以“形”助“數”，突破函數零點問題

李園園

[摘 要] 借助于函數圖像來解決函數零點問題是數形結合思想的重要運用，本文通過對一道高考模擬題的深入思考，從變式訓練和反向思考中感受數形結合的思想，以“形”助“數”，突破函數零點問題.

[關鍵詞] 數形結合；以“形”助“數”；零點問題

數形結合思想是高中數學中的重要思想，運用這種思想可以解決許多問題.在解決函數零點問題的過程中，通過運用數形結合的思想，做到以“形”助“數”，使得代數問題幾何化，避免了復雜的計算，快速解決問題的同時還鍛煉了數學思維.

[?] 母題呈現及思路剖析

思路剖析：

[?] 反向思考以發散思維

母題中是將兩個函數交點坐標的問題轉化為新構造函數的零點問題，但是對于某些問題，直接分析函數的零點個數并不可行. 通過發散思維，問題需要進行轉化，將求一個函數的零點問題轉化為兩個函數的交點問題，根據數形結合思想，分別作出兩個函數的圖像，從圖像中直觀地得出兩個函數的交點個數.

[?] 反思歸納

第一，以“形”助“數”，數形結合

數形結合思想是高中數學中的重要思想，其本質是抽象的數學語言與具體化的圖形之間的相似轉化. 對于平面解析幾何中的零點個數問題，一直都是高考中的熱點問題，而大部分學生對這類知識的掌握情況并不是非常理想.究其原因，就是不能合理運用數形結合的思想，通過數形結合，可以將抽象的問題具體化，通過直觀的圖像就可以觀察出交點的個數. 例如本文中的三道題，如果想要通過方程思想直接求出交點的坐標，通過高中數學的知識有極大的困難，而通過畫出函數的圖像，借助于函數圖像來輔助解題，可以直觀地看出交點的個數.

第二，轉化問題，事半功倍

數學問題的解決離不開轉化思想，對于大部分數學問題，如果不知變通而直接求解，一般都無法解決問題.通過轉化思想，不但可以解決原來難以解決的問題，還能節省寶貴的時間，達到事半功倍的效果. 例如在母題呈現及思路剖析中，由于兩個函數的交點無法直接判斷，通過轉化思想，將兩個函數的交點問題轉化為函數的零點問題；而在鞏固提高中，將求方程-1的零點個數，許多學生想要畫出該函數的圖像，然后找到圖像與x軸的交點個數. 事與愿違的是，這個函數的圖像通過高中數學的知識并不能得出，許多學生跳不出求零點個數的思維定式，無法解決問題. 如果通過反向思考，將問題轉化為求兩個函數交點的個數，此題將會迎刃而解.endprint