淺析高中數學學習過程中學生提出問題的能力

李大紅

[摘 要] 在數學教學的實踐過程我們發現高中學生在數學提問能力上存在整體水平不高的現狀，這主要表現在學生不會數學反思及提問的層次不高兩個方面. 導致這種現狀的原因可歸結為教學方式的偏頗扼殺了學生提問的能力. 改變這種現狀可以從反思性教學和變式教學著手開展.

[關鍵詞] 數學提問；現狀管窺；影響因素；教學策略

我們認為在高中階段學生在數學方面提出問題的定義應當是在運用已有數學知識解決好問題后對已解決的問題再次反思，能夠得到對數學問題的深層認知或者能夠對問題進一步的追問和補充說明. 記得美國數學教育學家波利亞曾在他的著作《怎樣解題》中指明：培養學生提出問題的能力應當是數學教學十分關注的一個維度. 因此，對高中數學學習過程中學生提問能力進行系統的分析是非常有必要的.

[?] 高中生數學學習過程中提出問題能力的現狀管窺

通過對筆者學校不同能力水平的學生的課堂的觀察，筆者將高中生數學提問能力的現狀概括為學生數學提問整體水平不高. 這主要體現在不會反思和提問的層次不高兩個方面.

首先，不會反思是學生提問水平不高的本質表現. 根據定義我們確定提問水平是建立在對已解決問題的再次反思上，通過反思能夠得到對本問題的深層認知或對問題做進一步說明. 不會對已解決問題再次反思，則不會得到一個關于問題屬于自己的認知. 舉個真實的教學案例，在導數的應用一節中，筆者選取了2017年鹽城市第三次模擬考試的一道應用題作為教學素材“一兒童游樂場擬建造一個“蛋筒”型游樂設施，其軸截面如圖1中實線所示. ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α（F在AB的延長線上，α為銳角）. 圓E與AD，BC都相切，且其半徑長為100-80sinα米. EO是垂直于AB的一個立柱，則當sinα的值設計為多少時，立柱EO最矮？”我們知道這是一類以角度為自變量，以三角函數為中介的導數的應用問題，解決這類問題的關鍵在于以三角函數為中介聯系自變量α和函數，以函數的單調性（導函數大于或小于0）確定三角函數的取值范圍，再以三角函數的取值來明確函數的單調區間（自變量α的取值范圍），從而畫出函數的圖像. 這類問題的列表不同于以往往的三行（自變量、導函數、函數）列表，而應是四行列表（α、、導函數、函數）. 然而就在兩天后的考試中出現了一道類似的問題，全班僅有1個人能夠處理，事后筆者與幾位學生進行了交流：“你們能用自己的話描述這類問題嗎？”結果只有那個做對了學生說，“這類問題中自變量不是sinα而是角度α，數形結合時，應用α的范圍來刻畫函數的單調區間.” 簡單的對話，透露著一個事實：學生只會機械記憶而不會反思學習. 如果他們有一定的反思能力，必定能夠像做對的那位學生一樣看透問題的本質.

其次，提問的層次不高是提問水平不高的外在表現. 數學教育家波利亞根據學生提問程度的不同將提問水平分為闡釋性提問、聯系性提問和拓展性提問三個層次. 闡釋性提問是指從已有知識中提出與問題相關聯的內容，為問題的發展提供解釋的提問. 例如在數學歸納法的教學過程中，曾遇到這樣的例子“對于數列{an}，已知a1=1，an+1=，猜想an的表達式，并用數學歸納法證明”.對于這個問題，闡釋性提問常見的形態是：“根據問題情境中所給出遞推公式，學生會提問a2，a3，a4，a5，…分別是多少.”聯系性提問是指從問題情境中尋找與已有知識相似或共通的內容，從而提出關聯性問題. 例如在解析幾何一章中，橢圓一節中有這樣一個性質“橢圓上任意一點（短軸端點除外）與短軸端點連線的斜率之積為定值-”，與這個問題相似之處是橢圓上的任意一點與長軸兩端點連線，所以學生能夠提出聯系性提問表現為“橢圓上的任意一點與長軸兩端點連線的斜率之積是否為定值，如果是定值，其值是多少？”所謂拓展性提問是在問題本質認知的基礎上發現延展性的內容，例如在研究圓心在原點的圓時，如果學生能夠提出“圓上動點到圓心的連線與x軸正半軸夾角θ與圓上點坐標之間有什么關系”，就可能自己發現圓的參數方程這一事實，這就是一種拓展性提問. 然而可惜的是通過對學生們課堂觀察，我們發現絕大多數學生的提問都停留在第一個層次.

[?] 高中階段對學生數學學習中提問能力的影響因素

透過對學生課堂觀察結果的事后反思，我們認為造成高中學生數學提問能力不行的主要因素有兩類：首先，數學學習的方式的偏頗——由應然的學問方式變成實然的問答方式，扼殺學生的提問能力發展；其次，受應試教育的限制，課堂上能夠給予學生思考的時間和空間太少，阻礙了學生數學提問能力的發展.

首先，數學課堂上應然的學問方式為實然的問答方式所替代嚴重影響了學生提問能力的發展. 學問方式則是按照學生認知發展的進程進行的教學，是指學生通過學習發現不懂的問題，然后就不懂的問題向教師進行提問，這是學生學習邏輯的體現. 通過學習發現未知與已知之間的矛盾，然后將矛盾提出來，并得到答復. 如此循環自然能夠提升學生的發現問題的能力. 而問答的方式是指教師將教材知識事先整理好，按照知識邏輯結構依次按一問一答的方式呈現出來，這是教師邏輯的體現.如此循環，學生自己的邏輯思維必然得不到發展，而只能跟著教師的邏輯亦步亦趨，提問能力自然好不到哪里. 舉個例子，在復數的幾何意義這一節中，我們常看到這樣的教學片段.

教師：如果將復數的實部和虛部寫成有序實數對的形式（a，b），就可以將其看成什么呢？

學生：點.

教師：所以復數就與平面坐標系上的點建立了一一對應關系，對嗎？

學生：對.

教師：當我們將點與原點構建成向量，是否與向量也一一對應呢？

學生：是.

管中窺豹可見一斑，在這樣的教學過程下長學生完全按照教師安排好的知識順序，應對教師的提問，沒有自己發現未知與已知矛盾的過程，自然不能很好地發展自己的發現問題、提出問題的能力.endprint

其次，課堂上能夠給予學生發現問題、提出問題的時間與空間太少亦是影響學生提問能力發展的重要因素. 受應試教育的影響，教師往往需要在兩年甚至一年半的時間內要將三年內的所有數學課程（理科10冊，文科8冊）全部教完.如此短的時間內要教完如此大量的內容常會用兩種途徑，增加學時或以教為主. 以教為主必然會擠壓學生在課堂思考與發現問題的時間. 舉個例子，在基本不等式的教學過程我們常會遇到這樣一個例子“若a，b均為非負實數，且a+b=1，求+的最小值”. 熟悉的都知道這是一道1的代換類型的問題，然而教學并不是如此簡單.想要讓學生真正領悟1的代換的問題，就必須讓學生從原始形態的1的代換“若a，b均為非負實數，且a+b=1，求+”學起，并經歷不同形式的變換.然而真實的教學過程并不是這樣的，通常教師會告訴學生們“分母相加等于3（a+b）=3，所以+=（a+2b+2a+b）

[?] 關于提升高中階段數學提問能力的教學策略簡述

針對目前學生數學提問水平一般，提問層次不高的現狀，結合對其原因的分析，我們就提升學生數學提問能力的教學提出兩點策略：其一，提供反思性教學；其二，提供變式教學.

首先，針對學生數學學習不會反思的現狀，需要為學生提供反思性教學. 所謂反思性教學是指學生要能夠對教師課堂上數學教學過程及呈現的解題方案進行回顧并以自己的角度內化. 例如上述導數案例，也許解題的方案可以用“①對函數求導；②令導函數等于0，求根；③四行列表，表明函數單調區間；④畫圖”這幾個步驟來歸納，這是教師可以給予的，但能否轉化為學生內在的東西，問題的實質在于學生能夠用自己的言來歸結“這是一類以角度為自變量，以三角函數為中介的導數的應用問題”. 而這一過程需要給學生提供反思學習的機會. 所以，教會學生反思是提升數學提問能力的首要任務，因為通過對已有結果的再認知，可以幫助學生發現并提出新的內容. 通過長期的反思性學習，將反思培養成學生學習生活中的一種習慣時，學生發現新內容，提出新問題的能力自然就會水到渠成.

其次，針對學生提問水平不高的現狀，需要為學生提供變式教學. 學生的提問水平不高是因為學生在數學學習過程中只看了單一的數學問題，而未能挖掘這種問題內在本質的、共通性的內容. 因此才會出現問題稍微一變形，學生就不知所措的現象. 針對這種現象，可以為學生提供更多種的變式教學，即變換問題情境中外在形式，保留本質核心的內容，讓學生在多種不同的形式中來感悟問題的共同性內容. 例如上述1的代換中可以從“若a，b均為非負實數，且a+b=1，求+”這種原始形態的1的代換講起，然后通過不斷改變待求表達式，比如說“求+，求+”等.透過變式教學來激發學生對變式的敏感性，超越單一看待問題的習慣，達到舉一反三的效果. 當學生通過持久的變式訓練，超越單一看待問題的習慣時，必然能夠以較高的水平來看待問題，從而提高提問的水準.endprint