函數思想解題與知識技能的結合例談

秦國剛

[摘 要] 函數思想是中學數學重要解題思想，其貫穿于中學數學教學的始終.函數思想的使用有諸多函數知識的滲透，本文結合具體案例詳細解說.

[關鍵詞] 數學；函數；數學思想；函數思想；知識技能；單調性

中學數學知識型的思想方法有函數與方程思想、數形結合思想等等. 運用知識型思想方法解決問題卻并不是僅僅依賴思想就可以的，更需要知識技能的結合. 從函數知識來說，函數中涉及了方程知識、三要素知識、單調性知識、奇偶性知識、周期性知識等等，在具體情境問題中使用這些知識和技巧，才能從更高的角度去感受函數思想方法的滲透.

從一方面來說，數學知識的學習有三個過程，其一是掌握扎實的基本知識和基本技能，這是大多數教學都關注的；其二是將這些知識進行有效的整合，通過知識的整合，即技能的混合使用獲得較高的解題經驗；最后是思想方法的滲透，在前兩者的基礎上，從更高的思想視角去思考、去結合知識，對問題的理解會有更為深刻的認識. 因此本文所涉及的正是在思想方法角度下的知識技能的傳授，結合案例與大家交流.

[?] 函數思想與三要素的結合

函數概念是函數的核心，以函數概念為核心的知識涉及函數的定義域、值域、對應法則三要素. 但是對于定義域、值域、對應法則的求解卻并不是非常簡單的，甚至還有不少問題涉及三要素，更是需要結合函數思想思考.

提示：恒成立問題是中學數學的主導問題，是一種跨越章節知識的綜合性問題. 從恒成立問題的解決角度來說，參變分離是解決問題的主導手段，要用到參變分離勢必需要求函數最值，這正是函數思想解決恒成立最直接的體現. 從具體解決問題的視角來說，如何求解函數最值是比較重要的難點，在沒有導數介入的函數值域中，函數模型的最值研究是常用的知識技能，成為最值研究的重要模型.

[?] 函數思想與函數性質的結合

函數三大性質是函數圖像最重要的代數表征，單調性研究了函數圖像的變化過程，奇偶性成就了函數研究的效率問題，周期性體現了特殊函數的研究寬闊性. 函數思想中對于函數性質的滲透往往具備了一定的可行性，特別是在解決一些看不到函數思想的地方，用函數思想結合函數性質解決問題，成為知識技能使用的更高境界.

提示：高次方程的解決在中學數學中并不是重點知識，因此能解決的高次方程勢必是特殊的形態. 觀察本題首先從特殊的角度去思考，即以配方的手段實現了代數式形式上的統一，得到（x2-2）3=x3，從這里需要教師培養學生整體看待問題的眼光，即以函數構造的角度思考，形成方程問題函數化的途徑，從而利用f（x）=x3是單增函數解決問題.

提示：本問題依舊是以恒成立為載體，但不代表本題也要仿前面問題1采用參變分離的手段處理，畢竟本題參變的方式較為復雜，容易導致分類討論的出現. 不等式問題如何處理？教師要引導學生：方程、不等式、函數是一個知識整體，可以這么說，方程和不等式都是函數值等于0和不等于0的特殊形態，自然而然以函數研究為最為本質的突破口. 觀察本題，我們不難發現本題若以變量x為主導進行研究，則變量的取值范圍并不知情，哲學思想“正難則反易”恰恰滲透在本題中，若能以條件中變量p的取值范圍作為自變量，進而研究參數x的取值范圍，則以一次函數的視角入手，問題的解決自然簡單很多.

總之，函數思想運用于函數問題、方程問題等很多知識中，其是中學數學最為重要的知識板塊，從知識技能的角度加深知識利用的頻率，從問題系統的高度認識問題所處的思想方法，兩者較好的融合有助于學生更好地學習函數、更深刻地理解函數，必有更好的解題收獲.endprint