多速率STFT超寬帶信號瞬時頻率估計研究

楊 寧，占日新,，葛紅娟

(1.中國直升機設計研究所，江西 景德鎮 333001； 2.南京航空航天大學 自動化學院，南京 210016)

多速率STFT超寬帶信號瞬時頻率估計研究

楊 寧1，占日新1,2，葛紅娟2

(1.中國直升機設計研究所，江西 景德鎮 333001； 2.南京航空航天大學 自動化學院，南京 210016)

提出多速率短時傅里葉變換(Multi Rate Short Time Fourier Transform，MR-STFT)瞬時頻率估計算法，提高了超寬帶信號瞬時頻率估計精度;該方法將多速率信號處理算法與短時傅里葉變換(STFT)技術相結合，兼顧采樣頻率和被測頻率，將寬頻范圍進行分段采樣，對分段處理結果進行擬合，構成多速率STFT算法，實現超寬帶信號瞬時頻率的高精度測量;通過對仿真信號和實測信號進行處理，研究了方法的可行性和頻率估計精度，結果表明MR-STFT算法較大提高了超寬帶信號瞬時頻率估計精度，尤其對低信噪比的超寬帶信號效果顯著。

超寬帶信號；多速率；短時傅立葉變換；瞬時頻率估計

0 引言

隨著無線通信技術的發展，人們對高速短距離無線通信的要求越來越高。超寬帶(UWB)技術的出現，實現了短距離內超帶寬、高速的數據傳輸。其調制方式和多址技術的特點使得它具有其他無線通信技術所無法具有的很寬的帶寬、高速的數據傳輸、功耗低、安全性能高等特點。超寬帶信號的軍用和民用價值越來越得到世界各國的廣泛關注[1]。對于超寬帶信號瞬時頻率的估計就顯得尤其重要[2]。美國聯邦通信委員會(FCC)自1998年廣泛征求社會各界意見和建議，并最終于2002年最新規定只要一個信號的相對帶寬大于20%或絕對帶寬大于500 MHz，則這個信號就是超寬帶信號，定義為:

或fH-fL≥500 MHz

其中:fH和fL分別為信號的最高頻率和最低頻率[3-4]。

超寬帶信號的頻率變化范圍很大，高、低頻段瞬時頻率的估計對頻率分辨率的要求不同，所以采用固定窗寬的傳統STFT在估計其瞬時頻率時低頻段估計精度較低[5-6]。文中提出的多速率STFT瞬時頻率估計恰恰能滿足超寬帶信號不同頻段對頻率分辨率的不同要求，此算法不僅可以大幅度提高超寬帶信號瞬時頻率估計時在低頻段的估計精度，而且抗噪聲性能良好。

1 算法原理

1.1 多速率數字信號處理

信號處理的各種方法中，采樣率通常都是固定不變的，即信號的采樣序列是通過同一采樣頻率采集，但在實際中，經常會遇到頻率轉換的問題，要求系統工作在不同的采樣率狀態下。比如，所要處理的信號瞬時頻率變大時，則應當增加采樣率來滿足采樣定律，這樣才能完整地記錄信號的變化細節；當要處理的信號瞬時頻率變小時，采樣率也應相應變小，減小采集過多的數據以免造成數據冗余，從而提高系統的處理效率。近年來，以采樣率變換為基礎的多速率數字信號處理越來越受到人們的關注。

抽取和插值是多速率數字信號處理中最基本的操作。當信號的采樣序列過大，減小冗余數據量的過程稱為抽取；當信號的采樣序列過少，增加數據量的過程稱為插值。抽取相當于降低了采樣率，而插值相當于增加了采樣率[7]。

1.1.1 抽取

信號的M倍抽取就是把原始采樣信號序列每隔M-1個點取一個點，形成新的采樣序列的過程。M為大于1的整數，稱為抽取因子。這樣就使信號的采樣率減小為原采樣率的1/M。

設輸入信號為x(n),輸出信號為y(n)，則可以得到其時域關系為：

y(n)=x(Mn)

(1)

(2)

式(2)表明抽取后序列y(n)的頻譜為原序列x(n)的頻譜經頻移和M倍展寬后的M個頻譜的疊加之和。實際應用中，要在抽取前加一個低通濾波器對X(ejω)進行濾波得到V(ejω)，再進行M倍的抽取，這樣能避免抽取產生的頻譜混疊現象[8]。一個完整的M倍抽取器的結構如圖1所示。抽取提高了信號的頻域分辨率。

圖1 帶有抗混疊濾波器的M倍抽取結構圖

1.1.2 插值

信號的L倍插值是指在原始采樣序列的相鄰采樣點之間插入L-1個零值點，然后再進行低通濾波，即可求得L倍的插值結果。設原始信號的采樣序列為x(n)，則插值后的序列為y1(n)：

(3)

Y1(ejω)=X(ejωL)

(4)

上式表明插值后序列y1(n)的頻譜由原序列x(n)的頻譜經過L倍壓縮得到。要對插值后的y1(n)進行低通濾波得到y(n)，從而避免因插值引起的頻譜鏡像現象[8]。完整的L倍插值結構如圖2所示，插值可以提高信號的時間分辨率。

圖2 帶有低通濾波器的L倍插值框圖

1.1.3 非整數倍采樣率轉換

單獨采用抽取和插值實現信號的采樣率轉換都是整數倍的，如果希望對指定的信號采樣序列進行非整數倍的采樣率轉換，可以先對采樣序列進行整數倍抽取，再做整數倍插值實現，或先對采樣序列整數倍插值，再進行整數倍抽取實現。例如，若想對信號采樣序列進行L/M的采樣率轉換，如圖3所示，可先對信號進行L倍插值，再對信號進行M倍抽取。實際應用中，抽取和插值都會采樣低通濾波器，既插值又抽取時，兩個濾波器可縮減為一個，如圖3所示，濾波器H(Z)既能去除插值后的鏡像又能防止了抽取后的混疊，這種轉換模式經常被人們使用。

圖3 采樣率的非整數倍轉換框圖

1.2 短時傅立葉變換

STFT是研究非平穩信號最廣泛的使用方法之一，其概念可描述為：把信號劃分為很多小時間段，用傅立葉變換分析每個時間段，以確定在這個時間段內的頻率，這些頻譜的總體就表示了在整個時間上頻譜的變化。

給定一個時間寬度很短的窗函數γ(t)，讓窗口在時間軸上移動，則連續時間信號x(t)的短時STFT為[9]:

(5)

由式(5)可知，由于窗函數的存在，使得短時傅立葉變換具有局域特性。信號乘以一個窗函數等價于取出信號在分析時間附近的一個切片，所以短時傅立葉變換STFTx(t,f)可以理解為信號x(t)在時間點t附近的傅立葉變換，即“局部頻譜”[10]。

顯然，為了提高STFT的時間分辨率，表征信號的局部特征，需要選擇盡可能窄的窗函數，但是窗口越窄，頻譜就越寬，會降低局部頻譜的分頻率；所以，為了提高STFT的頻度分辨率，需要選擇盡可能寬的窗函數。但根據不確定性原理，時間分辨率和頻率分辨率不能同時提高，他們的乘積受到一定值的限制[11]。對于STFT來說，因為窗函數固定，整段信號的時間、頻率分辨率都是固定的，不能滿足以上分析的要求，這就引出了多速率STFT算法。

1.3 MR-STFT算法

采用STFT算法對信號進行瞬時頻率估計時，信號頻域波形的頻率分辨率對頻率估計精度有直接影響。超寬帶信號的帶寬廣，頻率變化大，根據奈奎斯特采樣定理的要求，信號的采樣率fs≥2fH，fH為信號的最大頻率，所以超寬帶信號的采樣率會相對較高。而因信號帶寬廣，信號在低頻段時，頻率相對較低，若仍采用較高的采樣率進行采樣，會造成信息的大量冗余，可采用較低的采樣率進行采樣，采樣率降低，時間分辨率會降低，根據不確定性原理，時間分辨率降低，頻率分辨率就會升高，從而提高信號在低頻段的瞬時頻率估計精度，所以為了提高信號的頻率分辨率，同時又為了滿足采樣定理的要求，超寬帶信號在低頻段時應采用較低的采樣率進行采樣，在高頻段時更適合較高采樣率。然而同一采樣系統對同一信號進行采樣時，不會出現高低頻段采樣率不同的情況。MR-STFT算法結合了多速率數字處理技術和STFT技術，對已采樣好的序列進行處理，低頻段進行抽取，高頻段進行插值，最大限度提高信號的頻率分辨率，從而提高超寬帶信號的瞬時頻率估計精度。

圖4 多速率采樣分段示意圖

以三段多速率STFT瞬時頻率估計為例對MR-STFT算法進行詳細描述，超寬帶信號三段多速率分段方案如圖4所示，瞬時頻率估計流程如圖5所示。先對信號進行瞬時頻率粗估，確定信號的分段方案為三段，根據信號的采樣率確定信號的抽取和插值倍數，對低頻段進行M倍抽取，高頻段進行L倍插值，中頻段采用原采樣序列。如圖5所示，低頻段信號因為瞬時頻率相對較低，采用較高的采樣率進行采樣會造成信息大量冗余，所以對低頻段采樣序列M倍抽取，對抽取后的信號序列進行STFT瞬時頻率估計。高頻段信號因瞬時頻率相對較高，更適合較高的采樣率，所以對高頻段的采樣序列進行L倍插值，這樣才能更完整地展現高頻段瞬時頻率變化細節，對插值后的序列進行STFT瞬時頻率估計。中頻段采樣序列直接進行STFT頻率估計。對解算的三段瞬時頻率進行多項式擬合，從而得出整段的瞬時頻率。

圖5 三段多速率瞬時頻率估計方框圖

算法應用時，可先對信號進行瞬時頻率粗估，對粗估的瞬時頻率進行分析，從而確定原信號的最佳分段方案，然后進行時頻分析，從而得出高精度的瞬時頻率。

2 仿真實驗

超寬帶信號分為線性調頻和非線性調頻，為了驗證算法的可行性，本文分別采用MR-STFT算法和STFT算法估計以下兩種仿真超寬帶信號的瞬時頻率，對仿真結果進行對比分析。

加噪超寬帶線性調頻信號(LFM)：x(t)=exp(j2π×3.75×107×t2)+n(t)，n(t)為噪聲。

加噪超寬帶非線性調頻信號(NLFM)：

x(t)=exp(j2π×(2.25×107×t2+109×t3))+n(t)，n(t)為噪聲。

取采樣率為10 MHz，n(t)分別取信噪比為10 dB、5 dB、-4 dB的噪聲，對兩種超寬帶信號的瞬時頻率的估計精度分別如圖6、圖7所示。

圖6 LFM的解算精度對比

圖7 NLFM的解算精度對比

由圖6和圖7知，無論是在處理線性或非線性調頻超寬帶信號時，MR-STFT算法均表現出了明顯的優勢，當信噪比為10 dB時，可以看出在中高頻段(2-10 ms)，兩算法解算的瞬時頻率相對誤差都比較低，兩算法均表現出較高的解算精度，但在低頻段(0-1 ms)時，MR-STFT的瞬時頻率估計誤差顯著小于SFTF的頻率估計誤差。當信噪比為5 dB或-4 dB時，STFT算法解算瞬時頻率的相對誤差較大，基本喪失解算能力，而MR-STFT算法仍有較高的解算精度。所以，MR-STFT算法與STFT算法相比，在處理超寬帶信號時，能顯著提高瞬時頻率估計精度，尤其對低信噪比的超寬帶信號效果顯著。

3 算法的應用

通過以上的仿真實驗驗證了多速率STFT算法的可行性。下面通過解算實測超寬帶信號頻率來驗證算法的實用性。

利用微波干涉儀采集到的弩箭回波信號波形如圖8所示。選用合理的分段方案，用多速率STFT算法對其進行解算得到瞬時頻率，因無法得知信號的真實瞬時頻率，所以無法通過頻率的相對誤差檢驗算法的解算精度。但可由瞬時頻率得出瞬時速率-時間波形[12]如圖9所示，由速率-時間波形可得弩箭的運動距離，而模擬箭膛的實際長度已知，從而可得出算法解算的行程誤差。

圖8 弩箭回波信號波形

圖9 解算的瞬時速率波形

解算得到弩箭在模擬箭膛內的運動行程為2 134.1 mm，模擬箭膛的實際長度為2 132 mm，可以得出MR-STFT算法解算行程的相對誤差為0.10%；而STFT算法解算的運動行程為2 141 mm，相對誤差為0.42%。

對一個信號進行解算處理會具有偶然性，說服力度不夠，為了更充分地證明MR-STFT的解算能力，對一組(20個)弩箭回波信號分別采用MR-STFT算法處理解算的行程相對誤差與STFT算法解算行程相對誤差對比，如圖10所示。對相對誤差的平均值和標準差進行分析對比如表1所示。

圖10 一組信號(20)行程解算相對誤差對比

STFT解算MR-STFT解算行程相對誤差的平均值/%0.460.37行程相對誤差的標準差/%0.700.59

從圖10可以看出兩種算法的行程解算相對誤差是有差別的，兩種算法解算的相對誤差都在橫軸上下浮動，但MR-STFT的解算誤差更接近于橫軸，變化幅度更小。從表1可以看出多速率STFT算法解算的行程相對誤差的平均值更小，也即多速率算法的解算精度相對較高；同時，多速率STFT算法解算的標準差更小，說明解算結果中相對誤差的起伏更小，也即算法的解算能力更穩定。通過以上分析可知MR-STFT算法相比于STFT算法有很大的優越性。

4 結束語

本文提出了一種MR-STFT算法。通過對超寬帶信號進行分段，對高頻段插值、低頻段抽取，最大限度地提高信號時頻分析時的頻率分辨率，從而提高瞬時頻率的估計精度。由仿真實驗可知，在處理超寬帶信號時，與STFT算法相比，多速率STFT算法不僅能提高瞬時頻率的估計精度；而且還具有較強的抗噪性能，在信噪比較低時，STFT算法已無解算能力，MR-STFT算法仍具有較高的解算精度。同時，該算法在處理實測數據時，比STFT算法的解算精度更高，而且解算能力更加穩定，表明其具有很強工程實用性。

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Research on Multi-rate STFT Algorithm in Instantaneous Frequency Estimation of Ultra Wide Band Signal

Yang Ning1，Zhan Rixin1,2，Ge Hongjuan2

(1.China Helicopter Research and Development Institute, Jingdezhen 333001, China;2.College of Automotion Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

An instantaneous frequency estimation algorithm based on multi rate short time fourier transform (MR-STFT) is proposed to improve the instantaneous frequency estimation precision of ultra wide band (UWB) signal. This method combines multi-rate signal processing algorithm with short time fourier transform (STFT), taking into account the sampling frequency and the measured frequency, the wide frequency range is segmented sampling and each segment result is fitted with each other, the MR-STFT realizes the high precision measurement of the instantaneous frequency estimation of the UWB signal. The feasibility and the instantaneous frequency estimation precision of MR-STFT are studied by processing the simulation signal and the measured signal. The results show that MR-STFT algorithm greatly improves the instantaneous frequency estimation accuracy of UWB signal, especially for the UWB signal with low signal to noise ratio.

ultra wide band signal; multi-rate; STFT; instantaneous frequency estimation

2017-05-14；

2017-05-31。

楊 寧(1987-)，男，河南駐馬店人，碩士研究生，工程師，主要從事計算機信號仿真測試方向的研究。

葛紅娟(1966-)，女，江蘇南京人，教授，博士生導師，主要從事空電子工程、交通信息工程方向的研究。

1671-4598(2017)12-0211-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.12.055

TN911.72

A