浸潤數學文化，培育數學素養*
——“數系的擴充和復數的概念”教學實踐與思考

江蘇省常熟市滸浦高級中學 (215512)

殷偉康

浸潤數學文化，培育數學素養*
——“數系的擴充和復數的概念”教學實踐與思考

江蘇省常熟市滸浦高級中學 (215512)

殷偉康

“數系的擴充和復數的概念”是高中教材中經典內容之一，富有濃厚的數學思想和數學文化，復數概念的發展具有豐厚的歷史背景.由于不少教師對“問題情境的創設、數學活動的設計”認識不到位，導致復數概念教學的弱化，即復數概念的本質屬性突出不夠，缺乏思想方法引領，學生對虛數單位i的引入難以理解.因此，筆者從數學文化的視角出發，結合學情，運用數學史的有效融入方式，對教材進行“二次開發”，嘗試“重構式”教學方法進行教學，呈現知識的自然發生發展過程，促進學生理解數系擴充的必要性、原則和復數概念的本質屬性，提升學生數學核心素養.

一、創設情境，再現歷史

問題1 1545年意大利數學家卡爾丹(G.Cardano，1501～1576)在《重要的藝術》一書中提出了一個問題：“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40，求這兩數.”你能幫卡爾丹解決這個問題嗎？

生：設所求的這兩數分別為x,10-x，根據條件可得x(10-x)=40，整理得x2-10x+40=0，其判別式Δ=102-4×40=-60<0，所以方程沒有實根.

設計意圖：以卡爾丹經典問題為情境引入，激發學生學習的興趣.同時，引領學生重溫歷史，感悟數學發現并不神秘，數學家也是從常規問題入手.充分暴露數學家的思維過程，一方面讓學生體驗數學家的科研精神，另一方面讓學生處于“憤悱”狀態：負數能否開平方？打破原有認知平衡，形成強烈的、合乎自然的認知沖突，引發學生思考，激發學生探究新知的欲望，同時為學生更好地接受和理解虛數埋下伏筆.

二、追溯歷史，總結規律

(1)從社會生活的角度來看數的發展：

(2)從數學內部的角度來看數的發展：

設計意圖：學生已經學習過自然數、整數、分數、負數、有理數、無理數、實數等，在此基礎上，幫助學生重新建構數集的擴充過程，即自然數集→整數集→有理數集→實數集，這是學生的“最近發展區”，也是本節課知識的生長點.

問題5 什么原因導致數的概念逐步擴充的？即每一次數系擴充的主要原因是什么？每一次數系擴充的共同特征是什么？

(1)數集的每一次擴充，可以解決某些在原數集中不能解決的矛盾，這說明數集的擴充具有“進步性”.

(2)新的數集都是在原來數集的基礎上“添加”了一種新的數得來的，這說明數集的擴充具有“引新性”.

(3)數集擴充后，沒有影響到原有的運算性質，這說明數集的擴充具有“可算性”.

擴充特征：①引入新的數；②原數集中的運算規則在新數集中得到保留和擴展，都滿足交換律和結合律，乘法對加法滿足分配律；③新數集解決了原數集一些不能解決的問題.

設計意圖：通過回憶、思考每次數集擴充的必要性，解決了哪些問題，即數集為什么要擴充？每一次數系的擴充，必然伴隨著運算功能的完善.通過回顧數系擴充的歷程，引導學生發現數系擴充的規律，進而找到數學“發明”的靈感，有利于培養學生的歸納、概括與表達能力.

三、類比運算，構建新知

師：這樣所有負數的二次根式的問題都解決了.因此問題轉化為找一個數的平方為-1？

設計意圖：引領學生再探卡爾丹問題，將問題轉化為找一個數的平方為-1，給予學生充分思考的時空，從而讓“引入新數”水到渠成.

問題7 如果想要方程x2=-1有解，你打算怎么辦？

生：引進新數與新的數學符號.

師：大數學家歐拉就是這么想的，他把這個數記為i,使得i2=-1.“i”來源于英文單詞“imaginary”的第一個字母，是“假想的、虛構的”意思，在數學里，我們稱之為虛數單位.

設計意圖：介紹與虛數單位i有關歷史，強化對i的認識，并讓學生感受到科學上每一步的邁進是多么艱辛！

問題8 根據數系擴充的規律，“i”既然是數就可進行運算，你能把“i”與實數進行四則運算嗎？

問題9 意大利數學家邦貝利在他的著作《代數學》中給出了虛數單位與實數的四則運算.那么，這些數能否有一個統一的形式？即你能寫出一個形式，把剛才所寫出來的數都包含在內嗎？

設計意圖：實數可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法，乘法運算律仍然成立.引導學生類比實數的運算法則，由特殊到一般，抽象概括出復數的代數形式，從而完成從實數集到復數集的擴充，同時培養學生的抽象概括能力.

問題10 我們把形如a+bi(a∈R,b∈R)的數叫復數，通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)，其中a叫做z的實部，b叫做z的虛部.如何闡述復數a+bi(a,b∈R)的幾何直觀解釋？

1806年瑞士數學家阿爾岡將復數a+bi(a,b∈R)表示為平面上的向量，這就提供了表示向量及其運算的一個代數形式，能夠通過復數代數地研究向量.1831年高斯公開描述復數的幾何意義，他將復數a+bi(a,b∈R)解釋為復平面上一個點(a,b)，而且闡述了復數的幾何加法與乘法法則.從此，復數開始表示向量，在水力學、地圖學、航空學中均有著廣泛應用.1843年英國數學家哈密頓創造了“四元數”，間接地推動了向量代數和向量分析的創立.這樣復數的直觀意義就建立起來了，使學生清楚地認識到“虛數不虛”.

問題11 形如a+bi(a,b∈R)的數一定是虛數嗎？它會是實數嗎？

當b=0時，a+bi(a,b∈R)表示實數；當b≠0時，a+bi(a,b∈R)表示的數我們稱為虛數，在虛數中，當a=0時，我們把bi(b∈R且b≠0)稱為純虛數.

圖1

問題12 復數集與實數集、虛數集、純虛數集之間有什么關系？

設計意圖：引導學生自然而然對復數進行分類，通過學生自主探究，找到復數分類標準，解決復數的分類問題，加深對復數概念的理解.并采用概念同化的方式完善學生的認知結構.

四、數學運用，深化概念

例2 實數m是什么值時，復數z=m+1+(m-1)i是：(1)實數?(2)虛數?(3)純虛數?

例3 已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i，求實數x，y的值.

設計意圖：鞏固復數的分類標準，促進學生對復數概念的理解.事實上，復數概念的抽象性特征決定了只有通過適當的練習，才能深刻理解復數概念和運算規律.通過例3，讓學生掌握處理復數問題的基本思想“復數問題實數化”，運用復數相等的定義，將一個復數方程轉化為兩個實數方程進行求解.

五、思想與文化并重，探究與素養并行

復數的產生和發展是數學家們辛勤耕耘的結果，是思想觀念的一種突破.在“數系的擴充”教學設計中，依據認知的歷史發生原理，數的發展過程與學生認知發展關系，結合數學史，對教材進行“再創造”，讓學生親身經歷探究復數概念產生、發展過程，體會到其中蘊含的數學思想，品味數學文化的內涵，培育理性精神，提升學生的數學素養.

1.滲透數學思想，感悟數學文化

2.凸顯數學文化，彰顯數學本質

數學知識是數學家思維活動的成果，數學家的思維方法和思維過程是數學文化中的寶貴財富.因此，教師要從數學文化的視角，發掘復數概念形成過程中數學家思維活動方式，利用數學家的思考方式和方法來突破復數概念這一教學難點.創設充滿濃郁數學文化的問題情境，以卡爾丹問題引入新課，讓學生產生強烈的認知沖突，經歷數學家曾經經歷的困惑，凸顯引入新數、擴充數系的必要性，從而誘發學生深入思考與探究.回顧數系的擴充過程，引導學生思考：每次擴充引入了什么數？解決了什么實際問題？它們有什么共同特點？提煉出數系擴充的“進步性、引新性和可算性”原則，為后面的探究活動作必要的鋪墊.引導學生根據前三次數系擴充的一般規律，運用類比方法，模仿數學家歐拉的想法，合理引進虛數單位i.揭示數系擴充的本質特征，逐步領悟數系擴充過程的研究方法，學會用數學的思維方式去思考問題、分析問題和解決問題.

3.促進深度思考，提升核心素養

數學核心素養可以理解為學生學習數學應當達成的有特定意義的綜合性數學能力，是數學的教與學過程應當特別關注的數學基本素養.數學核心素養的發展，自然體現在學生再創造復數過程中.復數概念的發現過程是典型的數學抽象過程.引導學生從歷次數系擴充過程中抽象出數系擴充過程的研究方法：引入一種新的數，就要定義相應的運算；定義一種運算，就是要研究它滿足怎樣的運算律.再引導學生抽象概括出數系擴充過程的基本原則：使算術的運算律保持不變.通過問題6-10的探討，引導學生深度思考，運用類比、歸納方法，合理地引入虛數單位i，并抽象出復數的代數形式，從而構建復數概念，培養學生數學抽象、邏輯推理等數學核心素養.

[1]倉萬林.課堂視角下的數學文化行動研究[J].上海中學數學,2014(9)：4-7.

[2]林京榕.滲透數學文化 發展核心素養——以“數系的擴充和復數的概念”教學為例[J].福建中學數學,2017(7)：19-21.

本文系江蘇省教育科學“十二五”重點資助課題：構建數學文化課堂的教學實踐研究(課題批準號B-a/2013/02/069)研究成果之一.