“不等式及其解集”教學設計

【摘要】“不等式及其解集”是“不等式與不等式組”這一章的起始課，涉及眾多概念。本課教學設計從等式、方程相關概念的溫習回顧到不等式及其解集概念的得出，整個教學過程注重引導學生自主地構建一個前后一致、邏輯連貫的代數學習過程，讓學生在獨立思考、自主探究和合作交流中完善認知結構，體驗類比、數形結合等數學思想方法。

【關鍵詞】不等式；不等式的解；不等式的解集；類比；數形結合

一、內容及內容解析

1內容

不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式四個概念及用數軸表示不等式的解集。

2內容解析

本節課是人教版數學七年級下冊第九章第一節第1課時的內容，是一節章節起始課，涉及眾多概念。

教學過程中，教師首先引導學生列舉身邊的不等現象，并從生活實際出發引入常見行程問題，設置“準時”到達和在規定時間“之前”到達兩個問題，從中抽象得出方程和不等式，然后不斷地用等式、方程知識的學習內容和學習方法啟發學生，通過設置環環相扣的“問題串”，引出不等式、不等式的解、不等式的解集及解不等式幾個概念，使學生領悟類比思想。在研究不等式的解集時，學生通過獨立思考、自主探究和合作交流，歸納得出不等式的解集除了可用最簡單的式子表示外，還可用數軸來表示。教師從“數”和“形”兩方面，通過對比加深學生對不等式解集的理解，形象直觀，體現了數形結合的思想。

本課是在學生已經學習了生活中大量相等關系的方程（組）知識的基礎上，進一步引導學生學習體現不等關系的不等式（組）知識。整個教學過程從等式、方程相關概念的溫習回顧到不等式及其解集概念的得出，注重引導學生自主構建一個前后一致、邏輯連貫的代數學習過程，有助于構建知識網絡，完善學生的認知結構。

基于以上分析，我們可以確定本節課的教學重點：不等式相關概念的理解和不等式解集的表示。

二、目標及目標解析

1目標

學生通過本課的學習，能夠：

①了解不等式的概念；

②理解不等式的解、解集及解不等式，能正確表示不等式的解集；

③體會數學學習中的類比思想和數形結合思想。

2目標解析

目標①要求學生能正確區別不等式、等式及代數式。

目標②要求學生能夠通過計算判斷一個數是否為不等式的解；能夠理解不等式的解是解集中的某一個元素，而解集是所有解組成的一個集合；能用符號表示簡單的不等式解集，并學會用數軸的形式表示簡單的不等式解集；理解解不等式是求不等式解集的一個過程。

目標③教師緊緊把握類比思想方法這個主線，把教學過程變成學生對知識的探索過程，讓學生在由等式到不等式，由方程的解到不等式的解，在解方程到解不等式的類比教學過程中，潛移默化地學會用類比的思想方法思考和解決問題，積累數學活動的經驗，在用式子和數軸表示不等式解集的教學中體會數形結合思想。

三、教學問題診斷分析

學生在小學階段對不等量關系、數量大小的比較等知識已經有所了解，對符號“>”“<”并不陌生，學習過用方程表示問題情境中的等量關系。不等式和方程在分析解決實際問題中有許多共同點。教師可以在學生已有知識的基礎上，結合七年級學生的認知特點，合理地應用類比思想，充分發揮正向遷移的積極作用，為其進一步學習不等式提供合理的平臺。在知識障礙方面，不等式的解集是一個抽象的概念，涉及集合思想，學生理解起來較困難，特別是“解集”與“解”之間的關系，學生容易混淆。在數軸上表示解集是數和圖形之間的相互轉化，需要注意的地方很多，如不等號的方向與折射線的方向，畫空心圓圈的情形等，學生在做題時容易產生誤解。且學生對于將用文字語言表述的不等關系轉化為用符號表示的不等式有一定困難。

基于以上分析，本節課的教學難點是學生能理解并掌握不等式的解集。

四、教學過程設計

（一）創設情境，引入新課

師：（生活引入）在前面，我們學習了與方程有關的很多知識，了解到生活中存在很多的等量關系。那么，請同學們想一想，在生活中是不是所有的關系都能用等量關系來表示？你能舉幾個例子說明嗎？

（待學生自由發言后，教師使用多媒體展示一組生活中的學生所熟悉的表現不等關系的圖片）

師：由此可見，“不相等”處處可見。這一節，我們就開始學習一類新的數學知識——不等式。

【設計意圖】教師根據七年級學生的年齡特征、生活背景，引發學生注意，使學生產生好奇心，激發學生的學習興趣，同時培養學生將實際生活中的問題抽象為數學問題的能力，使學生體會數學來源于生活的真諦。

（二）開展活動，首探新知

【活動1】想一想，得出不等式的概念

棗陽市某中學組織學生乘車前往火青陵園掃墓。已知該校與火青陵園的距離為50千米，他們上午11：20從學校出發，汽車勻速行駛。

（1）若該車計劃中午12時準時到達火青陵園，車速應滿足什么條件？

設車速為x千米/小時，可列式子：[CD#5]。

（2）若該車實際上在中午12時之前已到達火青陵園，車速應滿足什么條件？

設車速為x千米/小時，可列式子：[CD#5]。

觀察所得到的式子，它們之間有什么區別？

用符號“>”或“<”表示大小關系的式子，叫作[CD#5]。像a+2≠a-2這樣用符號“≠”表示不等關系的式子也是不等式。

【設計意圖】教師采用類比的方法，適當改變教材問題呈現方式，按照“等式—不等式”的學習程序，學生自主解答，并在展示答案后自述列式理由。這樣做，一是降低直接列不等式的難度；二是讓學生在開課初就能感受類比的思想方法，實現已有知識的正遷移，這對培養學生良好的學習方式起到了引導作用；三是提供對比素材，通過“觀察所得到的式子，它們之間有什么區別？”這個問題，指引思考方向，為獲得不等式的概念奠定基礎。

在獲得不等式的概念后，教師出示練習題，以加深學生對概念的理解與掌握。

看誰最聰明

（1）下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？

①-2<5；②x+3>2x；③4x-2y<0；④a-2b；⑤x2-2x+1<0；⑥a+b≠c；⑦5m+3=8

（2）用不等式表示

①a是正數：

②a是負數：

③a與5的和小于7：

④a與2的差大于-1：

⑤a的4倍大于8：

⑥a的一半小于3：

【設計意圖】第（1）題中有含未知數的不等式，也有不含未知數的不等式，有等式，也有代數式。對這些問題的解決，有效促使學生了解不等式的概念，認識不等式的特征，從而完成教學目標①。學生會識別不等式后，他們會列不等式嗎？于是，自然產生第（2）題這種題型，并且是直接選用教材練習題，達到用好教材的目的。

（三）開展活動，再探新知

【活動2】填一填，理解不等式的解

待學生準確回答后，教師提問：

（1）含有未知數的等式叫什么？使方程的左邊和右邊相等的未知數的值叫什么？

（2）和方程的解類似，x=78使不等式2/3x>50成立，它叫作這個不等式的什么？表格中寫出來的數中，還有這個不等式的解嗎？

（3）你能說說什么叫不等式的解嗎？

與方程的解類似，我們把使不等式成立的未知數的值叫作[CD#5]。

【設計意圖】學生在正確填好表格的過程中，隱約能感受到方程的解和不等式的解之間有一定聯系。教師通過三個問題將這種感覺外顯，仍然遵循“方程的解—不等式的解”的類比學習程序，使學生初步理解不等式的解。

【活動3】探一探，由不等式的解得出它的解集→深思不等式的解集

學生思考：

（1）除了80和78，不等式2/3x>50還有其他解嗎？

（2）如果有，你能再舉出一些嗎？這個不等式有多少個解？

（3）這些解應滿足什么條件？

x>75表示能使不等式2/3x>50成立的x的取值范圍，叫作不等式2/3x>50的解的，簡稱。

師生活動：圍繞第（2）個問題進行小組討論，然后學生匯報發言。

【設計意圖】問題（1）、問題（2）引起學生對x=78，80是不等式2/3x>50的解的反思，加深了學生對不等式的解的理解。然后，教師通過問題（3）讓學生在小組里討論發言，再結合教師的舉例進一步理解任何一個大于75的數都是不等式的解，這樣的解有無數個，而任何一個小于或等于75的數都不是不等式的解，從而針對這個具體例子引導學生由有限思考轉向無限思考，初步感知無數個解的集合的思想，同時，建立知識間的聯系，完善認知結構。

（4）這個解集在數軸上怎么表示？

第一步：；第二步：；第三步：。

師生活動：教師講解示范，引導學生學習在數軸上表示不等式的解集的方法；師生討論，歸納一般步驟。

【設計意圖】用數軸表示不等式的解集，體現了數形結合思想，中間用到的一些數學知識是數學規定。教師示范引領得出畫法，符合學生認知規律和數學學習規律，體現了教師作為組織者、引導者與合作者的地位和作用。同時，討論、歸納用數軸表示不等式的解集的一般步驟，使學生進一步加深理解不等式的解集這個概念。

師：現在請同學們思考“想一想”中的問題。活動1的第（2）個問題，說汽車在12時之前已經到達火青陵園，那么車速應滿足的條件是什么？由不等式x/50<2/3也能得出這個結果嗎？

【設計意圖】學生可能會憑直覺感知得出這個結果，也可能會根據不等式2/3x>50的解及解集的教學過程，意識到用代入驗算的方法可以說明x>75能滿足不等式x/50<2/3。教師可以適時說明有時直覺并不可靠，需要驗證。另外，代入驗算也只是一種方法，可能會導致以偏概全。這樣，學生在以后的學習中會通過其他一些運算方法把x>75算出來。

至此，教師正式提出不等式的解集的概念，并敘述解不等式的概念。

師：一般地，一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的[CD#5]。求不等式的解集的過程叫作[CD#5]。

【設計意圖】開頭從實際問題列出不等式，此處從不等式的解集到實際問題，首尾呼應，并通過一個新的問題，揭示了知識的內在聯系。為使學生深入理解在一般情況下，一個含有未知數的不等式的所有的解組成這個不等式的解集，教師創造有效問題情境，使學生進一步感悟不等式的解集和它的解之間的聯系。

（四）拓展研究，深化新知

【活動4】練一練，感悟不等式的解和解集的聯系

例直接想出不等式x+4<6的解集，并在數軸上表示出來。

變式1：已知x的取值范圍如下圖所示，你能寫出x的取值范圍嗎？

變式2：直接想出不等式2x>8的解集，并在數軸上表示出來。

變式3：直接想出不等式-2x>8的解集。

【設計意圖】變式訓練是培養學生多層次、多角度思維能力的一種較好的形式。源于此理念，教師將課后練習第3題的題型引入作為例題，并進行變式練習，深化了學生對概念本質屬性的認識和把握，符合概念學習的有意義的學習原理。

（五）歸納小結，暢談收獲

師：愉快的時光總是短暫的，能說說你在這一堂課的收獲嗎？你有什么體會？

（學生自由發言，教師總結）

課件展示：

（師生一起回顧一元一次方程到等式的性質的學習過程，類比預知下節課將學習不等式的性質）

課件展示：

【設計意圖】構建知識網絡，完善學生認知結構。

（六）目標檢測，反饋達標

（1）填空，用不等式表示：

①a與5的和是正數；

②a與2的差是負數；

③c的一半不等于-3。

【設計意圖】檢測學生對不等式的概念、不等式的符號語言、列不等式的掌握情況。

（2）下列數中是不等式x+3>6的解的是（）

【設計意圖】檢測學生對不等式的解的掌握情況。

（3）下面用數軸表示不等式x-2>2的解集，正確的是（）

【設計意圖】檢測學生對不等式的解集及用數軸表示不等式的解集的掌握情況。

（七）布置作業，快樂提高

（1）基礎題：習題91第1、2、3題。

（2）拓展題：在活動1的問題解決中，我們已經得出汽車要在12：00之前到達火青陵園，車速必須大于75千米/小時。如果注意到路邊的限速標記，則車速又應滿足什么條件？如何用不等式表示這個速度？如何在數軸上表示這個范圍？

【設計意圖】鞏固已學知識，并通過拓展題為后面的學習做好準備，既照應了本節課的實際問題情境，又能讓學生反思、總結用數軸表示不等式的解集的方法，以便更好、更輕松地完成后續學習任務。