2009+（-1）=2008

三、利用“整體代入”數學思想方法解決求三角形的周長問題

問題4. 如圖，Rt?ABC的內切圓?O與兩直角邊AB、BC分別相切于點D、E，過劣弧DE（不包括端點D、E）上任一點P作?O的切線MN與AB、BC分別交于點M、N，若?O的半徑為r ，求Rt?MBN的周長。

解：由切線長定理可得.DM=PM，NP=NE.連接OD、OE，則四邊形ODBE是正方形。所以DB=BE=OD=OE=r，于是Rt?MBN的周長為：BM+BN+MN=BM+MP+BN+NP=BM +MD+BN+NEBD+BE=2 BD=2r。

四、利用“整體代入”數學思想方法解決求幾何中最小值問題

問題5.如圖，MN是?O的直徑，MN=2，點A在?O上，∠AMN=300，B為劣弧AN的中點，P為直徑MN上的一個動點，則PA+PB的最小值為____.

解：如圖，作點B關于MN的對稱點C點，連接AC、OA、OC，則（容易證明線段AC的長就是點P到A、B兩點距離之和的最小值）線段AC的長就是PA+PB的最小值.在?O中，∵∠AMN=300，B為劣弧AN的中點，∴∠AON=600，∠CON=300，∴∠AOC=900，于是在?AOC中，AC2=OA2+OC2=2，∴AC=

五、利用“整體代入”數學思想方法解決求圓環的面積問題

問題6.如圖，兩同心圓的圓心為O，大圓的弦AB切小圓于P點，AB=2 ，求圖中陰影部分（圓環）的面積.

解：連接OP、AO。∵大圓的弦AB切小圓于P點，∴OP⊥AB，AP= ，∴AO2-PO2=AP2=6，∴圓環的面積為： AO2- PO2= AP2=6

六、利用“整體代入”數學思想方法解決求陰影部分的周長問題

問題7.如圖，已知正方形ABCD的對角線長為 ，將正方形ABCD沿直線EF折疊，求圖中陰影部分的周長。

解：∵正方形ABCD的對角線長為 ，即BD= ，∠A=900，AB=AD，∠ABD=450，∴AB=BD ，∴AB=BC=CD=AD=2.由圖形折疊的性質得： ∴圖中陰影部分的周長為：

七、利用“整體代入”數學思想方法解決求函數的解析式問題

問題8. 如圖，A是反比例函數 的圖像上一點，點B、D在y軸正半軸上，?ABD是?COD關于點D的位似圖形，且?ABD與?COD的位似比是3：1，?ABD的面積為1，求反比例函數的解析式。

解.設D點的坐標為（0，b），AB=a.∵?ABD ?COD∴ ，∴ ，∴A點的坐標為 ，又因為?ABD的面積為1，∴ ，∴ab=6，又點A 在函數 的圖像上，k= ，∴反比例函數的解析式為： .