巧施策略，妙求復數

陳志銀

(江蘇省如皋市石莊高級中學 226500)

巧施策略，妙求復數

陳志銀

(江蘇省如皋市石莊高級中學 226500)

復數集是實數集的擴充，學生在研究復數集時，不能把實數集上的某些法則和性質照搬到復數集中來，若涉及到復數方程，復數求最值等問題，這時學生就需要根據不同題型，運用恰當的思維策略去解決問題.因此，教師們在教學的過程中，就要給予學生合理的解題策略與解題方法，不斷地在教學過程中滲透，幫助學生理清思路，建立信心，打開學生的思維之門.

高中數學；復數問題；解題策略

在復數類題型中，出題者經常結合方程、集合等知識，以小題為主，側重考查基本知識和基本技能.學生必須要清楚地知道求解復數問題的思維策略，這樣遇到問題的時候才能靈活應對.所以，教師在實際的教學過程中要明確教學的大方向，側重于對學生解題策略以及思維方式的培養，提升課堂的效率.

一、化虛為實，巧解復數

在求解復數問題時，有時會遇到運算十分麻煩的題型.這時教師要做出正確的引導，讓學生利用復數的代數形式將復數問題轉化為實數問題，簡化解題難度.這主要是運用了復數的相等和模的概念，把復數問題“實數化”.作為教師要將這種“化虛為實”的解題策略落實到每一位學生的思維中去，通過解題去運用，將策略轉換為自己的思路，充實學生的思維模式.

二、整體處理，巧解復數

整體處理的思維策略是高中數學解題策略中的又一種重要的思維方法，尤其是在解答復數問題的時候應用得比較廣泛，因此，學生要學會從整體的角度出發去分析和求解，將整體思想貫穿到整個復數內容中去.

例2 如果虛數z滿足z3=8，那么z3+z2+2z+2的值是多少？

解析學生拿到這道題如果不經深入的思考，直接設z=a+bi(b≠0)代入求解的話，學生就會遇到很復雜的過程，往往不容易求解出來.但是如果學生深入思考，巧妙運用整體的思維策略，就會提高解題的效率，降低解題的難度.根據題意，因為z3=8，所以z3-8=0，即(z-2)(z2+2z+4)=0.又因為z是虛數，因此z≠2，那么有z2+2z+4=0，即z2+2z+2=-2，于是z3+z2+2z+2=8-2=6.

點撥在本道題中，根據z3=8，利用立方差公式進行展開(z-2)(z2+2z+4)=0，由z是虛數，因此z-2≠0，由此可得z2+2z+4=0.接下來將待求式變形可得z3+(z2+2z+4)-2，代入求值即可.教師在教學復數的過程中要有意向地去教學，給學生灌輸整體的思想，提高學生的解題效率.

三、巧用函數與方程，化解復數題

函數與方程思想的實質是提取問題的數學特征，并且用聯系變化的觀點來看待數學，達到函數與方程之間的相互轉換，建立相應的函數關系，正確地求解問題.教師在教學的過程中，就要不斷地培養學生的函數與方程的思想，在遇到復數問題時，能夠準確地建立函數與方程的模型，提升學生的思維轉換能力，復數難題也就迎刃而解.

例3 已知z∈C，且|z-2-2i|=1，i為虛數單位，試求|z+2-2i|的最小值是多少.

點撥本道題利用了函數與方程的思想，先是通過設出z=x+yi(x,y∈R)，列出方程，再結合函數的知識點去求解.此外，本題從幾何意義的角度也可速解：z對應的點在以(2，2)為圓心，1為半徑的圓上，|z+2-2i|表示z對應的點到點(-2，2)的距離，于是求出|z+2-2i|的最小值是為3.可見，函數與方程思想的重要性，教師在教學的過程中，要強化學生的認知，不斷地拓展練習，運用函數與方程思想去解題，做好引導者的身份，學生也要在做題中不斷總結與反思，做到真正將函數與方程的思想靈活運用.

四、運用分類討論思想，巧解復數

分類討論思想就是當所給的對象不能進行統一的研究時，按照一定的標準對于研究對象進行分類，然后分別研究得出每一類的結論，最后綜合各個結論得出題目的結論.需要注意的說，在分類的過程中要做到不重復、不遺漏.在研究復數問題時，要充分掌握一個復數為實數、虛數以及純虛數的充要條件.

解析根據題意，知道方程x2-2x+k=0的判別式Δ=4-4k.當α，β為實數時，Δ≥0且|α-β|2=(α-β)2即k=-1；當α，β為虛數時，Δ<0且α與β共軛，于是|α-β|2=-(α-β)2，解之得k=3.于是，綜合以上所述，可以得出實數k的值為-1或者3.

點撥本道題是在復數范圍內考查學生分類討論的思想，利用分類討論的思想去解題，對于方程的兩個根α，β進行分類，分類研究α，β為實數的情況與α，β為虛數時的情況，最后根據分類的兩種情況進行總結，得出要求的實數k的值.教師在教學的過程中，要不斷加強對學生分類討論思想的灌輸，加強學生思維的縝密性，給予學生合適解題策略，幫助學生巧妙地解決復數問題.

總之，在解決復數問題時，教師要在教學中不斷地去探索，把正確的解題策略及時地灌輸給學生，在教師的“教”與學生的“學”之間架設好橋梁；學生也要不斷地練習，找尋到問題的關鍵所在，并且合理地運用解題策略，才能解決根本問題，這樣不僅可以使自己得以突破，而且在思維能力上還會得以延伸.

[1]董是.復數的解題技巧[J].高中數理化，2017(03).

[2]寧俊玲.復數高考常考題型透析與應對策略[J].高中數理化，2015(03).

G632

A

1008-0333(2017)31-0017-02

2017-07-01

陳志銀(1979.6-)，女，江蘇省南通人，本科，中學一級教師，從事高效教學方法研究.

楊惠民]