三維空間凸透鏡成像坐標(biāo)定位法

劉凱倫

(山東省青島第二中學(xué) 山東 青島 266061)

學(xué)生創(chuàng)新園地

三維空間凸透鏡成像坐標(biāo)定位法

劉凱倫

(山東省青島第二中學(xué) 山東 青島 266061)

通過深入探究空間點(diǎn)和線段的凸透鏡成像規(guī)律,概括總結(jié)創(chuàng)建出一新的成像方法“凸透鏡成像坐標(biāo)定位法”．突破解決了傳統(tǒng)幾何光學(xué)“透鏡成像作圖法”所無法解決的一些難題，可精確定位每一像點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置以及物體凸透鏡成像的形狀，畫出三維空間物體跨越焦平面時的立體發(fā)散圖像．舉例闡明了“凸透鏡成像坐標(biāo)定位法”的作圖要點(diǎn)及注意事項(xiàng).

凸透鏡成像作圖法 坐標(biāo)定位法 坐標(biāo)定位數(shù)據(jù)表

在幾何光學(xué)的學(xué)習(xí)中，當(dāng)使用“透鏡成像作圖法”作圖時，往往會碰到兩類問題無法解決：

一是，物點(diǎn)的兩條特征光線接近平行時，無法確定像點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，圖像嚴(yán)重變形；

二是，構(gòu)成物體的某一線段接近或跨越焦平面時，無法畫出它的光路圖，得不到物像．

我們的目的就是要找出凸透鏡成像更為有效的方法，解決上述難題．

1 建立凸透鏡成像的數(shù)學(xué)模型

1.1 空間點(diǎn)的凸透鏡成像坐標(biāo)定位

首先，假設(shè)透鏡為理想透鏡．建立直角坐標(biāo)系．

圖1 沒跨越焦平面線段的凸透鏡成像

討論通過S0的兩條特征光線:

由通過光心光線的基本性質(zhì)，得

(1)

由平行于光軸光線的基本性質(zhì)，得

(2)

解之得

(3)

(4)

則可以證明，必有

(5)

結(jié)論1：對空間任一物點(diǎn)，其對應(yīng)的凸透鏡成像點(diǎn)由公式(3)、(4)、(5)唯一確定．

公式(3)、(4)、(5)被稱為凸透鏡成像坐標(biāo)定位公式．

1.2 空間線段的凸透鏡成像坐標(biāo)定位

1.2.1 如果線段S1S2沒跨越焦平面F，則其凸透鏡成像必為一線段．如圖1所示.

證明：在線段S1S2上任取一點(diǎn)S3(X3，Y3)，因S1S2，S3在一直線上，線段S1S3與線段S3S2斜率相等

代入公式(3)、(4)，整理，可得其斜率

代入公式(3)、(4)，可得其斜率

因?yàn)?/p>

所以

K1=K2

由數(shù)學(xué)定理：通過同一點(diǎn)的兩直線，如果它們斜率相等，則它們必重合．

圖2 跨越焦平面線段的凸透鏡成像

1.2.3 上述兩結(jié)論，同理也可推廣到空間直角坐標(biāo)系．

結(jié)論2：對空間任一線段，第一，若它未跨越焦平面，其對應(yīng)的凸透鏡成像仍為一線段；第二，若跨越焦平面，其凸透鏡成像便分裂、向兩端發(fā)散，變?yōu)槿栽谝恢本€上的兩射線．而且線段與焦平面交點(diǎn)的像，便是此直線的無窮遠(yuǎn)“端點(diǎn)”．

此結(jié)論被稱為凸透鏡成像坐標(biāo)定位法則．

2 凸透鏡成像坐標(biāo)定位法作圖

2.1 由“凸透鏡成像坐標(biāo)定位公式”可逐點(diǎn)描繪平面圖形的精確成像

【例1】畫出一不跨越界面F的圓的凸透鏡成像圖，如圖3所示.

圖3 不跨越焦平面F的圓的凸透鏡成像圖

(1)建立坐標(biāo)系，定焦距f=100；圓的直徑為80．

(2)用八邊形來逼近此圓，設(shè)定拐點(diǎn)坐標(biāo)．若需要更精細(xì)的部位，可多增設(shè)幾個點(diǎn)；

(3)根據(jù)結(jié)論1公式(3)、(4)計算出對應(yīng)像點(diǎn)的坐標(biāo)．建立數(shù)據(jù)表(略)．

(4)逐點(diǎn)描繪出圖像．

若使用“Excel”或“幾何畫板”等工具，則數(shù)據(jù)表和圖像都可自動生成，非常方便、快捷．

2.2 由凸透鏡成像坐標(biāo)定位法結(jié)論2描繪跨越界面f的圖形的精確成像

【例2】精確畫出一跨越界面F的三角形的凸透鏡成像，如圖4所示.

圖4 跨越焦平面的平面三角形凸透鏡成像圖

(1)設(shè)定f=60，a，d，g的坐標(biāo)如表1所示．

表1 跨越焦平面的平面三角形凸透鏡成像數(shù)據(jù)表

(2)由結(jié)論1公式(3)、(4)，計算出像點(diǎn)a′，d′，g′的坐標(biāo)．列出數(shù)據(jù)表．

(3)由結(jié)論2第一條，因線段ag沒跨越界線F，可直接連接a′，g′； 由結(jié)論2第二條，因線段ad，gd均跨越界線F，故先用虛線連接a′，d′和g′，d′，再反向向兩端畫延長線．即得完整圖形．

2.3 結(jié)合凸透鏡成像坐標(biāo)定位法兩個結(jié)論描繪跨越焦平面F的空間立體圖形的精確成像

在空間直角坐標(biāo)系O-XYZ中，置透鏡于OYZ平面，光心與原點(diǎn)O重合、光軸與OX軸重合．

【例3】空間三棱錐凸透鏡坐標(biāo)定位成像(Z坐標(biāo)：45°，1∶2)如圖5所示.

圖5 空間三棱錐凸透鏡坐標(biāo)定位成像圖

表2 空間三棱錐凸透鏡坐標(biāo)定位成像數(shù)據(jù)表

從數(shù)據(jù)表可以看出C點(diǎn)已越過焦平面．所以在作圖時，A′，B′，D′之間可直接連接． 但由結(jié)論2，所有連接像點(diǎn)C′的線段A′C′，B′C′，D′C′都必須向兩端反向延長至無窮．

3 “凸透鏡成像坐標(biāo)定位法”作圖要點(diǎn)

由上節(jié)所述，可概括總結(jié)得出坐標(biāo)定位作圖法的作圖要點(diǎn)：

(1)建立坐標(biāo)系，定焦距f；

(2)在坐標(biāo)系左側(cè)畫出物體圖形，設(shè)定拐點(diǎn)坐標(biāo)．應(yīng)避免將拐點(diǎn)設(shè)在焦平面F上；

(3) 根據(jù)結(jié)論1公式(3)、(4)，計算出對應(yīng)像點(diǎn)的坐標(biāo)，建立數(shù)據(jù)表；

(4) 根據(jù)結(jié)論2第一條，先畫沒跨越焦平面F的線段的像線，可直接連接其像點(diǎn)；根據(jù)結(jié)論2第二條，對跨越焦平面F的線段，應(yīng)先用虛線連接其像點(diǎn)，再反向向兩端畫出延長線．即得物體完整的凸透鏡成像圖．

4 結(jié)論

(1) 本文簡要地對“凸透鏡成像坐標(biāo)定位法”的創(chuàng)建進(jìn)行了證明．重點(diǎn)突破傳統(tǒng)“透鏡成像作圖法”存在的問題．精確確定了每一像點(diǎn)的位置，并畫出跨焦平面物體的發(fā)散光路圖．

(2) 舉例闡明了“凸透鏡成像坐標(biāo)定位法”的作圖方法、要點(diǎn)及注意事項(xiàng)．

(3) 本文所建立的“凸透鏡成像坐標(biāo)定位法” 可廣泛應(yīng)用于幾何光學(xué)教學(xué)、研究，以及教學(xué)儀器的設(shè)計制作等．

(4) 此方法同樣適用于其他各類透鏡、反射鏡等．

1 李曉彤.幾何光學(xué)·像差·光學(xué)設(shè)計(第三版).杭州：浙江大學(xué)出版社，2014.2～90

2 王家偉.巧用數(shù)學(xué)法解凸透鏡成像問題.中學(xué)物理,2013,31(8):89

3 劉凱倫.凸透鏡成像的數(shù)學(xué)模型——凸透鏡數(shù)據(jù)成像基本原理的探究.第32屆青島市科技創(chuàng)新成果大賽.

CoordinateLocationMethodofConvexLensImaginginThreeDimensionalSpace

Liu Kailun
(Qingdao second middle school,Shandong Qingdao,Shandong 266061)

In this paper, we deeply explore the law of convex lens imaging of spatial point and line segment, a new imaging method "convex lens imaging coordinate positioning method" is summarized. It breaks through some difficult problems that cannot be solved by traditional geometrical optics " The drawing method of lens imaging ",The position of each image point in the coordinate system and the shape of Convex lens imaging can be accurately located, Draw the solid divergence image of the three-dimensional object across the focal plane。The drawing key points and matters needing attention of "convex lens imaging coordinate positioning method" are illustrated by examples

the drawing method of convex lens imaging；coordinate positioning method；coordinate positioning data table

2017-04-12)