反復抽象：數學建模不可或缺的思維裂變

唐惠玉

摘 要：生活中往往蘊藏著很多無關緊要的信息，影響了學生對數學本質知識的體驗與感知。這就要求教師捕捉蘊含在其中的數學信息，將具體的生活場景轉化為符號化的數學問題，即在建模的過程中還原數學本質。本文提出要尊重學生，在直覺性思維中進行提煉；協調商定，在統一性原則下達成共識；化繁為簡，在簡易性思維中再現本質；反思質變，在反復性抽象中廣泛拓展，從而促進學生建模能力的生長。

關鍵詞：尊重學生；反思質變；化繁為簡；數學建模

數學源自于生活，但生活中往往蘊藏著很多無關緊要的信息，影響了學生對數學本質知識的體驗與感知。這就要求教師捕捉蘊含在其中的數學信息，將具體的生活場景轉化為符號化的數學問題，即在建模的過程中還原數學本質。而這一切需要學生抽象化思維的不斷參與，筆者就以四年級中“用數對確定位置”這一內容的教學為例，談談自己的一些思考與實踐。

一、尊重學生，在直覺性思維中進行提煉

直覺是生命個體憑借自身的感知意識，在不經意狀態下所形成的一種體驗認知。人們在分析生活中的常見現象時，就可以依據自身的直覺意識對生活中的現象進行抽象，這其中就包括了人們默認的一些規則和策略。

比如教學伊始，教師組織學生開展“猜謎語”的游戲，先出示一排學生喜愛的小動物，然后選擇其中一只小動物將其所處的位置告知學生，讓該生借助手語的方式將小動物的位置信息傳遞給其他學生，看誰能夠更好地理解該生的動作，找出這只小動物。一位學生豎起了4根手指，很多學生都能意識到是從左向右數第4個。而后，教師加大游戲難度，出示了6×6的動物方陣，以同樣的方式展開游戲，當一位學生用雙手表達出3和5兩個數字時，其他學生則說出了很多不同的理解，所確定的位置也千差萬別。

面對一排和方陣兩種不同的排列方式，學生自主運用了一個數字和兩個數字的方式表示位置，這種抽象式的表達技巧，是學生自發形成的，是在規避了言語表達情況下學生意識中的一種自覺。簡單的游戲卻讓學生經歷了一次從直觀鮮明到問題抽象的過程，初步感知了數學建模的思想。學生在自主性抽象直覺體驗成果時，一般都能依循生活中的思維習慣。如在方陣排列時，教師了解到有的學生將其看成是書頁上的文字，有的學生將其視為做操時排列的隊伍，用具體的數字表示第幾行第幾個。也正因為如此，學生才出現了理解上的歧義。

不管何種方法，都是學生自主意識中對生活問題的提煉與抽象，都是學生內在意識進行建模的開始。這就要求教師在教學中要善于把握學生的認知規律，依循學生原始的思維習慣展開引領，從而為抽象化的建模服務。

二、協調商定，在統一性原則下達成共識

由于生命個體內在的差異性，他們原始經驗不同、直覺思維不同，依循自己直覺而抽象出來的模型也有著一定的差異，與他人進行交流分享時，自然會出現一些錯誤和障礙。但數學模型的結構應該是相同的，應該呈現出一種固有的形態，應該得到所有人的認可和接受。這就意味著教師要在尊重學生個性直覺的過程中，實行統一性原則，從而便于學生的認知與理解。

比如在這節課中，學生面對方陣排列出現了不同的理解狀態，教師應該給予學生表達自我的空間，說說自己的理解：有的學生至上而下地理解，有的學生從左到右，有的學生先行后列，有的學生先列后行……正是理解方式的不同，所以對位置確定的結果也就五花八門。針對這一現象，教師組織同桌兩人先協調商定，然后再進行游戲，此時兩人就形成了“心有靈犀一點通”的效果，沒有再出現歧義。在反思分析中，很多學生指出同桌兩人之間已經有了明確的規定，對表達的順序和方式有了統一的方法，就一定可以準確地理解對方的意思，從而明確小動物所處的位置。這種方式下的建模，其抽象的程度更高，對學生內在思維能力的要求也自然水漲船高。教師引領學生繼續思考：那怎樣才能讓全班學生都一下子猜對小動物所處的位置呢？學生紛紛指出可以在全班范圍內統一規則，就可以形成統一的表達原則，問題也就迎刃而解了。

這一板塊中的抽象方法，是在學生個體直覺抽象的基礎上進行的，學生與自己的合作伙伴交流商討，就是為了統一規則，為更深入的抽象提煉奠定基礎。只有在這種狀態下所提煉出來的抽象模型，才能被所有的人接受。更高級別的問題情境中，數學家嘗試用數對的方式表示事物的具體位置，也是基于統一原則的前提下進行的，否則也容易出現理解的誤區，導致科學實踐的失敗。

三、化繁為簡，在簡易性思維中再現本質

數學是一門追求從復雜到簡單的學科，嘗試運用最為簡練的語言和符號，來表示紛繁復雜的數量關系。因此，教師在引領學生進行模型建構時，應該尊重數學課程簡化性的特點，促進學生數學意識的高效發展。

如為了讓學生更深入地理解“數對”在確定事物位置時所起到的作用，教師利用課件出示了教室里的座位圖，引領學生以教師站立在講臺前的視角觀察學生的座位，了解教師就是依照“先列后行”的方式確定位置的，而數學家所提倡的“數對”也是如此。教師可以引導學生將每個座位視為一個小圓點，將座位圖轉化為更簡潔的點陣圖，形象的生活元素變成了抽象的數學符號，但其內在的規則并沒有變化。這就讓學生意識到在“萬變不離其宗”的大前提下，可將一些無關緊要的內容剔除，將具有生活氣息的數學內容抽象成為數學問題進行表達。

隨后，教師引領學生思考：第3列第4行的表述方法，還可以怎樣簡化呢？教學中，教師依次報了一串數對，要求學生記錄這些動物的位置，速度越報越快，很多學生難以記錄，但也有學生能夠完整記錄，并分毫不差地確定了這些小動物的位置。在經驗分享時，這部分學生表示在心中默認了先列后行的原則，只要記錄兩個數字，即可準確定位。隨后，教師則引導學生運用（3，4）的格式記錄數對，將簡化性的特點貫徹在學生學習過程中。

教師運用這種方式，逼迫著學生更加快速地記錄數對、確定位置，不僅讓學生自主生發出簡化數對表達的方式，更認識到在確定位置過程中簡化的必要性。由此不難看出，將生活中形象直觀的數學問題提煉成相應數學結構模型的過程中，簡化是一種明智的選擇，不僅讓抽象而成的數學模型更加簡潔，一看就懂，更契合了數學模型建構的內在需要，可謂一舉兩得。

四、反思質變，在反復性抽象中廣泛拓展

數學模型是生命個體高度抽象之后的成果，但因為數學知識體系相對復雜，往往一個相對復雜的模型之中就蘊含著許多其他的模型。這就要求教師在引領學生建構出模型之后，要及時進行必要的反思，促使學生在思維升格的基礎上將模型的建構上升到一個全新的高度。

如在提煉抽象出數對模型之后，教師引導學生從自己的生活實際出發，想想生活中還有哪些場景是需要運用數對來確定位置的，不少學生紛紛指出：電影票上的座位號、地圖上的經緯線、圍棋的棋盤……都需要借助數對的方式來確定位置。教師引領學生運用已經形成的數對模型，對這些生活中的場景進行深入對比與分析，其實這些方法都是依據兩條完全不同的直線交叉于一點來確定位置的。如此一來，學生對于數對模型的感知就又上了一個臺階，為構建更為廣泛的模型結構奠定了基礎。緊接著，教師引導學生深入分析了一維隊列和二維點陣確定位置的技巧，學生發現一維隊列中，只需要一個數字就可以確定事物的位置，而二維點陣中要羅列兩個確定的數字才能準確地把握事物的位置。隨后，教師出示了學生喜歡玩的魔方，引導學生思考：魔方中的位置需要借助幾個數字才能確定呢？借助如此深入而清晰的分析，學生對原本形成的模型又有了更加深入的感知，實現了向一般模型的廣泛拓展。

由此不難看出，教師在“用數對確定位置”這一課的教學過程中，引領學生先后經歷了四次不同程度的抽象與提煉，依循著從低級到高級，步步為營、層層剝筍的方式，讓學生在親身經歷的過程中感受數學建模抽象化的特征，促進了學生建模能力的發展，更為數學核心能力的提升奠定了基礎。endprint