排列組合問題分析

張圣博

摘 要 所謂彩票是由幾個固定的數(shù)字組成的數(shù)碼或者是符號，在若干個給定的數(shù)碼或者是符號中買到與中獎的數(shù)碼完全相同或者是部分相同的情況下，就會得到相應(yīng)的獎項(xiàng)。而排列組合是組合數(shù)學(xué)中最基本的概念。那彩票與排列組合之間有什么樣的關(guān)系呢？本文介紹了排列組合的定義、發(fā)展歷程和基本計數(shù)原理，并通過列舉不同種類彩票的中獎情況分析了排列組合知識與彩票間的聯(lián)系，以此來激發(fā)人們對排列組合的興趣與認(rèn)知，也能夠讓人們在購買彩票時更理智。

關(guān)鍵詞 彩票 排列組合

中圖分類號：F224.9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1排列組合

1.1排列組合的定義

排列組合是組合數(shù)學(xué)中最基本的概念。排列指的是從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素，然后進(jìn)行排序的一個過程。它的計算公式是：A=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=n！/（n-m）！，表示的意思是從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列數(shù)。組合指的是從給定個數(shù)的元素中中取出制定個數(shù)的元素而并不進(jìn)行排序的一個過程。它的計算公式是：C=A/m！=n！/m！（n-m）！，表示的意思是從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。

1.2排列組合的發(fā)展歷程

盡管數(shù)數(shù)是源于結(jié)繩計數(shù)的遠(yuǎn)古時代，但當(dāng)時的社會發(fā)展水平還處于最初的階段，對于數(shù)數(shù)并不沒有什么技巧。隨著人們對于數(shù)的了解和研究，與數(shù)相關(guān)的各種數(shù)學(xué)分支，如數(shù)論和代數(shù)等的形成與發(fā)展，人們認(rèn)識到數(shù)的多樣性，也逐步產(chǎn)生了數(shù)數(shù)的一些技巧，數(shù)與形之間也密切地聯(lián)系起來。這些都有利以研究數(shù)的技巧為主的近代組合學(xué)的形成與發(fā)展。

11世紀(jì)和12世紀(jì)間，賈憲發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)，而楊輝將它記錄在自己的《續(xù)古抉奇法》中，也就是我們通常所說的楊輝三角。13世紀(jì)波斯的哲學(xué)家曾經(jīng)講過這類三角。17世紀(jì)中期，布萊士·帕斯卡和費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)許多與概率論有關(guān)的經(jīng)典組合學(xué)的一些結(jié)果。18世紀(jì)，組合學(xué)開始作為一門學(xué)科來發(fā)展。19世紀(jì)，高斯提出高斯系數(shù)，對于經(jīng)典組合學(xué)的影響是非常重大的。同時，喬治·布爾發(fā)現(xiàn)布爾代數(shù)的分支，成為組合學(xué)中序理論的基石。20世紀(jì)初期，龐加萊與多面體的問題相聯(lián)系，從而組合學(xué)的概念與方法得到發(fā)展。20世紀(jì)中后期組合學(xué)發(fā)展迅速。一方面，組合結(jié)構(gòu)被闡明和被稱為組合最優(yōu)化的一個組合學(xué)分支產(chǎn)生。另一方面，隨著電子和計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，組合學(xué)出現(xiàn)很多新的研究課題，比如組合計算幾何。

根據(jù)組合學(xué)的研究與發(fā)展現(xiàn)狀，它可以分為：經(jīng)典組合學(xué)、組合設(shè)計、組合序、圖與超圖和組合多面行與最優(yōu)化。

組合學(xué)幾乎涉及到數(shù)學(xué)的每一個領(lǐng)域。因此，研究組合學(xué)中的排列組合有著非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1.3排列組合的基本計數(shù)原理

1.3.1加法原理和分類計數(shù)法

加法原理：完成一件事有n種方法，在第一類方法中有m1種，在第二類中有m2，...，在n中方法中有mn種，因此，完成這件事共有A=m1+m2+…+mn種方法。

分類的要求：每一類中每個方法都是獨(dú)立存在的；兩類不同辦法中的具體方法都是不重復(fù)的；完成這件事的任何一個方法都屬于某一類。

1.3.2乘法原理和分步計數(shù)法

乘法原理：完成一件事需要n種步驟，第一步有m1種方法，第二步有m2，...，第n步有mn種，完成這件事需要A=m1xm2x…xmn種方法。

分步要求：連續(xù)完成n步才能完成這個事；各步計數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中采取的方法不同則完成此事的方法也不同。

2彩票中的排列組合問題

隨著中國體育和福利事業(yè)的發(fā)展，廣大消費(fèi)者對于彩票的熱情度越來越高。他們都想通過碰“運(yùn)氣”來獲得豐厚的獎金。然而，大多數(shù)購買者只知道一味地去購買彩票，卻忽略了彩票中的數(shù)學(xué)問題。所謂彩票是由幾個固定的數(shù)字組成的數(shù)碼或者是符號。在若干個給定的數(shù)碼或者是符號中買到與中獎的數(shù)碼完全相同或者是部分相同的情況下，就會得到相應(yīng)的獎項(xiàng)。彩票，不管是規(guī)定順序還是不規(guī)定順序都是從若干個數(shù)碼或者是符號中選出幾個數(shù)碼或符號，這就是我們組合數(shù)學(xué)中的排列組合問題。接下來我們就討論下彩票中的排列組合問題。

2.1傳統(tǒng)型彩票

傳統(tǒng)型彩票采用的是10選6+1的形式，也就是說先從6組0到9號球中搖出6個最基本的號碼，每一組搖出一個基本號碼。然后從0到4號球中搖出一個特別號碼，即中獎號碼。彩民要從0到9這10個號碼中任意選擇6個可以重復(fù)的基本號碼，再從0都4中選擇一個特別號碼，就可以構(gòu)成一注。以單注號碼與中獎號碼相符合的個數(shù)和順序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)來確定中獎的等級。

傳統(tǒng)型彩票的中獎規(guī)則實(shí)質(zhì)上就是排列組合問題。那么各級獎項(xiàng)中獎的概率是怎么樣的呢？

假設(shè)Pi（i=1、2、...、）是各級獎項(xiàng)中獎的概率。

P1=1/5x106=2x10-7

P2=4/5x106=8x10-7

P3=2A19/106=1.8x10-5

P4=2A19A110+A19A19/106=2.61x10-4

P5=2A19A110+2A19A19A19/106=3.42x10-3

P6=2A19A110A110A110+3A19A19A110A110-（3A19A19+2A19）/106=4.1995x10-2

2.2電腦彩票

2.2.1樂透型彩票

樂透型彩票有很多形式，比如33選7、36選6+1等。33選7指的是先從0到33個號碼球中逐一搖出7個基本號碼，在從剩余的26個號碼球中搖出特別號碼。彩民要從0到33個數(shù)碼中任選不可重復(fù)的7組成一注，根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符合的個數(shù)來判斷中獎的等級，與號碼順序無關(guān)。樂透型彩票不考慮順序的問題，因此是單純的組合問題，我們只需要運(yùn)用組合的計算公式便可以求解出各等獎中獎的概率。endprint

2.2.2電腦福彩

電腦福彩的投注方法是從36個號碼中選擇7個作為一注，每注是2元。

首先，我們來討論下，一張電腦彩票中特等獎的機(jī)率是多少。通過規(guī)則我們可以知道要想獲得特等獎就必須從36個號碼中選出與中獎數(shù)字相同的7個號碼，因?yàn)椴挥嬎沩樞颍詫儆诮M合問題，通過計算公式C736=36x35x34x33x32x31x30/ 1x2x3x4x5x6x7=8347680，可以看出從36個號碼中選出7個總共有八百多萬種選法，也就是說一張彩票中獎的機(jī)率是1/8347680，幾乎為0。如何提高中獎的機(jī)率呢？有人說多買就能增加中獎機(jī)率。但只要買的少于8347680張，就不能保證百分之百中獎。

其次，我們來討論下在只考慮特等獎獎金（5000000）的情況下，將36個號碼至少減少到多少就可以采用全包的方式來保證中獎的機(jī)率。假設(shè)36個號碼減少到m，則從m中選擇7個的情況就有C7m，全包的話只需要2>C7m，所以只需要2>C7m<5000000即可。經(jīng)過計算得知，C731=2629576>2500000，C730=2035800<2500000，只有將36個號碼減少到30個或以下，而且獲獎金額不變的情況下就可以采用全包的形式。但這種情況是非常少見的，彩民在購買彩票前一定要好好閱讀中獎規(guī)則，避免上當(dāng)。

最后，我們來討論下如果保持36個號碼不變，減少要選出的7個號碼的數(shù)量的情況。減少可選號碼的數(shù)量就能減少出現(xiàn)不同情況的種類。假設(shè)a、b和d都是自然數(shù)，而且a

C=A/m！=n！/m！（n-m）！=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）/1x2x3x…xm，我們可以看出m增大，分式中的分母和分子都在增大，所以整個分?jǐn)?shù)的值并不是最大。只有分子相乘的數(shù)大于分母時，整個分?jǐn)?shù)的值才是較大的，即n-m+1>m，也就是m

3總結(jié)

生活中處處充滿著數(shù)學(xué)的影子。通過分析傳統(tǒng)型彩票和電腦彩票這兩種類型中的不同情況，我們可以發(fā)現(xiàn)，彩票中蘊(yùn)含著豐富的排列組合問題。所以，我們在購買彩票時不僅僅是要想著憑借著“運(yùn)氣”來獲取獎金，還要學(xué)會運(yùn)用排列組合的概念和方法來分析彩票中的各種問題。只有這樣，我們才能理智地面對彩票，也加深對排列組合知識的認(rèn)知，提升對其的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)

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