導數的應用舉例

鄧艷

摘要：導數是高等數學中的一個重要概念，本文通過實際例題說明導數在證明不等式，求極值，求單調區間以及求解幾何問題中的應用.

關鍵詞：導數；不等式；極值；單調區間；極限

導數在數學學習和生活中有著十分廣泛的應用，能夠優化解決生活中的幾何問題和實際問題，本文通過具體例子說明導數在各方面的應用.

1.導數在證明不等式中的應用

例1 設 在 上可微，若 為 內一定點 ， ，證明在 上總成立 .

證明：當 時，則 ，由 ，得 ， ，從而 在 內單調下降，所以 ， .當 ，有 ，再由 ，可得 因此 在 上單調上升，從而 ， .綜上所述，于是可得 .

例2 已知 ，求證： .

證明 當 時， 則要證明的不等式等價于 令 ，則 而 ，故 ，從而 .

2.導數在求函數極（最）值中的應用

例3 設 ， 在 內的駐點為 ，問 為何值時 最小？并求出最小值.

解 由 得唯一駐點 考察函數 在 時的最小值.令 的唯一駐點 當時，當 時， ；當 時， 因此 為極小值，也是最小值.

3.導數在求單調區間中的應用

例4 設函數

（1）求函數 的單調區間

（2）若當 時，不等式 恒成立，求實數 的取值范圍；

（3）若關于 的方程 在區間 上恰好有兩個相異的實根，

求實數 的取值范圍.

解

（1）令 得 或 所以 的

單調增區間為 和

令 得 或 所以 的單調減區間為 和

（2）令 得 或 （舍去）由（1）知 連續又因為 ， ， ，所以當 時 的最大值為 .

于是可得： 恒成立時， .

（3）原題可以轉化為：方程 在區間 上恰好有兩個相異的實根.令 ，則 ，令 考察函數解得 ，當 時， 所以 在 單調遞減，當 時 ，所以 在 單調遞增.

因為 在 和點 處連續，又因為 ， ， 且 ，所以 的最大值是1，最小值 .

4.導數在幾何中的應用

例5 曲線 的切線與 軸和 軸圍成一個圖形，記切點的橫坐標是 ，試求切線方程和這個圖形的面積，當切點沿曲線趨于無窮時，該面積的變化趨勢如何？

解，由 得 ， 則切點 處的切線方程為：

，切線與 軸和 的交點分別為 ， ：于是面積 ，當切點按 軸正向沿曲線趨于無窮遠時，有 ，當切點按 軸正方向沿曲線趨于無窮遠處時，有 .

我們通過各種例子說明導數在數學中的重要作用，通過導數的學習，使學生學會以動態的，變化的觀點來研究問題.

參考文獻：

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