例析解析幾何中最值問題的求解方法

廣東省深圳外國語學(xué)校 (518083)

劉小梅

例析解析幾何中最值問題的求解方法

廣東省深圳外國語學(xué)校 (518083)

劉小梅

解析幾何最值問題的求解是高考高頻考點(diǎn)，也是考試難點(diǎn).教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，解決該類問題通常有以下三種方法：即函數(shù)轉(zhuǎn)換法，均值不等式法及幾何法.下面列舉數(shù)例予以說明.

圖1

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(顯然用一次函數(shù)的單調(diào)性一步解決問題)

(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程

所以|PA||PQ|=-(k-1)(k+1)3.

接下來的處理有以下方法.

圖2

評(píng)析：從以上三種解法不難發(fā)現(xiàn)，如果能挖掘出題中圖形的一些幾何性質(zhì)，運(yùn)用幾何法是求解此類問題最簡捷的方法.

注：本題也可以通過橢圓的參數(shù)方程將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解.設(shè)點(diǎn)P(acosθ,bsinθ)，通過兩點(diǎn)間的距離公式化簡后得到|PF|=|a+ccosθ|，由于-1≤cosθ≤1，a>c，易求|PF|max=a+c,|PF|min=a-c.

圖3

解法二：(幾何法)如圖3，根據(jù)三角形的性質(zhì)易得ΔPF1F2中，|PF1|<|PF2|+|F1F2|，當(dāng)P,F1,F2三點(diǎn)共線時(shí)，|PF1|=|PF2|+|F1F2|或|PF1|=|PF2|-|F1F2|,所以|PF2|-|F1F2|≤|PF1|≤|PF2|+|F1F2|,令|PF1|=m,則|PF2|=2a-m，2a-m-2c≤m≤2a-m+2c，a-c≤m≤a+c,求得|PF|max=a+c,|PF|min=a-c.

注：本題還可以利用橢圓的第二定義及焦半徑公式求焦半徑的最值.在求離心率的取值范圍中經(jīng)常運(yùn)用焦半徑的取值范圍.

解：令|PF1|=m,|PF2|=n，∠F1PF2=θ，則m+n=2a,|F1F2|=2c,ΔPF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=m2+n2-2mncosθ，

評(píng)析：本題的求解結(jié)合了橢圓的定義、余弦定理、余弦函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式等多知識(shí)的交匯，說明并不是每一個(gè)解析幾何最值問題都只是用到以上介紹的三種方法.所以慢審題，快解題，選對(duì)方法就是上策.