多元問題的處理策略

李昊哲

(河北省衡水市第一中學 053000)

多元問題的處理策略

李昊哲

(河北省衡水市第一中學 053000)

在高考及數學競賽中，一些較難的題目往往是以含參數問題或多元形式出現，學生對這類題目常常難以入手.本文就多元問題的幾種思維途徑加以論述，有益于解題能力的提高.

多元問題；處理策略；主元

數學中有一類涉及多個變元的問題.由于變元多，難以找到解題的切入點，本文結合實例給出幾種處理方法.

一、減元(消元)

面對多個字母，最基本的想法就是減元(消元)，轉化為兩個甚至一個字母的問題，從而簡化問題，明確解題思路.

例1 已知非零實數a、b、c、d滿足條件：a、b是方程x2+cx+d=0的兩個角，c、d是方程x2+ax+b=0的兩個角，求a、b、c、d的值.

解利用韋達定理，由a、b是方程x2+cx+d=0的兩個角，知a+b=-c,ab=d,即c=-(a+b),d=ab.

綜上，a=1,b=-2,c=1,d=-2.

點評本題若依常規，按解的定義把a、b，c、d分別代入兩個方程，將得到一個四元高次方程組，難以繼續求解.而本例解法，把c、d都用a、b來表示，從而減元為二元(關于a、b)的問題，降低難度，方便獲解.

二、構造方程

特別是構造出一元二次方程，用判別式來求解.

例2 設實數a、b、c滿足a+b+c=0,abc=1,求a、b、c中最大者的最小值.

點評本例也可用關于b、c的均值不等式來求出a的取值范圍.

三、用均值不等式

用均值不等式取等號的條件，求出各字母的數值，從而獲解.

例3 設實數x、y、z滿足條件y=6-x,z2=xy-9,求x、y、z的值.

解由已知條件有x+y=6>0,xy=z2+9>0,知x、y都是正數.

所以x=3,y=3,z=0.

點評本例也可由x+y=6,xy=z2+9，知x、y是關于u的一元二次方程u2-6u+z2+9=0的兩個實根，再由Δ≥0，及取等號條件求出z及x、y的值.

四、變更主元

在以某個變元為主元的多元問題中，按常規方法從主元入手分析求解，有時比較困難.此時不妨轉換思維方向，以某個次元為主元重新思考，往往會割然開朗，獲得新穎簡捷的解法.

例4 當-1≤k≤2時，不等式kx2-x-k-1<0恒成立，求x的取值范圍.

五、確定主元

對于某些地位均等的多元問題，不妨認定其中一元為主元，往往能打開解題思路.

思路先消去z，再以x為主元，用判別式法求出y的范圍.

[1]史慶華.例說多元函數最值的求解策略[J].中學生數學(高中)，2010(10)：38-39.

[2]林國夫.二次型約束下最值的求解策略[J].中學生數學(高中)，2010(11)：28-30.

[3]蔡勇全.多角度解析一道高考填空題[J].中學生理科應試，2015(4)：7.

[4]姜國慶.三類非線性多元函數最值問題的圖象解法[J].高中數學教與學，2014(1)：14-15.

G632

A

1008-0333(2017)31-0038-02

2017-07-01

李昊哲，河北省衡水第一中學，高三學生.

楊惠民]