拓展課堂范例功效 培養學生數學素養

金洪潮

[摘 要]初中數學課堂教學，不僅要求學生學會教師課堂上講授的知識，更要讓學生學會學習，為學生的終身學習奠定基礎。鑒于初中數學學科特征，課堂范例是學生掌握數學知識的母體，課前需要教師精心挑選，并在課堂教學中，充分發揮其功效.文章提出了拓展范例功效的方法.

[關鍵詞]數學教育；范例教學；數學素養

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2017）32000104

基本數學素養是現代社會每一個公民必須具備的基本素養之一.一個人長大后會忘記許多他之前所學習的數學知識，但是具備一定數學素養的人，會依據原先的“知識積累”解決新的問題.本文所說的培養學生的“數學素養”主要表現在觀念、能力、語言、思維、心理等方面，其中包含數學意識、解決問題、數學推理、信息交流、數學心理素質等幾個部分.下面結合教學實踐，從兩個方面談談學生數學素養的培養.

一、把握范例的“點”“線”“面”，培養學生的數學素養

學習數學的目的在于應用數學知識解決問題.課堂范例和習題是初中數學教學的兩大內容，而范例學習又是學生借助習題的練習達到掌握概念目的的有效形式.《義務教育數學課程標準》要求：“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展.”實踐證明，把握和選擇好范例的“點”“線”“面”，充分發揮范例在數學教學中的作用，是培養學生數學素養的重要途徑.

1.“點”——范例的選擇要利于突出“重點”、分散“難點”，培養學生解決問題的能力

為了使學生在短時期內有效掌握相關數學知識和數學方法，在數學教學中有效的操作方法就是突出重點、分散難點.這對學生今后的學習有重要的作用.

如七年級上冊《解一元一次方程 解應用題》，在教學中是一個難點.其中有關濃度問題的應用題，學生更是感到難以掌握，而教材上只出現一個范例.此時，教師可適當補充一些有關濃度問題的溶液、溶劑、溶質三者之間關系的范例，以分散難點.

（1）含鹽8%的鹽水20千克，其中含鹽 千克，含水 千克.

（2）含鹽5%的鹽水x千克，其中含鹽 千克，含水 千克.

（3）含鹽8%的鹽水（20+x）千克，其中含鹽的重量是鹽水重量的百分之幾？

這樣做，不僅可使學生順利銜接課堂上范例的學習，讓學生在學習數學新知識時，抓住重點、分散難點，還能讓學生掌握同類問題的分析解答方法，使學生在今后的生活中，能知道一件事情總是有其“重點”或“難點”的。這樣，當學生遇到類似事情時，就能夠抓住問題的重點，分散問題的難點，進而有效解決相關問題.

2.“線”——范例的選擇要體現知識的連貫性和系統性，促進學生養成“數學推理”的習慣

隨著信息社會和“人工智能時代”的到來，人類接受新知識的速度、方法，已經發生了很大的變化，若按照原先的、按部就班的模式開展教學，是不行的.實際教學中，教師應抓住范例的連貫性和系統性，培養學生應用數學推理方法解決問題的能力，這樣有利于提升學生的數學素養.

如七年級下冊《解二元一次方程組》兩節課，每節課有兩個范例，但是每節課的范例前都有引例，它們由簡到繁，注意新舊知識的聯系.從概念上看，是上一節方程、方程的解、解方程等知識的延續和拓展.從解法上看，將二元一次方程經消元轉化為一元一次方程的求解，具有較強的系統性.學生通過對這些范例的學習，不僅對相關知識有了完整的認識，而且為進一步認識新的知識打下了堅實的基礎.

學生對知識的系統性和連貫性的理解與掌握，需要教師不斷引導和培養.長此以往，學生就能依據平時掌握的基礎知識、基本技能，用數學的觀點和方法處理問題，進而有效提升學生建立數學模型解決實際問題的能力.

3.“面”——范例的選擇要多方滲透數學思想，強化學用數學方法闡釋問題的意識

初中數學教學中，范例的選擇要顧及“面”上的作用，要將初中數學課堂的范例教學與學生數學意識的培養有機地融合在一起，培養學生用數學方法、數學思想分析解決實際問題的能力.

（1）在每個知識點的呈現上，逐步培養學生的數學意識

在數學知識的呈現過程中，學生數學意識的養成，需要教師的智慧和勤敏.

例如，在八年級上冊《認識三角形》的教學中，要呈現“三角形兩邊之和大于第三邊”這個知識點，絕大多數教師直接告訴學生“因為兩點之間線段最短，所以三角形兩邊之和大于第三邊”.像這樣的直接教學，呈現知識點的方法沒有錯，但是缺少了對學生數學意識的培養.

實際教學中，知識點的呈現，可借助幾個學生關于走路快慢的聊天引出：“同學們，我聽小悅等同學說，我們班有位同學走路很快，他一步可走3米（即兩腳著地時的間距），你們認為有可能嗎？”

很顯然，對這個“一步跨3米”的問題，除了少數學生有疑惑外，多數學生都認為是不可能的事情，但就是不知道怎么解釋清楚.每位學生的心里均有迫切求解的欲望，趁此機會，教師不慌不忙地對全班學生說：“這就是我們今天要學習的內容.”

這樣的知識呈現，能有效激發學生的學習興趣，提升學生應用數學知識解決實際問題的意識.

（2）在每項數學技能的訓練上，強化學生的數學意識

著名數學家波利亞說過：“掌握數學意味著什么呢？這就意味著善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考、見解獨到和有發明創造的題.”這就告訴我們，數學解題技能的訓練對學生數學意識的培養至關重要.

解題是學生學習數學的重要手段，可以設想，如果學生能積極解題，則能有效強化學生的數學意識.

（3）在數學思維的培養上，有效提升學生的數學意識

數學課程標準指出：“要處理好教師講授和學生自主學習的關系，通過有效的措施，啟發學生思考，引導學生自主探索，鼓勵學生合作交流，使學生真正理解和掌握基本數學知識與技能及數學思想方法，讓學生經歷必要的數學思維訓練，獲得廣泛的數學活動經驗.”數學思維是學生數學意識養成的基礎.具備了良好的數學思維，就有可能使學生在面對現實生活時，能有效運用有關數學知識、數學思想方法進行分析解答.endprint

例如，教學七年級上冊《平行線》的“三線八角”時，可補充變式圖1，讓學生辨認每個圖形中的同位角、內錯角和同旁內角，促使學生對“三線八角”概念的本質特征有進一步的認識.

如果不通過這樣的變式訓練，學生的思維水平就很難達到新的高度，也就很難理解“三線八角”中有關同位角、內錯角、同旁內角的定義.進行有針對性的思維訓練，不僅對提升學生的形象思維能力有必要，而且可以使學生養成“抓住特征”進行分析的思維習慣.

二、充分利用范例的示范性，發揮范例的作用，提升學生的數學素養

課堂教學是數學教學的主要途徑和形式，而范例教學是課堂教學的“核心”.無論是揭示數學知識的特征和規律，還是培養學生的邏輯思維能力和靈活運用知識的能力，乃至形成規范解題的習慣，幾乎都是通過范例教學落實的.因此，有了好的范例，還需充分利用解題的示范性，發揮范例教學的作用，這是提高學生數學素養的重要問題.

在具體實踐中，筆者注意了以下幾個方面.

1.發揮范例的“規范”作用，在觀念上提升學生的數學素養

當前，人們對學生學科素養的培養已經在觀念上達成了許多共識.良好的行為習慣、品德素養在人的一生中起著極其重要的作用，而良好的素養往往是在人的各個關鍵年齡段形成的.對初中數學教學而言，數學解題過程中有一條很重要的標準，就是“規范性”，這對學生行為習慣的養成有重要作用.

例如，七年級上冊的幾何題的解題規范就很重要.對于題目“如圖2，已知AB∥CD，求證：∠A+∠C=∠APC.”

有許多學生在證明時這樣寫：作PE∥AB∥CD，則∠A=∠APE，∠C=∠CPE，所以∠A+∠C=∠APC.

這樣的書寫過程，顯然是不規范的.

如果教師不及時糾正，對學生以后的平面幾何證明的書寫會帶來很大的麻煩，還會對幾何定理、概念的運用引發混亂.因此，教師必須充分發揮范例的示范作用，要求學生規范書寫數學解題過程.

作PE∥AB，因為AB∥CD，所以PE∥CD，所以∠A=∠APE，∠C=∠CPE，所以∠A+∠C=∠APC.

因此，教師在范例教學過程中，一定要要求學生以范例為標準，嚴格按照范例練習，養成良好的學習習慣和學習態度.這樣做，不僅教給學生清晰的解題思路，也讓學生有“章”可循，有“法”可依，而且使他們能獨立、完整地完成作業.長此以往，學生就會在觀念上形成“規范”.

2.發揮范例的啟發作用，提高學生的數學綜合能力

數學是高新技術的基礎.它之所以重要是由于它具有解決各種問題的潛在能力.中學數學教學應該讓學生學習升學和就業都需要的數學.因此，在數學課堂上培養學生的數學素養是數學教學的根本任務.在數學課堂教學中，范例的處理要盡可能地引導學生聯想，通過設疑，引導學生存疑、質疑，啟發學生積極思維、探究問題，進而有效提升學生的數學能力.

例如，求證等腰三角形的兩個底角的平分線相等.

已知：如圖3，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB.求證：BD=CE.

引導分析：

①本題提出了什么問題？已知了什么條件？要我們證明什么？怎樣畫圖？

②要證明兩線段相等，我們常用哪些方法？

③線段DB、CE不在同一個三角形中，又不在同一直線上，如何證明相等？

④BD和CE可能在哪兩個三角形中？

⑤教師歸納兩種解法，讓學生比較這兩種證明的異同.

這一組提問，改變了“教師講、學生聽”的被動局面，把學生的思維活動貫穿于一系列問題之中，問題的提出是“啟”，問題的連貫提出，需要“發”散思維，使學生在不斷地探究解決問題的過程中，實現能力素養的提升.

3.發揮范例揭示規律的作用，在思維上培養學生的數學素養

數學學習離不開思維，善思，則學而活，學習效率就高.不思，則學得累，學習效果也差.可見，科學的思維方式能有效提升學生掌握知識的效率，也是形成良好數學素養的基礎.因此，在課堂范例教學中，教師要經常向學生滲透數學基本思維方法，要引導學生

從不同的角度

對各種數學知識、方法進行歸納和整理，找出它們之間的相互關系，形成知識網絡.要培養學生從具體中抽象出本質特征，概括出共同規律的能力，以提高學生思維的廣度和深度.

然后提出變式題（1）：若D為△ABC內任意一點，試問AB+AC>DB+DC成立嗎？（如圖5）

如何架設解題的橋梁？教師可通過范例，啟發學生思考.在本例中，只要延長CD交AB于E，根據上述范例結果，就有AB+AC>EB+EC，而觀察△EBC，D為EC上一點，可套用范例結果EB+EC>BD+DC，比較兩式可得AB+AC>DB+DC.

這時再出示變式題（2）：D為△ABC內任意一點，AB+BC+CA>DA+DB+DC嗎？（如圖6）

通過改變問題的題設、結論，啟發學生從不同角度設疑、探索，由靜到動，變換圖形，結合基本概念，找出利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，證明線段“和”“差”的規律.

教師在課堂上出示范例時，應注意范例的啟發性.在實際教學中，要注意通過“問題鏈”開展變式訓練，培養學生觀察、比較、化歸、推理、概括的能力.

4.發揮范例教學的變通作用，在方法上培養學生的數學素養

指導學生掌握正確的數學學習方法，有利于提高學生的學習效率和數學能力，為大面積提高教學質量和培養學生的數學素養服務.將范例“變通”是一種比較有效的學習方法.在范例教學中改變原題的條件、結論，形成“一題多解”“一題多變”“一題多聯”“多題一法”等聯想類比，有助于提高學生的思維能力.

三、制約初中生數學素養提升的非智力因素

學生的數學素養與非智力因素有很大的關系，若沒有非智力因素教育的成功，任何學習方法都無濟于事.激勵學生的動機，激發學生的學習興趣，端正學生的學習態度，培養師生情感，鍛煉學生的意志，造就學生良好的性格，這些都是學生掌握數學知識、奠定數學素養的基礎.因此，教師要在學生良好學習方法、學習習慣這些非智力因素的養成上花大力氣，這對提升學生的數學素養有很大的促進和推動作用.教師應當抓住這個時機，在對學生傳授知識的同時施加教育影響，開發學生非智力因素，以促進學生數學素養的提高.

[ 參 考 文 獻 ]

[1]張奠宙主編.數學素質教育設計[M].南京：江蘇教育出版社，1996.

[2]臧雷.談數學教育中學生數學素養的培養[J].中學數學，1995（5）.

[3]孔凡哲，孟祥靜.新課程理念下的創新教學設計[M].長春：東北師范大學出版社，2005.

[4]周立棟.學生數學意識養成教育[J].上海教育科研，2014（273）.

（責任編輯 易志毅）endprint