卡爾曼濾波技術在捷聯慣性導航系統對準中的應用

彭 漢，劉增力

（昆明理工大學信息工程與自動化學院，云南 昆明 650500）

卡爾曼濾波技術在捷聯慣性導航系統對準中的應用

彭 漢，劉增力

（昆明理工大學信息工程與自動化學院，云南 昆明 650500）

本文首先闡述了卡爾曼濾波技術的簡單理論，然后建立了捷聯慣性導航系統初始對準的卡爾曼濾波模型, 并對靜基座下的卡爾曼濾波初始對準精度進行分析，最后進行了卡爾曼濾波仿真。仿真結果表明,此方法算法簡單,能有效縮短初始對準時間,對準穩態精度較高,是一種可靠的初始對準方案。

捷聯慣性導航系統；初始對準；卡爾曼濾波

0 引言

慣性導航是一種自主導航方法，它是通過測量運載體本身的加速度來完成導航任務的。根據牛頓慣性原理，利用慣性元器件（陀螺儀、加速度計）測量出運載體的加速度，經過積分和運算，可得出速度和位置信息以供導航使用[1]。

所謂初始對準，就是在慣性導航系統尚未正式進入導航工作狀態前，建立導航狀態所必須的初始條件。20世紀 60年代初，卡爾曼濾波理論就開始應用到慣性導航系統中，從而為慣性導航系統的初始對準、速度阻尼和位置點重置提供了一種統一的方法，1965年，L.D.Brock[2]在其論文中利用卡爾曼濾波算法處理平臺慣性導航系統的初始對準和標定問題。1967年，J.F.Bellantoni[3]將卡爾曼濾波用在捷聯慣性導航系統的初始對準和標定中。當失準角為小角度時，SINS的誤差方程可近似為線性方程，可以通過兩位置對準、多位置對準和卡爾曼濾波器實現初始對準。目前，基于線性方程的初始對準技術已經比較成熟。

1 卡爾曼濾波理論

卡爾曼濾波屬于最優估計理論，是一種遞推線性最小方差估計法[4]。設離散系統狀態方程和測量方程分別為

其中 Xk為k時刻的n維狀態矢量，即被估計的狀態矢量；Zk為k時刻的m維量測矢量；為k-1時刻的r維系統噪聲；為n×r階系統噪聲矩陣，表征由 k -1到k時刻的各系統噪聲分別影響k時刻各個狀態的程度；Hk為k時刻的m×n階測量矩陣； Vk為k時刻的m維量測噪聲序列。

卡爾曼濾波要求 Wk-1和 Vk為互不相關的零均值白噪聲序列[5]，且

其中kQ和kR是系統噪聲的方差陣和量測噪聲的方差陣，該矩陣為已知的非負正定陣。kjδ是Kroneckerδ 函數，其統計特性為：

如果已知kt時刻的測量值為kZ，則kX 的估計值 ?kX 按照下列方程求解：

狀態一步預測方程：

在公式（6）中，作為狀態 Xk-1的卡爾曼濾波估值，可以將 X ?k-1認為是利用 k -1以前時刻的量測值計算而得到的；而 X ?k/k-1則認為是用 X ?k-1計算得到的對 Xk的一步預測。

狀態估計值計算方程：

濾波增益方程：

一步預測方差：

估計均方誤差方程：

或

上式為離散型卡爾曼濾波基本方程。只要給定初值 X ?0和P0,據tk時刻的量測量Zk，就可以遞推出tk時刻的狀態估計

2 捷聯慣性導航系統初始對準濾波模型的建立

根據系統的誤差傳播方程可知[6]：陀螺和加速度計的誤差均包含隨機常值誤差、一階馬爾科夫過程和白噪聲誤差這三種分量。馬爾可夫過程的相關時間一般大于1小時，所以這種誤差可近似視為隨機常數，且與隨機常值漂移相比小12～個數量級。所以，陀螺和加速度計誤差模型可簡化為[8]：

在實際工程運用中，由于捷聯慣導系統的慣性器件（陀螺儀和加速度計）是直接固連在載體上，因此其誤差也必然是在載體坐標系b系中得到的。而在本模型中，IMU誤差則是在導航坐標系n中，因此需要將b系下的量轉換到n系中：

由于本文的應用對象為艦船導航系統，因而可以將垂直通道對系統的影響忽略，并將陀螺儀和加速度計誤差擴充為狀態量。此時，系統的狀態方程可以寫成：

W( t)為系統噪聲：

在公式（16）中， ax、 ay為加速度計在b系下的噪聲， ωx、 ωy、 ωz為陀螺在b系下的噪聲。加速度計和陀螺的噪聲均為呈正態分布的白噪聲，其均值為0、方差為 ()Q t。其中：

取水平速度誤差為觀測量，系統觀測方程為：

通常情況下，實際應用中的傳感器誤差的可觀測性是相當低的，甚至很多情況是不可觀測的，在這種情況下，如果將濾波模型的維數增大，不但無法估計傳感器的誤差，反而會導致系統初始對準精度的降低。為了解決這個問題，可以把陀螺的常值漂移和加速度計的常值零偏不作為狀態變量，使得濾波模型的維度從十維降到五維，以減少計算復雜度，同時可以令濾波估計變得更加穩定。這五維狀態矢量為：

五維狀態方程為：

3 靜基座卡爾曼濾波初始對準精度分析

靜基座或準靜基座的卡爾曼濾波對準特點如下[7]：

（a）零速匹配（取 0v= ）

在捷聯慣導系統初始對準技術中，卡爾曼濾波技術是一種運用外界的測量信息來估計系統誤差項的初始對準方法，在整個初始對準過程中，都需要利用其他的測量元器件測量外界測量信息，而這些外界測量信息的測量精度與產生的誤差都會對濾波器的狀態估量產生相應的影響。在靜基座或準靜基座的條件下，可以直接令外界測量信息為零速度，以此避免速度測量誤差對濾波器的影響，使得系統在對準的速度和精度上都有一定程度的提高。

（b）狀態估計矢量降維

在靜基座條件下，默認載體的初始位置不變，那么初始對準的載體位置是不需要進行修正的。因此可以將載體位置誤差從狀態估計矢量中去除，降低卡爾曼濾波器的維數，同時降低計算量以減少計算負擔。

（c）器件誤差在地理坐標系上不變

在靜基座條件下，從濾波器的角度來看，可以把陀螺的常值漂移和加速度計的常值零偏狀態直接設置在地理坐標系上。然后直接使用數字平臺轉化到載體坐標系上即可。這樣就可以按照平臺慣性導航的分析方式分析捷聯慣性導航的對準精度，簡化精度分析過程。

下面建立靜基座情況下初始對準卡爾曼濾波器。

由慣性導航系統的誤差方程，在靜基座條件下，系統的真實速度為0，該誤差方程可以被簡化為：

根據靜基座的特點，一方面，靜基座條件下載體坐標系和地理坐標系不存在相對運動，器件誤差在地理坐標系上也為常值，因此直接將地理坐標系上的器件誤差設置為狀態變量可以方便精度分析可；另一方面，由于位置誤差無需估計和補償，可將位置誤差從狀態估計矢量中去除。因此，可將系統的狀態矢量設置為：

考慮到慣性元器件的噪聲和在近似過程中的模型誤差，可將系統誤差狀態矢量表示為：

由靜基座對準得特點[9]，當選取零速度作為量測信息時，此時的導航系統中，實際速度只有系統本身的振動或晃動。所以如果以零速為外測信息，那么測量誤差可以寫為：

捷聯慣性導航所計算出得速度誤差可以表示為：

其中 δ vE、 δvN分別為慣性導航計算出來得速度無差量。

將慣性導航速度方程與零速度方程作差即可得：

其中：

4 仿真實驗

在靜基座初始條件下進行計算機仿真。設置初始參數：

狀態矢量 X ( 0) = 0 ；陀螺常值漂移 = 0 .02°/h ，隨機漂移 = 0 .01°/h ；加速度計常值零偏隨機零偏取濾波周期 T = 0 .1s。

經過卡爾曼濾波后，得到如下結果：

圖1 仿真結果Fig.1 Simulation result

5 結論

經過上面的分析，進行計算機仿真實驗后，由輸出結果可以看出，在靜基座初始條件下，經過卡爾曼濾波器處理后的速度誤差在相當短的時間內就收斂于0并保持穩定。因此卡爾曼濾波技術在靜基座下的捷聯慣性導航系統初始對準中，能夠起到提高系統對準精度的作用。

[1] 陳明輝. SINS誤差特性及組合對準的方法研究[D]. 哈爾濱工程大學, 2008.

[2] Brock L D. Application of statistical estimation to navigation systems. MIT, 1965

[3] Bellantoni J F, Dodge K W. A Square Root Formulation of the Kalman-Schmidt Filter. Journal of AIAA, 1967, 5(7).

[4] 程向紅, 萬德鈞. 捷聯慣導系統的課觀測性和可觀測度研究. 東南大學學報, 1997, 27(6): 6-11.

[5] 雷曙光, 張柳, 林列書. 卡爾曼濾波在水下慣性導航系統中的研究及實現[J]. 艦船科學技術, 2015, 37(07).

[6] 李瑩, 楊新, 李波. 捷聯航姿系統航行狀態下的組合對準算法研究[J]. 艦船電子工程, 2015, 35(02).

[7] 張義. 艦船捷聯慣性系統初始對準技術研究[D]. 哈爾濱工程大學, 2012.

[8] 胡再剛. 基于H∝的傳遞對準方法研究[D]. 哈爾濱工程大學, 2007: 14-15.

[9] 陳哲. 捷聯慣導系統原理. 北京: 國防工業出版社, 1986.

Application of Calman Filtering Technique in Alignment of Strapdown Inertial Navigation System

PENG Han, LIU Zeng-li
(Department of Communication Engineering, KunMing University of Science and Technology Kunming 650500, China)

This paper describes the simple theory of Calman filtering technology, and then established the Calman filter model of initial alignment of strapdown inertial navigation system, and Calman filter to initial static base alignment accuracy is analyzed, finally the simulation of Calman filter. The simulation results show that the algorithm is simple and can effectively shorten the initial alignment time, and the alignment steady state precision is high. It is a reliable initial alignment scheme.

Strapdown inertial navigation system (SINS); Initial alignment; Calman filtering

TN966

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2017.12.027

本文著錄格式：彭漢，劉增力. 卡爾曼濾波技術在捷聯慣性導航系統對準中的應用[J]. 軟件，2017，38（12）：143-147

彭漢(1991-)，男，碩士研究生，主要研究方向：現代數字信號處理。

劉增力，男，教授，碩士研究生導師，主要研究方向：現代數字信號處理。