剛體定軸轉動與質點直線運動的簡單類比

王棟

摘 要 在大學物理中，剛體定軸轉動部分的內容，幾乎全部物理概念、物理規律及推導過程都可以與質點直線運動進行類比。文章從運動的描述、動力學方程、做功及動能、沖量矩及角動量四個方面展開類比。教師通過類比把知識呈現給學生，可以使學生快速而牢固地掌握這部分內容。

關鍵詞 定軸轉動 直線運動 類比

中圖分類號：O311 文獻標識碼：A

在大學物理課程中，剛體的定軸轉動部分是一個難點，有些概念是質點力學中從未提及的，又比較抽象，老師講起來比較困難，學生學起來也比較困難。即使記住公式，也不知道該怎么代。實際上，剛體定軸轉動是剛體力學的基礎，也是最簡單的部分，只要掌握一定的方法，就可以達到較好的教學效果。在物理學中，不論是科學研究過程，還是教學過程，有一個方法必須重視，那就是類比法。物理教學中的類比法隨處可見，在幫助學生理解物理概念和規律方面非常值得推薦。剛體定軸轉動與質點直線運動就有很多可以類比的地方。本文從以下四個方面進行類比。

1運動的描述

質點直線運動是一維的，只在一條直線上運動，因此其位置只用一個坐標就可以確定。建立一條坐標軸x軸，用坐標x描述質點的位置，速度和加速度也可用標量v和a表示。從x到v再到a，是求導的關系，而反過來，就是積分的關系。剛體定軸轉動時，雖然各質點均做圓周運動，但整個剛體的轉動也是“一維”的，這是因為轉軸是固定的。類似地，其位置用角坐標 描述，角坐標的變化快慢用角速度 描述，角速度的變化快慢用角加速度 描述。從 到 再到 ，是求導的關系，而反過來，就是積分的關系。

關于方向，剛體的轉動是用轉軸的指向來描述的。因為轉軸固定，所以方向只有兩個。先選定一個正方向，正如質點運動學中的坐標軸一樣。約定：從轉軸正方向看過去，剛體逆時針轉動為正，即 取正值；順時針轉動為負， 取負值。也可以用右手螺旋法則，右手四指繞向剛體轉動的方向，拇指的指向若沿轉軸正方向，則剛體轉動方向為正，反之為負。雖然轉動的方向判定比質點運動復雜，但依然可以找到對應關系。剛體逆時針轉動對應于質點沿坐標軸正方向運動，順時針轉動則對應于質點沿坐標軸負方向運動。

2動力學方程

在質點力學中，若質點所受的合外力為零，則質點運動狀態不變，即運動速度的大小和方向均不發生變化；若所受合外力不為零，質點將獲得一個加速度，使其運動狀態發生變化。因此，力是改變質點運動狀態的原因。質點做直線運動時，力與加速度之間滿足，這就是質點運動的動力學方程，人們熟知的牛頓第二定律。

在剛體定軸轉動中，力不再是改變運動狀態的原因了，與力相對應的，是力矩。與質點力學類似，若剛體所受的合外力矩為零，則剛體的轉動角速度不發生變化；若所受合外力矩不為零，剛體將獲得一個角加速度，使其轉動狀態發生變化。因此，力矩是改變剛體轉動狀態的原因。力矩與角加速度之間滿足M=I ，這就是剛體定軸轉動的動力學方程，稱為轉動定律。當然，這里需要注意，M、I、 都必須是對于同一固定轉軸而言的。I為剛體的轉動慣量，是一個描述剛體轉動慣性的物理量，正如質點力學中的質量一樣。

3功與動能

在質點直線運動中，力對空間的積分稱為做功，數學表達式為：W=Fdx；而在剛體定軸轉動中，力矩對空間的積分稱為做功，只是空間量用角度描述：：W=Md 。在兩種運動中做功都等于動能的增量，這就是動能定理。質點的動能等于慣性質量乘以速度平方除以2：Emv2，剛體定軸轉動的動能也是非常類似的，只要把慣性質量換成描述轉動慣性的轉動慣量，把速度換成角速度就可以了，表示為：Ek= I2。

4角動量與沖量矩

在質點力學中，有兩個非常重要的物理量：沖量和動量。力對時間的積分稱為沖量，慣性質量和速度的乘積稱為動量，用p表示：p=mv。一段時間內，作用于質點上的合外力的沖量等于質點動量的增量，這就是質點的動量定理。該定理可以從質點運動的動力學方程-牛頓第二定律推導而來：

F= Fdt=dp Fdt=dp=p2p1。

類似地，在剛體定軸轉動中，也有兩個對應于沖量和動量的物理量：沖量矩和動量矩，動量矩常稱為角動量。力矩對時間的積分稱為沖量矩，轉動慣量和角速度的乘積稱為角動量，通常用L表示：L=I 。一段時間內，作用于剛體上的沖量矩等于剛體角動量的增量，這稱為剛體的角動量定理。同樣，這個定理也可以從剛體定軸轉動的動力學方程-轉動定律推導而來：M= Mdt=dL Mdt=dL=L2L1 。

沖量矩和角動量是兩個全新的物理量，也比較抽象，學生理解起來會比較困難。但這兩個量又非常重要，在后續的學習中，特別是在量子力學中，角動量會經常出現。因此必須讓學生理解透徹，與質點力學的類比可以幫助學生快速理解角動量。

以上四個方面囊括了剛體定軸轉動的大部分內容。通過類比可以看出，雖然剛體定軸轉動與質點運動是完全不同的兩種運動，但研究方法卻非常類似，幾乎每一個物理量、定理及推導方法都能夠對應。對兩種運動進行類比教學，不僅能夠使學生快速而牢固地掌握剛體定軸轉動的知識，而且可以領略物理學中理論結構的對稱美。

參考文獻

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