一種復雜可修系統(tǒng)的可用度計算方法

李軍亮，滕克難，夏菲

1.海軍航空工程學院 科研部，煙臺 264001 2.中國人民解放軍92635部隊，青島 266041 3.國網(wǎng)遼陽供電公司信息通信分公司，遼陽 111000

一種復雜可修系統(tǒng)的可用度計算方法

李軍亮1, 2,*，滕克難1，夏菲3

1.海軍航空工程學院 科研部，煙臺 264001 2.中國人民解放軍92635部隊，青島 266041 3.國網(wǎng)遼陽供電公司信息通信分公司，遼陽 111000

論文采用分-立的思想構(gòu)建了一種復雜可修系統(tǒng)的可用度計算方法，即采用先分解后綜合的方法來構(gòu)建系統(tǒng)的可用度模型。分解主要是指分析系統(tǒng)包含的子系統(tǒng)和部件之間的故障行為特性，包括部件故障時間分布函數(shù)、故障傳播路徑、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)等內(nèi)容，采用通用發(fā)生函數(shù)(UGF)建立了多部件系統(tǒng)的0-1狀態(tài)可靠性評估模型，并對系統(tǒng)的可靠度進行分析，在此基礎(chǔ)上將系統(tǒng)看作一個整體，通過更新過程理論建立故障時間和維修時間服從一般分布的系統(tǒng)可用度方程，給出并證明了系統(tǒng)可用度求解的一般方法。通過算例分析表明，論文設(shè)計方法嚴謹、科學，具有較強的可用性和通用性，在可靠性工程領(lǐng)域有很強的推廣價值。

可修系統(tǒng)；可靠性；可用性；通用發(fā)生函數(shù)；拉氏變換

軍用飛機是一種復雜的可修系統(tǒng)，計算其可用性時，既要準確分析飛機的可靠性，又要分析保障系統(tǒng)的維修性。目前常用的可用度建模方法有：隨機過程理論、計算機仿真、通用發(fā)生函數(shù)(Universal Generating Function，UGF)以及三者之間的綜合方法[1-22]。隨機過程理論主要通過建立系統(tǒng)的馬爾科夫方程、更新方程等方法來構(gòu)建精確的系統(tǒng)可用度模型[4-5]，但是難以用于結(jié)構(gòu)復雜的系統(tǒng)可用性評估；計算機仿真方法主要有蒙特卡洛仿真[6-7]、離散事件調(diào)度[8-9]等，該類方法主要通過計算機軟件對部件和系統(tǒng)故障行為的多次模擬來實現(xiàn)系統(tǒng)可用度評估，可以準確反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拓撲特性，但是沒有精確的數(shù)學模型，而且隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大算法運行時間增長；UGF是拉氏變換和母函數(shù)理論在可靠性領(lǐng)域的推廣，在計算多狀態(tài)復雜系統(tǒng)的可靠性和可用度方面有較好的應用[11-21]，該方法既可以準確反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拓撲特性，又可以在計算過程中通過對邏輯算子的同類項合并等操作提高運算效率，易于編程實現(xiàn)。傳統(tǒng)的UGF在可用度的度量中主要通過算子δ(u(z),w)來實現(xiàn)，u(z)為系統(tǒng)實際性能狀態(tài)，w為系統(tǒng)要求達到的性能閾值，比如“最小速度”或者“最小流量”等[11-14]，未考慮系統(tǒng)的維修特性；在計算系統(tǒng)可靠性時沒有考慮系統(tǒng)的故障傳播特性。文獻[20]研究了部件維修策略對系統(tǒng)可用度的影響；文獻[21]研究了工作共享組內(nèi)部存在故障傳播和覆蓋時，不同結(jié)構(gòu)形式對系統(tǒng)可靠性的影響。論文基于分立思想，采用UGF構(gòu)建考慮故障傳播特性的系統(tǒng)可靠性模型，確定系統(tǒng)故障時間分布函數(shù)及特征參數(shù)，然后確定系統(tǒng)的維修時間分布函數(shù)及特征參數(shù)，采用更新過程理論建立系統(tǒng)可用度方程，并且通過拉氏變換和逆變換對系統(tǒng)的可用度求解，進而準確分析系統(tǒng)的可用度。

1 基本假設(shè)和研究思路

1.1 基本假設(shè)

軍用飛機是一種復雜的可修系統(tǒng)，其自身由多個子系統(tǒng)和部件組成，子系統(tǒng)和部件的失效存在相互影響。在計算其可靠性時，需要考慮部件、子系統(tǒng)、系統(tǒng)三者內(nèi)部和之間的故障行為。

在研究過程中進行以下假設(shè)：① 發(fā)現(xiàn)故障則立即修理，不存在維修延時；② 系統(tǒng)或者部件維修時，采用完全維修策略，即修復如新[23]。

1.2 研究思路

基于以上假設(shè)，論文采用分-立的思想構(gòu)建復雜可修系統(tǒng)的可用度計算方法，即采用先分解后綜合的方法來構(gòu)建系統(tǒng)的可用度模型。第2節(jié)采用UGF構(gòu)建系統(tǒng)的可靠性評估模型，第3節(jié)采用更新過程理論構(gòu)建系統(tǒng)的可用度模型，第4節(jié)完整地描述系統(tǒng)可用度計算的通用方法步驟，第5節(jié)通過案例分析來驗證設(shè)計方法的有效性和正確性。

2 系統(tǒng)可靠性評估模型

2.1 UGF理論簡介

UGF是現(xiàn)代離散數(shù)學領(lǐng)域的重要方法，它能以某種統(tǒng)一的程序方式處理求數(shù)列的表達式、求遞推關(guān)系、求數(shù)列均值和方差等問題。Gregory和Anatoly等在可靠性理論應用和發(fā)展了該方法，使之成為多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析和建模的新工具[11-15]。

記單部件的離散狀態(tài)變量為x，具有K種可能的狀態(tài)，不同的狀態(tài)記為xk,對應的概率記為qk,則部件的u函數(shù)[12]為

(1)

對于多部件系統(tǒng)，第j個部件的u函數(shù)可表示為

(2)

式中:xjk為部件的性能狀態(tài);qjk為對應的概率。

部件之間的u函數(shù)可通過結(jié)構(gòu)算子計算，不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)算子定義如式(3)和式(4)[12]，兩部件并聯(lián)系統(tǒng)為

(3)

兩部件串聯(lián)系統(tǒng)為

(4)

系統(tǒng)的u函數(shù)，通過部件和子系統(tǒng)的u函數(shù)的復合運算得到，但傳統(tǒng)的基于UGF的系統(tǒng)可靠性建模方法并未考慮系統(tǒng)的故障傳播特性，基于此本文考慮存在故障傳播的結(jié)構(gòu)算子的設(shè)計。

2.2 部件之間存在故障傳播時的u算子

(5)

式中：Mmax為部件i最大狀態(tài)數(shù)量。

(6)

當Gj=gjc時部件的概率為

(7)

(8)

(9)

那么部件i和部件j的u函數(shù)可表示為

(10)

(11)

2.3 部件對部件組存在故障傳播時的u算子定義

(12)

(13)

式中：

pnc1pjh1,pnc2pjh2,…,pncMpjhM。

2.4 系統(tǒng)可靠性評估

系統(tǒng)的u(z)可以通過子系統(tǒng)和部件的復合運算得到，并且利用u(z)函數(shù)的特性，對u(z)在z=1處求一階偏導和二階偏導，可求得系統(tǒng)的可靠性u函數(shù)G(t)的數(shù)學期望和方差[18-19]分別為

(14)

σ2(G(t))=u″+u′-(u′)2

(15)

即可得到系統(tǒng)的平均可靠度和方差。

3 基于更新過程的系統(tǒng)可用度模型

假設(shè)系統(tǒng)故障時間X服從一般概率分布F(t)，修理時間Y服從一般概率分布M(t)，系統(tǒng)在修復后，其工作壽命服從分布如新部件一樣，并且X和Y相互獨立，令Zα=Xα+Yα為第α個周期內(nèi)的裝備壽命和更新時間(α=1,2,…)，則Zα,α=1,2,…是一個服從獨立同分布的隨機變量序列，可構(gòu)成一個更新過程，根據(jù)文獻[24]可得系統(tǒng)的可用度方程為

A(t)=1-F(t)+Q(t)×A(t)

(16)

式中：Q(t)=P(X+Y≤t)，對式(16)進行Laplace變換可得

(17)

對于式(16)，只需確定系統(tǒng)的故障時間分布函數(shù)F(t)和修理時間分布函數(shù)M(t)，從而求得F(s)和M(s)，再對式(17)進行反Laplace變換即可得到系統(tǒng)的瞬時可用度方程A(t)為

A(t)=Lz-1A(s)

(18)

為了說明系統(tǒng)可用度函數(shù)A(t)存在，需證明2個問題，即A(t)的Laplace變換和逆變換的存在。

3.1 A(t)的Laplace變換存在

證明：假設(shè)裝備的周期為T，Tα為第α個檢查周期，則滿足:

(19)

且假設(shè)在同一周期內(nèi)至多有一次修理過程。則在周期Tα內(nèi)，系統(tǒng)的可用度函數(shù)可分為以下4種情況討論：

1) 當Xα≥Tα時

A(t)=R(t)Tα-1≤t≤Tα+1

(20)

2) 當Yα≥Tα時

A(t)=M(t)Tα-1≤t≤Tα+1

(21)

3) 當Xα+Yα≤Tα時

(22)

4) 當Xα+Yα>Tα時

(23)

式中：R(t)為可靠性函數(shù)。

由于F(t)和修理時間分布函數(shù)M(t)均為連續(xù)函數(shù)1)，則在以上4種情況下，則A(t)滿足在周期Tα內(nèi)分段連續(xù)，另外Tα滿足式(21)時可任意劃分，所以A(t)滿足在t≥0的任一區(qū)間上分段連續(xù)。

由可用度定義可知A(t)≤1，當t→+∞時，存在正常數(shù)M>1，使得A(t)≤M，存在c≥0，使得A(t)≤M≤Mec t,0≤t≤+∞。

根據(jù)以上分析可知，滿足Laplace變換存在附錄中定理②，所以A(s)存在。

3.2 A(t)的逆Laplace變換存在

根據(jù)3.1節(jié)的證明，顯而易見A(t)滿足Dirichlet條件。

證明：

因為

符合Laplace逆變化存在附錄中定理③，故A(t)的逆Laplace也存在。

4 復雜可修系統(tǒng)可用度計算方法

根據(jù)第2節(jié)和第3節(jié)的分析，設(shè)計復雜系統(tǒng)可用度的計算方法如圖1所示，圖中，λi為部件故障率，λs為系統(tǒng)故障率，其基本步驟設(shè)計如下：

步驟1根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)繪制其可靠性框圖。

步驟2分析部件、子系統(tǒng)和系統(tǒng)故障行為，分析部件失效對其他部件、子系統(tǒng)和系統(tǒng)的影響。

步驟3構(gòu)建每個部件的uj(z)函數(shù)。

步驟4根據(jù)步驟2和3構(gòu)建系統(tǒng)的us(z)函數(shù)。

步驟5求解系統(tǒng)的可靠度，計算系統(tǒng)的平均可靠度。

步驟6基于更新過程理論構(gòu)建系統(tǒng)的可用度方程A(t)。

步驟7確定系統(tǒng)的故障時間和維修時間分布函數(shù)，采用拉氏變換和逆變換求解系統(tǒng)可用度函數(shù)A(t)。

步驟8分析計算結(jié)果，分析系統(tǒng)的可用度。

圖1 本文方法的基本流程
Fig.1 Flow chart for proposed method

5 算例分析

假設(shè)某型飛機的某子系統(tǒng)由5個子部件組成，2個泵設(shè)備(部件1、2)以及3個反應器(部件3、4、5)，部件1、2并聯(lián)，并與部件3、4、5組成的并聯(lián)子系統(tǒng)串聯(lián)，系統(tǒng)可靠性框圖如圖2所示。第1個泵設(shè)備(部件1)失效會引起部件3失效，第2個泵設(shè)備(部件2)失效引起部件3、4失效。因此，部件1、2存在選擇性失效傳播。

圖2中，虛線箭頭的指向為系統(tǒng)部件之間的失效傳播關(guān)系。各個部件的失效概率，根據(jù)部件在使用過程中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得出，具體如表1所示。

根據(jù)表1計算部件和系統(tǒng)的u函數(shù)，假設(shè)部件的狀態(tài)向量為xk，表達式為

(24)

則部件的為

(0.12+0.08)z0+(1-0.12-0.08)z1=

0.2z0+0.8z1

同理，可得

u2(z)=0.2z0+0.8z1

圖2 系統(tǒng)可靠性框圖
Fig.2 Block diagram of system reliability

Com?ponentIndependentfailureprob?abilityProbabilityoffailureforcommoncausefailureConditionalprobabilityoffailureforuncommoncauseSelectivefailureprop?agationset10．120．080．87320．120．080．873、430．200．840．200．850．100．96001

(p30+p3010×p10+p3020×p20)z0+

[1-(p30+p3010×p10+p3020×p20)]z1=

(0.2+(0.12+0.08+0.12+0.08)×0.2)z0+

{1-[0.2+(0.12+0.08+0.12+0.08)×

0.2]}z1=0.28z0+0.72z1

(p40+p4020×p20)z0+

[1-(p40+p4020×p20)]z1=

[0.2+(0.12+0.08)×0.2]z0+

{1-[0.2+(0.12+0.08)×0.2]}z1=

0.24z0+0.76z1

u5(z)=0.1z0+0.9z1

系統(tǒng)u函數(shù)的求解：

0.04z0+0.32z1+0.64z2

0.067 2z0+0.385 6z1+0.547 2z2

0.060 48z0+0.099 04z1+0.402 12z2+

0.494 28z3

0.100 2z0+0.381 3z1+0.573 6z2

根據(jù)據(jù)u函數(shù)的特性，利用式(14)可得

計算結(jié)果表明系統(tǒng)的平均可靠度大于1，是由于系統(tǒng)的總體結(jié)構(gòu)為雙余度結(jié)構(gòu)。在此添加虛擬部件6，其故障行為參數(shù)如表1第7行所示，其u函數(shù)為

u10=0×z0+1×z1

則系統(tǒng)的u函數(shù)為

[(0.100 2+0.381 3+0.573 6)×0+

0.100 2×1]z0+(0.381 3+0.573 6)×1z1根據(jù)u函數(shù)的特性

將本文計算結(jié)果和文獻[10]中的2種方法對比，其結(jié)果如表2所示。

本文設(shè)計算法計算結(jié)果介于方法1和2之間，和方法1的差值為0.008，和方法2的差值為0.005 9，平均誤差為0.006 95，小于0.7%，說明論文建立的可靠性評估模型的正確性。

論文假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)為0-1狀態(tài)，其狀態(tài)變量為離散變量，與狀態(tài)變量對應的概率分布也是離散型的；為了構(gòu)建系統(tǒng)可用度方程，在評估系統(tǒng)可靠性特征參數(shù)的基礎(chǔ)上，假設(shè)系統(tǒng)故障時間函數(shù)為某種已知的連續(xù)性分布形式。

文獻[26-27]研究發(fā)現(xiàn)軍用飛機在分隊級保障過程中，子系統(tǒng)或者部件的故障時間和維修時間均服從指數(shù)分布。同樣，徐宗昌對不同類型的系統(tǒng)維修時間分布類型進行了總結(jié)[2]，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過短時間調(diào)整或者迅速換件的系統(tǒng)維修時間適用于指數(shù)分布。

在此，假設(shè)系統(tǒng)的故障時間服從指數(shù)分布，則系統(tǒng)的平均故障率為

λs=1-E(G(t))=0.045 1

(25)

故障時間分布函數(shù)F(t)=1-exp(-λt)，其可靠性如圖3所示。

同樣，假設(shè)系統(tǒng)維修時間函數(shù)服從指數(shù)分布，分布參數(shù)為μ時，其維修時間分布函數(shù)為M(t)=1-exp(-μt)。采用論文第4節(jié)設(shè)計方法可得系

表2 由3種不同方法計算的可靠性比較Table 2 Comparisons of reliability for three methods

圖3 系統(tǒng)的可靠度函數(shù)
Fig.3 Reliability function for system

統(tǒng)的可用度方程為

當維修時間分布參數(shù)變化時，系統(tǒng)的如圖4所示。

隨著μ的增加，系統(tǒng)的可用度提高，系統(tǒng)的初始時刻系統(tǒng)可用度最高，當系統(tǒng)在運行一段時間后，達到穩(wěn)態(tài)可用度。

圖4 維修率不同時的系統(tǒng)瞬時可用度
Fig.4System instantaneous availability with different value of μ

6 結(jié) 論

1) 基于UGF對0-1狀態(tài)的多部件和存在失效傳播的復雜系統(tǒng)可靠性進行了評估，并與兩種不同的方法相比，平均誤差小于0.7%，驗證了該方法的有效性，改進并拓展了u函數(shù)理論在可靠性領(lǐng)域的應用；研究過程中發(fā)現(xiàn)采用u函數(shù)理論計算系統(tǒng)可靠性問題時，可以充分考慮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拓撲性和故障傳播特性，評估系統(tǒng)的平均可靠度評估時，如果系統(tǒng)為多余度系統(tǒng)，則需要添加虛部件，對系統(tǒng)的u函數(shù)進行降冪處理。

2) 論文設(shè)計了一種求解復雜可修系統(tǒng)可用度的通用方法，并在理論上證明了該方法的正確性。

3) 在研究過程中仍然存在以下不足：一般可修系統(tǒng)處于運行、修理、等待的過程，論文未考慮有修理延遲的過程; 對待系統(tǒng)故障時間和修理時間的函數(shù)構(gòu)造方法需進一步加強分析，而不僅限于常見的幾種分布形式。

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Anavailabilitycalculationmethodforcomplexrepairablesystems

LIJunliang1, 2,*,TENGKe’nan1,XIAFei3

1.NavalAeronauticalandAstronauticalUniversity,Yantai264001,China2.92635PLAForce,Qingdao266041,China3.StateGridLiaoyangElectricPowerSupplyCompany,Liaoyang111000,China

Inthispaper,anavailabilitycalculationmodelispresentedforthecomplexrepairablesystem.Themethodoffirstdecompositionbeforeintegrationisadoptedtobuildthemodelforthesystemavailability.Decompositionmainlyreferstoanalysisofthefailurebehaviorsbetweensubsystemsandcomponentsofthesystem,includingdistributionfunctionforpartsfaulttime,faultpropagationpath,systemstructure.TheUniversalGeneratingFunction(UGF)methodisusedtodevelopareliabilityassessmentmodelforthe0-1binarystatemulti-componentssystem,andthereliabilityofthesystemisanalyzed.Thegeneralsystemisthenviewedasawhole,andthesystemavailabilitymodelisbuiltbasedontherenewalprocesstheorywhenthesystemfaultandrepairtimeobeysgeneraldistribution,andageneralmethodispresentedtosolvesystemavailabilitymodel.Acasestudyispresentedtoillustratethatthedesignmethodisrigorousandscientific,andhasstrongusabilityandversatilityandthusverystrongapplicabilityinthefieldofreliabilityengineering.

repairablesystem;reliability;availability;universalgeneratingfunction;Laplacetransform

2017-02-07；

2017-03-09；

2017-04-17；Publishedonline2017-05-031644

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171214.html

NationalDefencePre-researchFoundation(9140A27020212JB14311)

.E-mailNavy_air523@126.com

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.221169

2017-02-07；退修日期2017-03-09；錄用日期2017-04-17；網(wǎng)絡(luò)出版時間2017-05-031644

http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171214.html

國防預研基金(9140A27020212JB14311)

.E-mailNavy_air523@126.com

李軍亮，滕克難，夏菲.一種復雜可修系統(tǒng)的可用度計算方法J. 航空學報，2017,38(12)：221169.LIJL,TENGKN,XIAF.AnavailabilitycalculationmethodforcomplexrepairablesystemsJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(12):221169.

V37;TP391.9

A

1000-6893(2017)12-221169-09

張晗)

附錄

① 假設(shè)F(t)和G(t)修理時間分布函數(shù)服從某種已知的分布形式，如指數(shù)分布、正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布。

② 拉氏變換存在定理

當f(t)滿足以下2個條件：

1.在t≥0的任一區(qū)間上分段連續(xù)。

2.當t→+∞時，f(t)的增長不超過某一指數(shù)函數(shù)，亦即存在常數(shù)M>0及c≥0，使得

f(t)≤Mect,0≤t≤+∞,則f(t)的拉氏變換存在。

③ Laplace逆變換存在定理

拉氏逆變換的存在，滿足Fourier積分定理(-∞,+∞)上滿足：

1.f(t)在任一區(qū)間滿足Dirichlet條件。

則存在Laplace逆變換。