往前一步，證明亮了

摘要：很多證明題都有不同的偽裝，條件中還有隱含的條件，結論有時需要進行轉化變形，才能把證明的思路理清，讓我們的很多學生一時無處下手，浪費了大量的時間。作為教師的我們要善于引導學生理清題目的思路，幫助學生撕下題目中的這些面紗，讓學生清清楚楚的理清思路，清清爽爽的寫出證明過程。

關鍵字：證明題 條件 結論 變形 分析 思路

題目：已知如圖AB//CD，EP，FP分別平分∠BEF，∠DFE.求證PE⊥PF

一、題目背景

本題是縣教研室出的試卷中八年級上第一章三角形的初步知識復習中的一個證明題，以兩直線平行，同旁內角互補來得到∠BEF+∠EFD=180°，在通過EP、FP平分∠BEF和∠EFD來得到∠FEP+∠EFP=90°，再利用三角形的內角和等于180°證明∠EPF=90°，即EP⊥PF.但在這次的測試中一半多的同學都沒有做出來，改完試卷后，我找了幾個做錯的同學分析，他們給我的答案是：老師，我沒有想到它是這樣證明的。于是我告訴他們，這個題目與書本八年級上P17頁例2是類似的。

一、原題分析

已知如圖AB//CD，EP，FP分別平分∠BEF，∠DFE.，求證∠PEF+∠PFE=90°。證明：∵EP，FP分別平分∠BEF，∠DFE（已知）∴∠PEF= ∠BEF，∠PFE= ∠DFE（角平分線的定義）。∵AB//CD（已知），∴∠BEF+∠DFE=180°（兩直線平行，同旁內角互補）∴∠PEF+∠PFE= ∠BEF+ ∠DFE= （∠BEF+∠DFE）= ×180°=90°。原題的求證是∠PEF+∠PEF=90°，學生很容易會去從這兩個角的度數和方面考慮，再結合題目中的條件，先運用兩直線平行，同旁內角互補，再利用角平分線的定義，很容易就證得這兩個角的和為90°。

三、本題思考

初中數學題中有許多的證明題，例如八年級上下冊中的特殊三角形、平行四邊形和特殊平行四邊形等中都有許多證明題，學生對于這些證明題怕之又怕，往往有些證明題條件很清晰但求證部分很模糊，或是條件很少，學生看完題目就丈二和尚摸不著腦袋了，這些題目就像蒙著面紗的物體，讓學生覺得很陌生，無從下手，從而降低了這些題目的正確率，使證明題離我們的學生越來越遠，學生對證明題是既恨又怕，使證明題變成了我們數學教學中的一塊硬骨頭，更像一座大山壓得我們的學生喘不過氣來，也讓我們的教師有些無奈。

那么如何讓我們的學生有勇氣去攻克這座大山呢，我想，首先我們要幫助學生理清題目，轉變思想，幫助他們拂去蒙在這個物體上的紗布，讓我們的學生看清楚這個事物，看清證明題解題的思路，這樣我們的學生就會鼓起勇氣去面對證明題，再運用學過的知識來解決證明題。

四、類型分析

（1）第一類型：條件變形。條件看上去模糊，但實際上是我們的學生對所學的知識不能充分的利用和理解，，往往就對理清思路制造了障礙，例如下面兩個題目：已知：如圖，在 ABCD中，BD⊥AC，O為垂足。求證： ABCD是菱形。證明：在 ABCD中，AO=CO（平行四邊形的對角線互相平分），∵BD⊥AC；∴AD=CD（根據什么？）；∴ ABCD是菱形（菱形的定義）

本題是八年級下冊書本P121頁中對定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形的證明，當時我要求學生先不看書本中的證明，自己先試著去寫出證明，大多數同學都采用先證明△AOD≌△COD（SAS）從而得到AD=CD，繼而用菱形的定義證明 ABCD是菱形，但當我讓學生去看書本中的證明過程時，他們對于書本中的∵AO=CO，BD⊥AC∴AD=CD，他們想不出為什么，這就是他們對條件的認識上不到位，他們不知道AO=CO，BD⊥AC，就可以知道BD是AC的中垂線（垂直平分線），從而導致他們在證明這個定理時走了彎路。

已知，如圖，在△ABC中，∠ACB=90°。∠CAB，∠ABC的平分線相交于點D，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F。求證：四邊形CEDF是正方形。

本題是八年級下冊作業本1中5.3正方形（1）P28頁第6題，它要證明的是四邊形CEDF是正方形，從題目的已知條件∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，可以得到在四邊形CEDF中有三個角等于90°，從而證明四邊形CEDF是矩形，但讓他們再去證明是正方形，他們就不知道怎么用了，有些同學也知道要用一組鄰邊相等的矩形是正方形來證明，但是他們在圖形中找不到他們非常熟悉的兩個三角形全等來證明DF=DE，有些同學也想到了還有AD、BD 分別是∠CAB、∠ABC的角平分線這個條件沒有運用，于是有一部分同學就直接寫∵AD、BD分別是∠CAB、∠ABC的角平分線，又∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴DF=DE，還堂而皇之的寫上角平分線上的點到角兩邊的距離相等來證明，這個題目中，如果我們在條件上直接寫上DG⊥AB交AB于點G，我想很多同學都能夠想到角平分線上的點到角兩邊的距離相等得到DF=DG，DE=DG，所以DF=DE，從而證明四邊形CEDF是正方形，本題的意圖也是希望學生能過自己過D點做一條直線垂直于AB，從而得到DF=DG，DE=DG，所以DF=DE。

（2）第二類型：結論變形。結論的變形，其實是我們通過逆向推導，把結論往前面推導一步，如我們要證明PE⊥PF，我們分析題目后，把它變形成證明∠FEP+∠EFP=90°，這樣就把結論變得更容易證明，例如下面兩題：八年級下冊作業本（2）P30頁5.2菱形（2）第6題：已知：如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE//AC，交AB于點E，DF//AB，交AC于點F，求證：AD⊥EF。

本題中的要證明EF⊥AD，如果我們還是用有一個角是直角，來證明這兩條直線垂直，但結合我們這一課的內容，讓學生想一想，在現在學習的內容中是否有講到兩條直線的垂直，我們的學生很快就想到在菱形的性質中菱形的兩條對角線互相垂直，于是我們就可以提示學生，是否可以把這個題目的證明結論AD⊥EF，變形成證明四邊形AEDF是菱形，即∵DE//AC，DF//AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，再通過證明△ADE≌△ADF，得到DE=DF，從而證明四邊形AEDF是菱形，再通過菱形的對角線互相垂直來得到AD⊥EF。于是我們的學生就可以比較輕松的寫出這個題目的證明過程。

如圖，在等邊三角形ABC的AC，BC邊上各取一點P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點O，求∠BOQ的度數。

八年級上冊書本P86頁第16題，學生在做這個題目時，一直無法找到正確的方法，雖然有個別同學能夠通過角的轉換，把∠B0Q是△AOB的外角，即∠BOQ=∠AOB+∠BAO，但還是無法直接的求出∠BOQ的度數。其實這個題目，如果我們能給學生增加一個過程，即先證明△ABP≌△ACQ，就能求出∠BOQ的度數。金華市金東區2013學期第一學期期末試卷第22題就有這樣的一個題目。如圖，已知△ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點F。

①求證：△ABE≌△CAD；②求∠BFD的度數。本題和上一題比較，學生就有了一個臺階，可以讓他們想明白如何求∠BFD的度數，他們更加明白原來∠BFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠CAD，而∠ABF=∠CAD是由△ABE≌△CAD得到這樣本題型的題目就是從結論的變形，即把∠BFD變成了∠ABF和∠BAF的度數和而∠ABF又通過△ABE≌△CAD轉化為∠CAD，而∠CAD+∠BAF=∠BAC=60°。

結論的變形可以把所求證的結論和條件直接的聯系在一起，例如我們在證明兩條線段的相等時，我們往往要求學生在圖中是否能找到兩個分別包含這兩條線段的全等三角形，或是是否存在兩個角相等，可以使用在同一個三角形中等角對等邊等等，三角形的全等或是等角對等邊往往題目的條件中就可以直接找到證明的條件。

五、反思與收獲

（1）在證明題的分析過程中，如果我們可以引導學生把條件中的隱含條件推導出去，或是把求證的結論通過逆向推導，變形成一個與已知條件更有聯系的結論，學生就可以更好的清楚的寫出證明過程。

（2）在教學過程中，我們要鼓勵學生積極的去把條件往下推導或是結論往前推導變形，讓條件和結論更清晰。

（3）讓我們的學生在練習的過程中，注意相似題型的歸納和反思。

證明題的分析和書寫一直是我們的學生在初中學習過程中的一個難點，我們通過把條件中的隱含條件或是把結論變形，通過這個小小的變形，讓證明題變得更清晰，讓我們的學生能輕松的寫出正確的證明過程，從而愛上證明題。