一種任意多邊形面積的計算公式

陳小亮+黃開志

[摘 要] 將任意n邊形分解為n-2個三角形的組合，推導得到了任意平面n邊形面積的一種行列式形式統一計算公式.

[關鍵詞] 多邊形；面積；矢量

[?] 引言

吳進權和張達通過研究平面多點的位置關系得到了凸多邊形的一個面積公式. 李伙穆等人通過將多邊形的“邊”拆開，以“邊”為單元，將“邊”的兩端點與坐標原點設想連接，由“線”、“點”的數據轉化為“面”的數據，采用初等數學方法證明出一個不規則多邊形面積的計算公式. 羅志強和鐘爾杰由推廣的Green公式建立起重積分與曲線積分的關系，并用不同思路推導出任意多邊形的面積計算公式，公式在求解任意復雜的多邊形的面積時與原點位置無關. 宋淮林給出了求解任意多邊形面積的一種方法及在計算機上應用的實例. 本文通過將任意n邊形分解為n-2個三角形的組合，推導得到了任意平面n邊形面積的一種行列式形式統一計算公式.

[?] 任意多邊形的面積公式

1. 定理

從上面的證明可以看出，公式（2）和（8）所表示的△A1Ai+1Ai+2面積Si可正可負也可為零，但是在平面右手直角坐標系中，只要任意n邊形的n個頂點A1，A2，…，An嚴格按照逆時針順序依次排列，那么公式（1）和（7）所表示的多邊形面積S恒為正，這兩個公式對任意凸和凹多邊形面積均適用.endprint