一種任意多邊形面積的計(jì)算公式

陳小亮+黃開(kāi)志

[摘 要] 將任意n邊形分解為n-2個(gè)三角形的組合，推導(dǎo)得到了任意平面n邊形面積的一種行列式形式統(tǒng)一計(jì)算公式.

[關(guān)鍵詞] 多邊形；面積；矢量

[?] 引言

吳進(jìn)權(quán)和張達(dá)通過(guò)研究平面多點(diǎn)的位置關(guān)系得到了凸多邊形的一個(gè)面積公式. 李伙穆等人通過(guò)將多邊形的“邊”拆開(kāi)，以“邊”為單元，將“邊”的兩端點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)想連接，由“線”、“點(diǎn)”的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為“面”的數(shù)據(jù)，采用初等數(shù)學(xué)方法證明出一個(gè)不規(guī)則多邊形面積的計(jì)算公式. 羅志強(qiáng)和鐘爾杰由推廣的Green公式建立起重積分與曲線積分的關(guān)系，并用不同思路推導(dǎo)出任意多邊形的面積計(jì)算公式，公式在求解任意復(fù)雜的多邊形的面積時(shí)與原點(diǎn)位置無(wú)關(guān). 宋淮林給出了求解任意多邊形面積的一種方法及在計(jì)算機(jī)上應(yīng)用的實(shí)例. 本文通過(guò)將任意n邊形分解為n-2個(gè)三角形的組合，推導(dǎo)得到了任意平面n邊形面積的一種行列式形式統(tǒng)一計(jì)算公式.

[?] 任意多邊形的面積公式

1. 定理

從上面的證明可以看出，公式（2）和（8）所表示的△A1Ai+1Ai+2面積Si可正可負(fù)也可為零，但是在平面右手直角坐標(biāo)系中，只要任意n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)A1，A2，…，An嚴(yán)格按照逆時(shí)針順序依次排列，那么公式（1）和（7）所表示的多邊形面積S恒為正，這兩個(gè)公式對(duì)任意凸和凹多邊形面積均適用.endprint