撥開云霧見青天
——探求分式函數(shù)“背后”的函數(shù)

廈門大學(xué)附屬實驗中學(xué) (363123)

林秋林

撥開云霧見青天
——探求分式函數(shù)“背后”的函數(shù)

廈門大學(xué)附屬實驗中學(xué) (363123)

林秋林

事實上，在高中學(xué)習(xí)中我們碰上的分式函數(shù)都是從一些基本的分式函數(shù)變形而來，并且我們可以追尋其變形的“足跡”，將其化歸到一些簡單的函數(shù)來求解.筆者把每一個分式函數(shù)可以化歸到的一個簡單函數(shù)稱為這個分式函數(shù)“背后”的函數(shù).于是如何找到每一個復(fù)雜的分式函數(shù)“背后”的函數(shù)則成為解決這類問題的關(guān)鍵，而它們“背后”的函數(shù)其中就包括了如下這兩類基本的分式函數(shù):

圖1 圖2

圖3 圖4

我們可以通過“湊配分離”或“換元分離”的方法，找出分式函數(shù)“背后”的函數(shù)，再利用它們來解決問題，就可起到事半功倍的作用，即所謂“撥開云霧見青天”.以下我們僅就常見的幾種復(fù)雜的分式函數(shù)進(jìn)行分類討論.

一、一次分式函數(shù)f(x)=(c≠0,ad≠bc)

圖5

(Ⅰ)若袋中共有10個球，(ⅰ)求白球的個數(shù)；(ⅱ)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ.

二、二次分式函數(shù)f(x)=(a2+d2≠0)

此類型形式多樣，主要可分為下面幾種情形：

圖6

例6 如圖6,設(shè)F1,F2是橢圓3x2+2y2=6的兩個焦點，AB是過焦點F1的一條動弦，試求ΔABF2面積的最大值，并確定取得最大值時弦AB的位置.

令t=2k2+3，則t∈[3,+∞).

三、復(fù)合型分式函數(shù)f(x)=(c≠0,ad≠bc)，其中g(shù)(x)為非多項式函數(shù)

嚴(yán)格來說，此類型的函數(shù)f(x)不是分式函數(shù)，但是我們可以參照解分式函數(shù)的思路，利用“湊配分離”的方法，同樣可以通過探求f(x)“背后”的函數(shù)來解決此類有關(guān)題型.

(1)判斷f(x)的奇偶性，并加以證明；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性，并加以證明；

(3)求f(x)的值域；

本文僅就如何探求分式函數(shù)“背后”的函數(shù)及其“背后”的函數(shù)的作用對一些問題做了具體的分析，筆者希望通過這些例題的“拋磚引玉”，能讓大家都來關(guān)注分式函數(shù)“背后”的函數(shù)的重要性，以期望提高學(xué)生們求解分式函數(shù)有關(guān)題型的能力.