如何“講”數列不等式中的放縮法

宣培霞

[摘 要] 如何講好數列不等式問題的解題分析，讓解題過程更貼近學生是一個重要的課題. 在教學過程中要讓學生在“知道”的基礎上，整理“分類”，形成模型；并在具體題目分析中發現解題的線索，使得學生的觀察能力達到“入微”，提高解題能力.

[關鍵詞] 數列不等式；放縮法；入微

高考數學復習是在學生已經基本掌握了中學數學的知識體系，在學生已經認知了各種數學思想方法的基礎上進行再認識、再發現的教學. 我們最常用的教法是“習題—講評—習題”，學生大量刷題，教師滿堂演講正確答案，這很容易忽略學生在實際做的過程中如何思考、如何提高學生解題能力方面的嘗試. 像2015年高考的數列與不等式壓軸題，每個教師都能把答案講好，學生也能聽懂，但每次真的面臨時卻還是原來的情況——不得其門而入.

通過對這一內容的研究和學生對此題的解題經歷，筆者想通過讓學生達到以下幾個層次來提高學生對這類題的解題能力.

一、“知道”知識體系. 讓學生掌握數列大題考查的主要方向是等差數列、等比數列的各種性質及求和問題；結合數列的遞推關系的處理；不等式中的放縮思想.

二、“分門別類”. 針對做過的題進行分類，對幾個主要的考點及處理方法進行分類，從而為學生的解題方法做好儲備. 通常我們以這樣的標準進行分類：

一是對給出的數列類型進行分類：可能是以等差、等比數列為背景；可能是以數列遞推關系求通項為背景；可能是以數列遞推關系研究性質為背景.

二是對提問方式進行分類：可能是研究數列的通項公式；可能是研究數列的單調性；可能是研究數列的項的值的取值范圍；可能是研究數列求和方面的問題.

三是對放縮的方向進行分類：可能是放縮為等差數列；可能是放縮為等比數列；也可能是放縮為一個可以用裂項相消法求和的數列.

三、“觀察入微”. 具體在解題過程中，則要讓學生體會如何通過對題目條件的觀察與分析，針對題目中的信息的處理來聯系解題方法，通過嘗試來完成解題過程. 這就要求教師在解題分析中能夠充分讀題，讓學生從題目中的信息得到解題方法的線索. 因此需要教師與學生一起觀察“入微”，順勢而為，尋找答案.

但從目標上來看，并沒有什么特別的東西讓我們可以證明它成立，但注意到左右表達式中分母是關于n的一次式，聯想到等差數列的通項公式即為這種形式，因此將目標再次變形為“n+2<≤2n+2”.即我們需證明數列大于或不大于一個等差數列.因此將遞推式再次改寫為：==+.

由上面的猜想，我們只需證明：1<≤2?0

從上面的分析中我們可以清晰地看到解題過程中的思維過程，而需要學生和教師用到的知識也是全面的，這樣的解題分析才會讓學生對這一問題的解決有所體會. 當然，作為教師和學生對于這種類型的題，也要注意在分析過程中的關鍵點，特別是順著題意前進. 以下就這一問題的其他類型舉例.

因此猜想遞推式中的“”應滿足：≤≤，而由第（1）小題中的“1≤a2n-1

從上例中可以看出此題主要思想是利用遞推關系和放縮法構造一個“等比數列”來完成任務. 通常我們要注意目標中的求和公式是否有等比數列的形狀，或者是一個常數的時候則需要我們從遞推關系的結構中與等比數列的定義“an+1=qan”相似再加上無窮等比數列的和公式“”來完成猜想.

說到觀察“入微”，因勢利導. 一方面要求學生對常見的類型有足夠的認識，能夠根據拿到的問題選擇恰當的模型進行放縮；另一方面，一些經典的例子讓學生進行揣摩，對題中的要求進行整理和理解如何去達到目標，這也是一個不錯的選擇. 像下面兩例，一個是數列與不等式作為壓軸題的最后一年2008年浙江省高考題，另一個例題是競賽題，而2015年浙江省高考題也是參考幾年前的一個競賽題進行改編的.

后者可以用裂項相消法得到結果.這一方法在2008年以前是一個常用方法，但這幾年因為導數屬于模塊考試，所以不應過多涉及，不過在下一屆考生眼里，這又是一個可以選擇的模型.