高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧

龔柏源 長沙市長郡中學(xué)

高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧

龔柏源 長沙市長郡中學(xué)

在升學(xué)考試中，立體幾何屬于必考內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過程中，立體幾何是重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是熱點(diǎn)，想要做好應(yīng)考準(zhǔn)備，需要深入探究并積累立體幾何的解題技巧。本文將通過列舉例題的形式，從添加輔助線和函數(shù)方程思想等方面來詳細(xì)探討高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧，以進(jìn)一步提升自己的立體幾何解題能力。

高中數(shù)學(xué) 立體幾何 解題技巧

立體幾何作為高中數(shù)學(xué)的重要組成因子，在學(xué)習(xí)過程中需要同學(xué)們具備一定的空間想象能力。立體幾何對于學(xué)習(xí)者的特殊要求，使得我們在學(xué)習(xí)此板塊的知識(shí)時(shí)感覺比較困難。為了更好的學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)，掌握此模塊知識(shí)要點(diǎn)，需要在學(xué)習(xí)過程中巧妙應(yīng)用輔助線添加技巧，并將函數(shù)方程思想用于立體幾何題目的解題過程中，以簡化立體幾何題目的解題過程。

1 添加輔助線

在解決立體幾何題目時(shí)，添加輔助線是一種常規(guī)化技巧，所有的學(xué)生都必須要掌握。在立體幾何圖形中，通過添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，利用輔助線對圖形進(jìn)行特殊處理，便能夠簡化立體幾何的解題過程，快速得出題目答案。尤其是在解答二面角的相關(guān)題目時(shí)，為了有效提高自己的立體幾何解題技巧，需要根據(jù)所學(xué)知識(shí)合理在圖形中添加輔助線，以此來幫助自己更好的認(rèn)識(shí)立體圖形。

例題1 在如圖1所示的二面角中，ABCD是矩形，其中A、B屬于α，C、D屬于l，p屬于β，現(xiàn)有PA與α垂直且PA=AD，AB的中點(diǎn)是M，PC的中點(diǎn)是N，試證明MN是異面直線AB與PC的公垂線。

圖1

解析：在此道題目中，要想對題目進(jìn)行直接證明，其難度較大，結(jié)合題設(shè)條件PC的中點(diǎn)是N可知在立體幾何題目解答中，中點(diǎn)與中點(diǎn)之間是可以相互連接的，進(jìn)而形成中位線。所以在圖1中，我們可以通過添加輔助線的方式，將AB的中點(diǎn)與PC的中點(diǎn)連接起來，也即將M、N連接起來，進(jìn)而形成中位線。并且，找到PD的中點(diǎn)，假設(shè)為Q，使得PQ與DQ相等，然后將QN與QA連接起來，這樣，便能夠?yàn)閱栴}的證明提供思路，幫助我們解答此道題目。具體證明過程如下。

證明：在PD上做一點(diǎn)Q,讓PQ=DQ并連接QN與QA

又因?yàn)锳BC是矩形，AB的中點(diǎn)是M

所以AM//DC，并且AM=DC，

所以，QN//AM,并且QN=AM,

所以，AMNQ也是平行四邊形，

所以AQ//MN

又因?yàn)镻A與α垂直，

所以AB⊥AD，

因?yàn)镻A與PD屬于同一個(gè)平面PAD，

所以AB與平面PAD是相互垂直的

所以，CD垂直與平面PAD，

然后，根據(jù)線面垂直定理可得：

AQ垂直PC，

所以MN垂直PC，

所以，MN是異面直線AB與PC的公垂線。

在解決此道題目時(shí)，輔助線的添加至關(guān)重要，如果不知道如何添加輔助線，那么此道證明題便會(huì)無從下手。通過這道題目的分析解答，也可以指知道在立體幾何題目解答過程中適當(dāng)添加輔助線的重要性。但是需要注意，輔助線并不能夠隨意添加，而是要根據(jù)基本公理和立體幾何的相關(guān)性質(zhì)恰當(dāng)?shù)奶砑印Ｖ挥羞@樣，才能夠達(dá)到預(yù)期目的，幫助我們更好的解答立體幾何題目，從而提高我們的立體幾何解題技巧。由于Q是PD的中點(diǎn)，PC的中點(diǎn)是N所以在三角形PDC中QN是其中位線，

2 靈活應(yīng)用函數(shù)方程思想

函數(shù)方程思想是一種基本的數(shù)學(xué)思想，貫穿于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的始終。函數(shù)方程思想主要是利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來解答題目，比如函數(shù)的對稱性、奇偶性、單調(diào)性以及周期性等。在立體幾何題目解答過程中應(yīng)用函數(shù)方程思想時(shí)，只需要將題設(shè)中的已知條件以及所研究的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，并建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，或者是構(gòu)建中間函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)圖像、性質(zhì)，對相關(guān)關(guān)系式進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化，進(jìn)而對不等式或者是方程進(jìn)行計(jì)算求值，最終解決題設(shè)問題。在立體幾何題目解答過程中巧妙應(yīng)用函數(shù)方程思想的過程將通過例題2詳細(xì)展示。

例題2 有一個(gè)圓錐，其底面半徑是2，高是6，在圓錐內(nèi)部內(nèi)接一個(gè)圓柱，試求當(dāng)圓柱的高是多少時(shí)其全面積最大，并求其最大值。

解析：通過分析題設(shè)條件可知，本題的主要目的是為了求取圓柱全面積的最大值，這是一道典型的立體幾何題目。在解答此道題目時(shí)，不能夠完全借助立體幾何知識(shí)，也不能夠?qū)⑵淙繑?shù)字化轉(zhuǎn)化為函數(shù)知識(shí)，而要根據(jù)題設(shè)中所給出的立體幾何體的特征先畫出圓錐的軸截面，然后利用自己所學(xué)的立體幾何知識(shí)和積累的空間想象能力將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。在分析時(shí)要利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)構(gòu)建圓柱底面半徑與其高的關(guān)系式，并構(gòu)建全面積公式的二次函數(shù)模型，最后解答此道題目。具體的解答過程如下。

解：先根據(jù)題設(shè)條件作出如圖中所示的圓錐的軸截面，并設(shè)內(nèi)接圓柱的半徑是r，且0＜r＜2,高為x。

圖2

所 以S 內(nèi) 接 圓 柱 全 面 積=2π．r2+2π．r．x=2π

通過化簡可得：

3 結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)中的立體幾何難度較大，其需要我們擁有較好的空間想象能力，在解題過程中，需要講究方式方法，合理應(yīng)用輔助線添加、函數(shù)方程思想等解題技巧。并且，在題目的解答過程中，還需要探索積累其他的有效解題技巧。

[1]左芳萌.探討高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧[J].新課程(中學(xué)),2017,(01):94.

[2]張雨桐.芻議高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧[J].科技風(fēng),2017,(04):30.