巧建數學函數模型解決實際問題

石爽

【摘 要】數學是學生從接受知識起便需要好好學習的一門重要課程，從簡單的九九乘法表一直到函數，幾何等等。隨著學歷的提高學生接受的知識也不斷加深加難，而函數是數學知識中至關重要的一個知識點，是學生必須認真學習并掌握的。為了解決函數問題，數學家研究出典型的函數數學模型供學生解決這些問題，本文筆者主要從函數的模型分析解決函數問題。

【關鍵詞】函數模型；解決問題

函數就是在某一個關系式中存在兩個變量x、y，如果對于x在某一規定范圍內的每一個值，y都有唯一確定的值與它相對應，那么就稱y是x的函數，這時x叫做自變量，y叫做因變量。通過學習函數的概念學生可以先了解函數的構造，也了解函數建立的因素，從此可以根據概念構造出實際的函數解決問題。從小學開始學生就接觸不同的函數類型，如：一次函數、二次函數、指數函數、冪函數等等。這些函數都有自己的函數模型，通過這些模型的建立，學生會清楚的建立數學關系，從而輕易地解決難題。

1 巧建函數模型

在學習函數時首先學生要學會建造合適的函數解決問題，筆者將舉例子來講述怎樣構造函數。

例一、某租賃公司有50臺收割機，其中甲型有30臺，乙型有20臺，現在公司將派往A，B兩地收割，其中派往A地20臺，B地30臺。兩地與該租賃公司商定的價格如下：

設公司派往A地x臺乙型收割機，求公司50臺收割機一天獲得的租金。

解：假設公司一天獲得的租金為y，這時要清楚x與y之間的關系，從題意可知y隨著x的變化而變化，因此x為自變量，y為因變量。這時就可以用一次函數模型來構造函數了，即：y=ax+b（a≠0）。因為公司派往A地x臺收割機，由題知公司共派往A地20臺，因此公司派往A地的甲型收割機為（20-x），因為公司有20臺乙型收割機，所以可知公司派往B地的乙型收割機為（20-x）；又因為公司派往B地共30臺收割機，所以B地的甲型收割機有（10+x）臺，這時根據圖中的具體價格可以建立函數關系式：

y=1800*（20-x）+1600x+1600*（10+x）+1200*（20-x）

化簡得：y=200x+76000

這時就建立出x與y的關系，可以看出它們是一次函數，解這道題一定要考慮兩個未知數的聯系，然后根據所學知識構建具體形式，以便輕松解題。

例二、求二次函數解析式。

（1）圖像經過A（-1，3），B（1，3），C（2，6）

解題前首先知道二次函數的模型：y=ax2+bx+c，然后可以將三點帶入函數，建立方程組：3=a-b+c，3=a+b+c，6=4a+2b+c.解得a=1，b=0，c=2，因此函數解析式為y=x2+2

（2）圖像經過A（-2，0），B（4，0），函數有最小值-8

根據題意可知函數關于x=1對稱，且存在最小值，這時建造關系式就需要另一個二次函數模型：y=（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a。對稱軸為x=-b/2a=1，函數存在最小值為（4ac-b2）/4a=-8，又因為函數過A，B兩點，因此可以建立方程組，從而解出函數解析式。

這兩道題運用不同的的模型解決問題，所以學生在解題前要考慮題意已確定用什么模型解題。以上是最簡單的函數模型應用，接下來將舉例難度更深一點的問題，去探究如何巧建函數模型。

2 運用一次函數模型：y=ax+b（a≠0）

例一、反比例函數y=2/x與一次函數y=kx+b（k≠0）交與點A（2，m），點B（n，-2），一次函數圖像與y軸交點為c。

（1）求一次函數的解析式。

解：由題可知反比例函數y=2/x與一次函數y=kx+b（k≠0）交與點A（2，m），點B（n，-2），因此首先把點A，點B帶入反比例函數，求得點A為（2，1），點B為（-1，-2）。這時把點A（2，1），點B（-1，-2）帶入一次函數建立方程組：1=2k+b和-1=-2k+b，兩者相加整理得2b=0，所以b=0，這時將b=0帶入1=2k+b求得k=1/2，因此一次函數y=kx+b解析式為y=1/2x。由該題知求一次函數時只需知道函數上兩點的坐標即可根據函數模型建立方程組解出函數解析式。

（2）求點C的坐標。

解：由題知一次函數與y軸交與點C，因此可知點C坐標為（0，f），將x=0帶入函數解析式y=1/2x，解得y=0，因此點C坐標為（0，0）。

這道題由題意知一次函數與y軸相交，因此可知點C在x軸上為0，因此直接帶入函數解析式就可求出點C坐標。

3 運用二次函數模型：y=ax2+bx+c例一、在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+√3與x軸交與（-3，0），（1，0），與y軸交與點C，點D與點C關于拋物線對稱軸對稱。

（1）求拋物線解析式，說出點D坐標。

解：由題知拋物線y=ax2+bx+√3與x軸交與（-3，0），（1，0），因此將兩點帶入拋物線建立方程組：0=9a-3b+√3和0=a+b+√3，化簡得0=12a+4√3，求出a=-（√3）/3，b=-（2√3）/3，因此拋物線解析式為y=-（√3）/3x2-（2√3）/3x+√3。解這道題和一次函數一樣，同樣需要建立方程組求解，如果這道題中有三個未知量，則需要三個坐標點來求解，這是求二次函數需要的因素。給出的模型首先要判斷是什么函數，然后根據它的模型帶入數值求解即可。

（2）解：由題知拋物線與y軸交與點C，根據所學知識可求出點C坐標為（0，√3），題目要求點D坐標，首先需要知道拋物線對稱軸，根據定義知拋物線關于x=-b/2a對稱，因此根據上式求出的拋物線解析式可知對稱軸為x=-1，因為點D與點C關于拋物線對稱軸對稱，因此由點C坐標可知點D坐標為（-2，√3）。在這道題中主要運用了二次函數的對稱軸公式，所以學生要牢記函數的相關定理和公式，已解決更難的問題。

4 結語

學會函數模型是解題的必要前提，學生只有熟悉這些知識才能靈活運用并輕松解題。生活中處處有數學，學生通過這些知識的掌握不僅增加知識，更重要的提升自己解決問題的能力，也學會了自覺思考并面對問題。

【參考文獻】

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