案例驅動的工程隨機數學課程教學探索

肖進勝，蔡紅濤，許賢澤，張燕革，周 晨

（武漢大學電子信息學院，湖北 武漢 430072）

案例驅動的工程隨機數學課程教學探索

肖進勝，蔡紅濤，許賢澤，張燕革，周 晨

（武漢大學電子信息學院，湖北 武漢 430072）

針對工程隨機數學課程在電子信息類專業的教學實際，探討增加課程吸引力，激發學生的學習熱情、提高學生的學習效率的方法。提出將科研項目案例引入工程隨機數學課程教學，包括科研項目案例應用于教學的一般過程、實施中可能存在的問題以及對應的解決方案。探討幫助學生理解、掌握和應用相關知識點的方法，培養學生理解、思考和解決工程科技案例的能力。通過案例驅動教學來提高學生學習的積極性和主觀能動性，并對電子信息類專業的后續的相關專業課程學習有初步認識。

案例驅動；電子信息；工程隨機數學；課堂教學

0 引言

“工程隨機數學”一般稱為”概率論與數理統計”，是面向大專院校工科專業的一門基礎必修課程。對于電子信息類本科生來說，更有特殊的意義。其內容結構包含概率論基礎知識、數理統計概念，以及隨機過程三個部分[1]。他是為電子信息類專業本科生學習隨機數學的基本理論和基本方法，并應用于信息科學技術的工程實際中。由于該課程是一門數學類的基礎課程，多數學校由數學系老師講授，數學味偏濃。相對于電子信息類的其他專業課程，本課程很難調動學生的積極性，不容易激發起學生的興趣和對專業熱愛。與后續信息領域專業課程聯系不緊密，學生的學習效果差，進一步影響著學生后續信息領域專業課程的學習。

工程隨機數學的課程教學目標是：循序漸進的講述工程隨機數學的基本概念和理論方法；充分激勵學生學習的自覺性、參與性和主觀能動性，掌握必備的隨機數學知識，為后續專業課程的學習打下堅實的數理基礎。為了實現這一目標，如果能將動手實踐、問題分析與合作交流相結合，即分析解決本領域相關科研問題的過程中學習[2]，就能充分引導學生對本課程的認識。采用類似于問題驅動學習[3]，任務驅動教學[4]及案例驅動教學[5,6]等方法的基本思想，將學生的課程學習活動與實際的工程科研案例相結合，通過實施一個電子信息類圖像處理算法案例而展開教學活動，通過探究案例問題來提高學生的興趣并傳授知識點。科研項目案例驅動教學有一定的適用范圍，教師要有一定的專業科研背景；案例要有一定的代表性，要能激發學生共鳴；案例內容與課程知識點要有比較直接的關系；同時需要與學生的專業基礎和知識儲備相匹配。電子信息大類專業有豐富的信號處理，圖像處理，通信網絡等科研案例，應用廣、直觀可見，能夠較好的滿足科研項目案例驅動教學的要求。本課程和專業適合科研項目案例驅動教學，能夠贏得學生青睞。

1 案例驅動教學的一般流程

由于本課程的一些理論知識和原理工具將來會用于信號處理與通信網絡相關專業課程。一般采用軟件算法項目來驅動教學過程。傳統軟件工程項目的實施過程是：明確項目背景和目標，進行理論分析，算法架構設計、代碼開發、測試優化、維護等。結合工程隨機數學的課程特點和本專業大類學生培養的特點，我們設計了一項課程項目——基于高斯背景模型的目標檢測算法的設計，讓學生由淺入深地了解工程隨機數學知識是如何應用于圖像處理應用。包括香農信息理論，高斯背景模型的原理，了解正態分布、圖像的均值和方差的計算、統計分布、參數估計等內容。整個案例驅動的工程隨機數學課程教學框架如圖1所示。

圖1 案例驅動的工程隨機數學課程教學框架Fig.1 Teaching framework of case-driven engineering stochastic mathematics

在此項目驅動的工程隨機數學課程教學過程中，教師會循序漸進地向學生介紹相關知識點和研究成果。學生也有強烈的欲望來掌握這些知識，并應用到實際的圖像處理算法的開發中。具體的描述以及結合工程隨機數學課程特點的實例如下。

（1）項目的背景描述。

這里向學生介紹必要的圖像處理基礎知識，視頻運動目標檢測的應用背景和意義等內容。主要是提出問題，描述問題的背景和應用場景，介紹數字圖像的定義等基礎知識，通過吸引學生的關注度，來引起學生思考。

運動目標檢測是為了尋找存在運動的區域(如車輛、行人等)，檢測的結果可以為后續的目標識別與跟蹤、行為理解與分析等智能監控任務提供感興趣區域；為下一步的視頻理解和分析提供可靠的數據。

（2）項目的理論可行性分析。

這個階段描述視頻圖像的運動對象檢測的基本背景知識內容。明確如何將一個圖像處理問題進行分解、用已有的知識或查一些資料進行解決，分析其所用的理論工具和理論上的可行性。

就算待拍攝的場景是一成不變的，采集到的視頻中每個位置的像素亮度值，由于受噪聲干擾會有變化。我們可以利用高斯分布（正態分布）函數來描述圖像中每個位置的像素值的變化情況，每個位置像素點的高斯分布（正態分布）即為該點的背景模型。若圖像中被檢測幀的像素值以較大概率出現在其高斯背景模型中，即認為該位置屬于背景，否則屬于運動對象。

（3）項目的算法架構和合理性分析。

介紹運動目標檢測的基本假設、基本模型、一些圖像元素（像素坐標，圖像亮度）和具體數學模型參數的對應。這里需要較好的將項目的物理背景和數學模型解釋清楚，將科研問題抽象轉化為工程隨機數學課程中的一些基本概念和方法，促進學生理解項目原理和課程知識點的關系。

單高斯背景模型的基本思想[7]是：利用正態分布函數為圖像中i處的像素點 xi建模。模型中每個像素點是相互獨立的，并分別服從均值為μi、方差為的高斯分布。這個案例充分結合了工程隨機數學中的有關知識點，用到了均值、方差、正態分布的概念，還用到了參數估計的思想。

（4）確定算法的步驟和基本流程。

單高斯背景建模的基本流程[8]如下：

1. 初始背景模型。為圖像每個位置賦予一個初始的高斯分布。可以利用一段時間內同一像素點處的平均像素值作為其均值，其方差一般可設為一個相對較大的值。

2. 更新背景模型。更新圖像中各個位置的高斯模型參數。設xi,t，μi,t和分別為t時刻圖像中位置i處的像素值、模型的均值和方差，ρ為模型的系數。模型的均值更新如下：

模型的方差更新如下：模型的系數ρ更新如下：

3. 對每一幀圖像依據進行背景模型的更新，通過不斷的更新操作得到較準確的背景圖像。

（5）算法的實驗及效果分析。

用VS2010+Opencv 2.4中關于高斯背景建模的例子。通過簡單的講解，用一個簡單的例子能夠運行得到下面結果。

圖2 高斯背景建模實驗效果Fig.2 Experiment results of gaussian background modeling

由結果視頻，可以明顯看出二值化圖片中人的形成和背景的生成過程。當然可以讓學生自己發現和完善模型中的問題，通過自己對均值和方差等概念的理解，探索完善模型的方法。單高斯背景模型假定背景中每個像素值的變化情況可用單個高斯函數進行描述，并采用在線更新機制來適應背景的緩慢變化。但大多應用系統所面臨的實際場景復雜且多變，背景中常可能包含波動的水面、音樂噴泉、隨風擺動的樹木和旗幟等時刻動態變化的物體，此類存在擾動的背景也被稱為動態背景或者多模態背景。由于單高斯模型只能描述背景的某一個確定狀態，在這種情況下，上述背景中的水面、噴泉、樹木和旗幟等都將被檢測為前景目標，從而造成大量的誤檢和虛警。

2 基于案例驅動教學的相關問題分析

按照前面的介紹，項目驅動教學貫穿整個工程隨機數學課程的始終，實施周期很長，涉及內容很多。由于課堂上學生較多，并且學生能力參差不齊，項目驅動教學活動不免會出現一些問題。這里我們將仔細討論這些問題，并給出解決方案。

2.1 存在的問題

我們把選課學生劃分成若干個小組，每組 3～5人，任務是實現一個基于背景建模的視頻目標檢測算法。考慮到一般高校本課程是在大二開設，而在大一都已經學習了 c，matlab等編程工具，因此讓學生分組進行小算法實現是可行的[9]。根據工程隨機數學課程教學中的實施經驗，案例驅動的工程隨機數學課程教學活動會出現如下問題：

（1）小組缺乏明確的實施計劃和職責分工。因為缺乏相關基礎知識和算法開發經驗，各小組的成員并不清楚如何進行準確的問題建模，導致進展緩慢。沒有明確的實施計劃和職責分工，缺乏統籌安排，不知所措。大家都想做容易實現的部分，而有難度的部分，沒有人愿意涉及。另外，在組織課堂討論時，小組成員發言很熱烈，但他們所討論的問題比較發散，不能直擊問題本質和要害。小組成員在實施時，推進的力度不足，研究的深度不夠。

（2）項目組成員間缺乏組織和團隊合作意識。項目組成員成績和學習能力有差別，對課堂知識的理解和吸收能力有差異。大部分同學無法準確理解老師介紹的內容，不能將所學知識和算法問題結合起來。許多的小組實際上只有少數學生在思考解決問題，而其他組員很少參與問題的討論。其他的同學也很難從項目中得到鍛煉和提高。

（3）項目成果缺乏規范的考評制度。由于是組團作戰，不同于一般的考評，需要設計合理的考評制度。比如，如何評價項目實施的效果？項目組得分如何對應到每一個小組成員？這些問題通常缺乏規范的量化指標，實際操作的時候靈活性很大。有時幾個小組得到的結果相同，但是實現的方式卻有很大差異。有的小組是分工合理，大家都發揮作用；有的小組卻只是其中個別能力較強的同學完成了所有任務；有的小組可能只是照抄網上下載的算法，而沒有自己的思考。因而，需要對項目驅動教學產生的影響進行系統的分析和實際的驗證，使這一教學方式更加規范。能夠在使更多的同學得到鍛煉的同時，更加鞏固自己學習的課堂知識，并且對本專業的學習更加感興趣。

2.2 對應的解決方案

為了解決上面可能會普遍碰到的問題，通過思考和實踐教學試用驗證，我們嘗試了如下解決方案，并有一定的效果。

首先，教師要認真精心的設計教學案例，這是案例驅動教學的前提。案例內容應緊密圍繞教學內容和知識點，使小組討論有針對性、有價值。另外，老師須有一定的專業背景。作者單位這門課是選擇本專業有豐富項目科研經驗的老師講授，而不少高校這門課是由數學公共課老師講授，這樣兩者實施的效果是不一樣的。老師需要將項目算法的應用背景，項目的算法基本原理有針對性的介紹和提示[10]。讓學生能理會需要用什么樣的知識點來解決該類問題。案例的實施要由淺入深、逐步過渡，這樣學生有一個適應的過程。

例如，工程隨機數學課程更強調學生對相關理論和知識點的理解和掌握，比較枯燥，因此項目內容通常會安排學生比較感興趣的圖像處理技術。可以結合專業應用實際考慮實現背景建模、目標檢測、圖像增強等算法。這些算法相對成熟，相關資料比較齊全，學習入門門檻低，開發環境和工具也比較容易上手。關鍵是這些圖像處理類算法，結果直觀、視覺效果好。學生很容易提起興趣，并有成就感。學生根據自己已有的專業知識，選擇自己相對熟悉或者有興趣的內容進行研究和探討，可以使各項目組的工作順利開展下去。

其次，學生在組合成項目小組時需要優化組合、合理分工，這是項目驅動教學成功的關鍵。在組建小組時，應考慮到學生的能力和性格等進行合理搭配，使各組間實力均衡。由于一般男生偏愛動手編程，女生大多偏愛查閱學習資料，因此項目組通常還需要考慮男女搭配。通常以 3～5人為一組，由 1人任組長，大家各有分工，并有一定的任務重疊。這樣可以做到使每個學生都能參與思考，發揮作用。同時個別同學出現拖后腿情況時，有其他同學幫忙思考，解決問題。另外，學生要增強合作意識，應讓每個小組成員描述自己在小組討論中的作用和感受。

在項目驅動教學實踐中，我們一般是先讓學生自己自由組合，然后老師再根據人數和人員情況進行適當的微調，使各組人員盡量分配合理，各組整體實力相仿。組內成員的任務劃分也讓學生自行確定，老師再根據實際情況加以指導。在匯報研究內容時，老師可以考慮成員承擔任務分工的不同而詢問不同的問題，使組內的每一位成員都有機會回答問題。組內各成員的分工、實際發揮的作用、各人的收獲立刻能反映出來。為了完成任務，項目組成員的合作是必需的，從討論內容的確定到資料的搜集，從相關技術的實現到最終的演講和展示，都需要組內成員的共同參與。

最后，案例驅動教學的考評方法要合理規范，這是教學模式成功的保障。必須考慮到項目驅動教學考評和課程期末考試之間的關系。案例驅動教學的目的是為了激發學生的主觀能動性，讓學生熱愛學習本課程的相關知識，更深刻地記憶和理解相應的知識點。這種學習方式能達到的效果需要規范地加以考評，以真實反映各個學生的學習能力和學習效果。只有合理規范并且相對公平公正的考評才能激發大家參與和學習的積極性。

3 結語

通常情況下工程隨機數學課程教學是一對多的講述，這里變成借鑒項目工程實踐和合作學習的教學組織形式。通過案例驅動工程隨機數學教學的精心組織和安排，能使不同學習程度的學生在項目組中既有分工又有合作，互幫互助，實現共同學習進步。該方法同時也鍛煉了學生理論結合實際，分析問題、解決問題的動手能力。該方法能夠讓學生提前感受到自己所學知識的巨大威力和美學效果，激發學生的學習熱情和對專業的熱愛。案例驅動工程隨機數學課程教學方式的應用是非常有效的。并且根據專業的不同，也可以在其他專業設計類似的項目驅動的工程隨機數學課程教學探索。

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The Exploration of Case-driven Teaching in Engineering Stochastic Mathematics Course

XIAO Jins-heng, CAI Hong-tao, XU Xian-ze, ZHANG Yan-ge, ZHOU Chen
(School of Electronic Information, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

Aiming at the teaching practice of engineering stochastic mathematics course in electronic information specialty, this paper discusses how to increase the attractiveness of curriculum, stimulate learning enthusiasm and improve learning efficiency. This paper proposes to introduce the case of scientific research project into the teaching of engineering stochastic mathematics. It includes the general process of scientific research project application, the possible problems in the implementation and the corresponding solutions. This article explores ways that help students understand, master and apply relevant knowledge. It develops the ability of students to understand, think and solve engineering and technical cases. It explores the enthusiasm and subjective initiative of students through case-driven teaching. It has a preliminary understanding of the follow-up courses of electronic information specialty.

Case-driven; Electronic information; Engineering stochastic mathematics; Classroom teaching

TP391. 41

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2017.12.001

本文著錄格式：肖進勝，蔡紅濤，許賢澤，等. 案例驅動的工程隨機數學課程教學探索[J]. 軟件，2017，38（12）：01-04

國家自然科學基金(61471272)；湖北省自然科學基金項目(2016CFB499)；武漢大學專題教學研究項目(2017JG104)

肖進勝(1975-)，男，副教授，主要研究方向：信息與通信工程；蔡紅濤(1977-)，男，教授，主要研究方向：空間探測與信息處理；許賢澤(1964-)，男，教授，主要研究方向：儀器科學與技術；張燕革(1966-)，男，副教授，主要研究方向：光學工程；周晨(1982-)，男，副教授，主要研究方向：空間探測與信息處理。