數形結合 發展學生數學思維

陳 波

（浙江省寧波市鄞江中學，浙江寧波 315100）

引 言

高中學習知識和以前學習的知識有所差別，在以前的基礎上上了很大的一個臺階，這尤其體現在高中數學上，其中復雜的解題思路更是成了數學中的難題。在數學教學中，函數換元思想是一種非常重要的數學解題方法。函數換元就是將復雜的數學表達或復雜的數學思想進行替換，通過替換轉換了一種思想，一種解題思路，從而讓學生對學習數學產生興趣，只要巧用一些數學思想，學習高中數學會變得簡單些。

一、以形助數，聯結數與式

一直以來，數形互變就是所有老師最為提倡的一種解題方法，這種方法在高中數學中更是體現得淋漓盡致。教師應該采取適當的方法設計課程，寓數于形，以形于數來幫助學生解決抽象的數學問題，從而提高學生學習興趣，將高中數學學習到極致。

1.轉化斜率，求最值

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。在解題的時候，如何運用圖形來更快更準確地解決數學題，是好多學生不能感受到的解題思路。

為了讓學生能深刻地體會與掌握數形結合這種數學思路，我設計了這樣的課程。例如，已知：圖1有向線段PQ的起點P與終點Q坐標分別為P（-1，1），Q（2，2）。若直線l∶x+my+m=0與有向線段PQ延長相交，求實數m的取值范圍。在求解這道題的時候直線l的方程x+my+m=0可化為點斜式：y+1=-1/m（x-0），易知直線l過定點M（0，-1），且斜率為-1/m。

因為：l與PQ的延長線相交，由數形結合可得：當過M且與PQ平行時，直線l的斜率趨近于最小；當過點M、Q時，直線l的斜率趨近于最大。在給同學們講解題方法的時候，比如說上面的例子，可以巧妙地根據題目已知條件，常常可以根據數形結合的思路，轉化為求解斜率的問題，有效地把復雜問題進行簡單化，將抽象的問題進行具體化，在解決高中生數學題的時候具有較為重要的指導意義。

圖1

2.構造函數，解方程

同學們在解一些高中函數題目的時候，常常可以根據題目已知條件結合自己所學的知識，畫出題目所給的函數的圖像，然后將函數轉化為方程或者方程組，通過構造函數解方程或方程組。

比如在給同學們講解這道題的時候，題目是：若關于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三個整數解，則a的值是[ ]首先我讓同學們畫了圖像如圖2所示：

其中：方程｜｜x-2｜-1｜=a的解是函數y=｜｜x-2｜-1｜的圖像與y=a的圖像交點的橫坐標，所以原方程有三個整數解的條件，即轉化為函數y=｜｜x-2｜-1｜的圖像與y=a的圖像有三個公共點。作y=｜｜x-2｜-1｜的圖像。因為y=a的圖像是平行于x軸的直線，從圖像知，當y=a的圖像過點(0，1)時，兩圖像才有三個交點(其橫坐標是整數)，此時a=1。

構造函數或者構造方程，結合圖像可以很輕松地解決掉數學問題中的一些疑難雜癥，比如說在所給問題中本質上是關于學過的函數問題，或者是學過的方程，可以考慮構造輔助函數和方程，使得問題得以解決。

圖2

二、以數輔形，解決幾何題

在數學這門科學中，數學理論形式可以通過一定的圖形將數學理論展現出來，從而將有些數學問題簡單化。同樣的，有時將圖形數字化也會起到簡化數學的作用，將圖形從形象化到數據的定量分析，會在解決實際問題起到事半功倍的效果。

1.分析數據，證中有算

高中數學，無疑在以前數學學習的基礎上上了一個臺階，這使許多學生立馬感到學習的難度，遇到圖形題時更是無從下手。這時，以形變數，將圖形問題定量化分析，會使學習數學不那么困難。

比如我就此觀點設計了這樣一道例題，讓學生深深地體會到以形變數的重要性。f(m)=m2-2nm+2，條件當m在[-1，+∞]，f(m)＞n恒成立，求n的取值范圍。通過分析可以發現f(m)＞n恒成立，即可以寫成m2-2nm+2-n＞0恒成立。令g(m)=m2-2nm+2-n，此時畫出g(m)的圖形在m在[-1，+∞]的情況下都是大于0都在x軸的上方。此時，運用圖形顯然不能解決這道題，于是換個角度講，如此時利用判別式這個數學方法來做，問題就迎刃而解了。通過這題的解答可以看出，雖然圖形可以直觀地展示出來，讓我們直觀地看出來，但對于一些涉及量化的知識圖形就做不到了，此時借助一些特有的數字公式或結論，會使問題變得無比簡單。

2.建坐標系，測量距離

在數學中，數學家笛卡爾發明了坐標。它具有重大的研究意義，主要在于使數學的基本研究對象：數和形得到統一。所以利用坐標系集合數形結合的思想，既可以用運算這種處理數的方法，方便地處理圖形，也可以用圖形的特性，直觀地解釋函數的性質，所以說，坐標系是數形結合的利器。

比如說在講解關于空間直角坐標系這道題的時候，如果直接給學生講解答案，他們可能會一下子反應不過來，但如果以圖形作為載體，在圖形上直觀地表現出已知條件以及盡可能地畫出所要求的答案，同學們就可以很容易地理解了。這道選擇題是這樣的：以棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA4所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，則平面AA1B1B對角線交點的坐標為（ ）。

A．（0，0．5，0．5） B．（0．5，0，0．5）

B．（0．5，0．5，0） D．（0．5，0．5，0．5）

在給同學們講解的時候，我首先指導同學們畫出由已知條件所給的空間直角坐標系，然后根據所要求的，先將答案在圖上標出來，所畫的圖形如圖3所示。

由這個圖形可以很直觀地看出平面AA1B1B對角線交點是橫坐標為AB的中點值，豎

坐標為AA1的中點值，縱坐標為0，所以平面AA1B1B對角線交點的坐標為（0．5，0，0．5）。故選 B。

“數形轉換”就是根據“數”與“形”既對立又統一的特征，通過觀察圖形的形狀，分析數與式的結構，引起聯想，適時將它們相互轉換，化抽象為直觀并提示隱含的數量關系。從而更好地應用在數學解題中的一種方法。

圖3

三、數形串聯，突出綜合性

以數化形是數學解題中最常用的一種方法，學生在理解那些抽象性比較高的數量關系時可能有一定的難度，無法形成深刻的理解和認識，學習效果不理想。此時若引入“形”這一解題思路，通過直觀的圖形將數學難題展現出來，那么學生學習就不再感到有壓力了。

1.深度觀察，尋找互變條件

作為數學一種較為重要的思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性；或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系。

在數學解題中，遇到難的數字化太強的題目，無從下手時，不妨試著換個思路，將數字轉化為圖形，說不定就柳暗花明了。“以數解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。

2.梳理關系，明晰解題缺口

數形結合，可以深度梳理題目中的相關關系，準確地抓住題目的解題缺口，比如：從一些題目的解題過程可以看出，有時候綜合使用“數形轉換”，理解數形轉換的實質，遇到實際問題從數形轉換著手，就一定在有限的時間解出問題。

例如在給同學們講解下面這道例題的時候，就運用了數形結合的方法，利用圖形深度梳理題目中的已知條件，將已知與未知聯系起來。這道題是這樣的：已知點(3，5)M，在y軸和直線y，x上分別找一點P和N，使得MNP△的周長最小。

我給同學們在講解這道題目前的時候，畫了直角坐標系，將已知條件和未知條件都盡可能用圖形表示出來，圖形如圖4所示。在圖像上，作點(3，5)M，關于y軸和直線y=x的對稱點 12M1M2，則點 12 M1M2的坐標分別為 (-3，5)，（5，3）。

圖4

根據已知條件，可以整理式子得：x+4y-17=0，即是直線M1M2的方程，它與y軸和直線y=x的交點分別可以得到（0，17/4），(17/5，17/5)，即可以得到△MNP周長最小的點P和N的坐標分別為（0，17/4），（17/5，17/5）。

這道題，主要利用了數形結合的思想，梳理了題目中的已知條件，并且利用“對稱關系”，幾種思想相互結合，明確這道題到底在考什么，將問題轉化為兩點之間線段最短的問題，巧妙地解開了問題。

結 語

總而言之，數形結合思想作為一種重要的數學思想，在高中數學解題中起到了至關重要的作用，學生靈活地使用它可以將抽象復雜的數學知識生動、形象地展示出來，從而降低了學生理解數學題的難度，拓展了學生的思維，也提升了學生的解題能力。因此，教師在教學中，要積極合理地引入數形結合思想，積極培養同學們的數學發散性思維，讓數形結合在教育道路上越走越遠！

[1] 徐先榮．談初中數學數形結合的教學策略[J]．考試周刊，2007(04)．

[2] 冉正偉．淺談在高中數學教學中如何滲透數形結合思想[J]．科學咨詢，2012(06)．

[3] 楊云美．數形結合的高中數學教學策略及實現[J]．語數外學習，2013(07)．

[4] 張福慶．例談高中數學數形結合解題法教學的有效策略[J]．高中數理化，2013(16)．