且行且思，積累探索規律的經驗

喬國鋒

【設計理念】

《多邊形的內角和》是蘇教版四下的一節數學活動課，旨在讓學生通過觀察、操作、推理等具體的活動，發現多邊形內角和的計算方法。教材是在學生探索了三角形內角和及認識了多邊形基本特征的基礎上展開設計的。教材從簡單圖形開始，依據三角形內角和的結論，依次對四邊形、五邊形、六邊形的內角和進行探索，運用“轉化”的思想求出這些簡單圖形的內角和，然后對探究中獲得的數據進行整理、分析、推理，獲得多邊形內角和的計算方法，最后通過回顧與反思，積累稍復雜規律的探究經驗。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標”）明確指出：學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。教師要引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想方法，獲得基本的數學活動經驗。因此，在設計本課時，為了調動學生在探索三角形內角和時積累的活動經驗，筆者首先讓學生通過動手操作，即在撕一撕、畫一畫、填一填、找一找等活動中經歷猜想、驗證的過程，然后讓學生在對比、感悟中掌握探究的方法，體驗探索規律的一般步驟。具體的設計思路如下：

1.自主參與，真實經歷探索過程。

課標中多次強調，學生應當經歷觀察、實驗、猜測、推理、驗證等多種數學活動過程。只有學生自主參與數學學習活動，才能真正經歷數學的學習。在本課開始，筆者巧設教學活動，激發學生對課題的興趣，讓學生自主建構活動目標；在課中，學生展示和比較極富個性的計算方法，激活深入探索的愿望；最終，學生通過對數據的觀察分析，用自己的語言和方法概括出多邊形內角和的計算方法。這些措施都將學習的主動權交給學生，讓學生經歷真實的數學學習過程。

2.任務驅動，有效積累活動經驗。

教師是活動的組織者、引導者和合作者，因此，筆者力圖創設良好的學習環境，以任務驅動學生。教學伊始，筆者就讓學生根據課題提煉出本課的學習任務：多邊形內角和的計算結果是多少？我們是怎么探索多邊形內角和的？學生以這兩個大問題為目標，進行有目的的研究活動。在探索、積累數據后，學生創建并填寫統計表格，學生以“觀察表格數據，尋找規律”為任務，通過推演分析，抽象概括出多邊形內角和的計算法。在這些任務中，學生有了“有序思考”“從簡單的想起”“找一找規律”“抽象概括”的活動經驗，為以后的探索活動打下了基礎。

3.對比反思，關注核心素養培養。

核心素養是適應個人終身發展和社會發展的必備品格和關鍵能力。《多邊形的內角和》一課所涉及的數學核心素養包括幾何直觀、數據分析觀念、推理能力等，其中推理能力又是本課的重點。在四邊形內角和探索中，學生在由特殊到一般的猜測、驗證過程中進行推理，初步體驗推理思維；在將研究數據填入表格并對數據進行觀察、分析、概括的過程中，進一步培養學生自主推理的能力，最終通過交流獲得了多邊形內角和的計算方法。在探索操作的過程中，教師引導學生充分借助幾何圖形，利用添畫輔助線的方法直觀感知多邊形內角和與分成的三角形個數之間的關系，從而提升學生的分析與推理能力。

【教學目標】

1.學生經歷提出問題、自主探索、觀察分析、歸納概括等活動，能利用分割三角形的形式求出多邊形的內角和，并根據多邊形邊數與分割三角形個數之間的關系，掌握多邊形內角和的計算方法。

2.學生在活動中經歷分一分、算一算、比較歸納等探索規律、發現規律的過程，加深對探索數學規律的一般方法的了解，積累相應的數學活動經驗，提升解決問題的能力；體會轉化思想，培養觀察、比較、歸納和概括等思維能力，發展空間觀念。

3.學生在主動參與探索規律的活動中，獲得探索規律、發現規律的成功體驗，樹立學好數學的自信心；感受數學的奧妙，產生學習數學的興趣，提高數學學習的積極性。

【教學過程及意圖】

一、自主提問，產生核心問題

師：今天我們學習的內容是“多邊形的內角和”，看到這個課題，你能提出哪些問題？

預設：什么是多邊形？什么是內角和？多邊形的內角和是多少度？怎么來研究多邊形的內角和？

前兩個問題直接讓學生交流、解答。

師：多邊形的內角和怎么去研究（過程）？研究的結果又是什么（結果）？這節課我們就帶著這兩個問題邊學邊思考。

板書：結果 過程

【通過自主提問，提高了學生發現和提出問題的能力；通過核心問題引領，增強了學生研究問題、探究規律的動力，同時也使研究更具方向性和目的性?！?/p>

二、簡單交流，確定研究思路

師：今天我們要對多邊形的內角和進行研究，我們是從20邊形、30邊形這樣的復雜多邊形開始研究呢？還是有更好的切入口？

預設：只要學生提到邊數較少的多邊形，教師就指出：你們說的多邊形的邊數都較少，這樣的研究方法在數學上可以稱為——從簡單的想起。

板書：從簡單的想起

師：從幾邊形開始？（三角形）然后呢？

學生只要按順序說出圖形的名稱，教師就對其想法進行評價：按順序進行，能更便于我們獲得想要的結果。

板書：有序思考

師：行，我們就從三角形開始研究。

課件出示可以移動的三角形：移動三角形的一個頂點，三角形的形狀在變化，三個角的度數也在變化，什么是不變的？（三角形內角和始終是180度）

板書：三角形 180度。

【學生通過與教師的簡單對話交流，初步掌握了解決復雜問題的一般步驟，即從簡單想起，按序思考?！?/p>

三、動手操作，掌握探索方法

師：三角形的內角和，我們以前探索過了，今天不再重復，接下來我們該研究四邊形的內角和了。你認為四邊形的內角和是多少度？先猜猜看，再說說你是怎么想到的？endprint

預設：學生會根據長方形或正方形這兩個特殊的四邊形進行猜想，由于這兩個四邊形的四個內角都是直角，所以學生會猜測四邊形的內角和是360度。

師拖動四邊形的四個頂點，將它變成一般的四邊形。提問：現在這個四邊形的內角和還是360度嗎？你打算用什么方法來驗證呢？

學生從學具中取出一個四邊形進行操作驗證，完成后匯報結果。

組織學生匯報交流：

第一組：用“拼”的方法進行驗證。

師評價：將四邊形的四個內角撕下來，拼成一個周角，來說明四邊形的內角和是360度，這種方法在研究三角形內角和時就用過，這組同學能學以致用，值得大家學習。

第二組：用“分”的方法驗證。

師（演示一位學生的操作）：這位同學只畫了四邊形的一條對角線，認為這樣就能說明四邊形的內角和是360度。你們能看懂嗎？

師用課件演示，先用動畫展示分成的第一個三角形的三個內角，再展示另一個三角形的三個內角，提問：兩個三角形內角度數之和與原來四邊形的四個內角度數之和有什么關系？（相等）

師：這說明分了以后，形狀變了，但內角和不變。數學上把這種方法稱為轉化。

板書：轉化

師：你們也試著分一分，并說一說任意四邊形的內角和是多少度？

板書：四邊形 180°×2

師：驗證四邊形的內角和時，有人用撕的方法，有人用轉化成三角形的方法來驗證，你認為哪種方法能更好地幫助我們研究更復雜的多邊形的內角和？

【學生通過對四邊形進行“剪拼”“分割”等操作，經歷觀察、實驗、猜想、計算、驗證等過程，在對比感受中掌握多邊形內角和的重要研究方法——轉化，這為后續開展更為深入的探究活動打下了基礎?！?/p>

四、方法應用，解決復雜問題

師：請你再從信封中取出印有五邊形、六邊形的紙來，你能不能也用轉化成三角形的方法求出這兩個多邊形的內角和？

學生操作后交流：

第一步：交流五邊形的內角和。

預設學生分的形式：分成兩個四邊形、分成一個四邊形和一個三角形、分成三個三角形。

師：在這幾種分法中，你對哪種分法有意見？說一說你的理由。

說明：從頂點到對邊來分，分成了兩個四邊形之后，就會產生多余的角（師在課件上指出），這時的內角和就比實際的內角和大，說明在分的時候只能從頂點到頂點來分。

師：對于剩下的兩種分法，你又有什么看法？

分成一個三角形和一個四邊形實際上和分成三個三角形是一樣的想法，一個四邊形的內角和就相當于兩個三角形的內角和，所以五邊形的內角和就是180°×3=540°

板書：五邊形 180°×3

第二步：交流六邊形的內角和

預設：（1）有學生通過六邊中間的點向各頂點連線，分出6個三角形的情況，讓學生觀察這樣分是否合理。

說明：在分的時候，線不能相交，相交就會產生多余的內角，使原有的內角和變大。

（2）正常的分法，將六邊形分成四個三角形。學生對這樣的分法進行評價，共同說明六邊形的內角和的度數。

析書：六邊形 180°×4

【運用轉化的策略探究出五邊形、六邊形的內角和，在運用中充分暴露學生的問題，在討論中分辨方法，去偽存真，讓學生學會求出多邊形的內角和。】

五、整理數據，觀察發現內在規律

師：剛才我們研究了一些多邊形的內角和，我們希望把研究的結果和過程都整理在表格中，除了多邊形的名稱，你還想整理哪些內容？（課件出示）

根據學生的回答，教師利用課件自動匯制表格，主要的欄目有：邊數、分成的三角形的個數、內角和。

師：我們已經研究了一些多邊形，先把研究好的結果填入表中。（學生口述，教師在課件上填寫） 師：在你們的信封里也有這張表，請你取出來填一填。

填寫要求：（1）填一填：用今天學習的方法把七邊形與八邊形的內角和求出來，并填在表里。（2）找一找，觀察表里的這些數據，找一找它們之間的聯系，想一想數據中藏著什么規律？（板書：找出規律）

交流：

（1）先匯報填寫的結果。

（2）說一說你從這些數據中有什么發現？

預設：

（1）只看結果，每次內角和都增加180度。

（2）單列看數據變化，如分成的三角形個數每次增加1，邊數每次增加1等。

備注：針對上述兩種情況，教師先肯定他們是豎著看每一列中的數據，并發現了這些規律，同時提醒學生能否橫向尋找數據之間的聯系。

（3）三角形個數與內角和之間的關系，即能分成幾個三角形，內角和就是180度乘幾。

（4）邊數與分成的三角形個數之間的關系，即分成的三角形的個數比邊數少2。

師：你們發現了這么多的聯系，那你能不能用一個公式表示多邊形內角和的計算方法。

板書：多邊形的內角和=（邊數-2）×180°

師：如果知道多邊形的邊數，你能不能求出這個多邊形的內角和？比如十二邊形的內角和是多少度？一百邊形的內角和是多少度？（列出算式） 【學生在制作表格的過程中，學會對數據進行整理和分析，通過對表格的橫向或縱向觀察，發現數據之間的聯系，通過邏輯推理得出多邊形內角和的計算方法?！?/p>

六、反思應用，深化學習內涵

師：現在我們可以回到開始提出的兩個問題：今天研究的結果是什么？怎么研究的？

研究出多邊形的內角和等于邊數減2的差再乘180度。

研究時，先從簡單的想起，按序思考，把多邊形轉化成三角形進行研究，并從得出的數據中找出規律，得到求多邊形內角和的方法。

師：如果你們以后遇到一個復雜的問題，你們會怎么做呢？

師利用課件出示：

777777777×999999999=？

師：如果讓你研究出算式的結果，你計劃怎么做？

結合學生的回答逐行板書：

7×9=63

77×99=7623

777×999=776223

…………

找找規律，說一說原來算式的計算結果是多少。

師：今天不僅研究出了多邊形內角和的計算方法，還掌握了研究復雜問題的一般步驟。今后遇到類似問題時，你們也要用今天學到的方法進行思考，那樣你們會有更多的發現。

【與上課開始提出的核心問題相呼應，通過反思，學生進一步感受解決復雜問題、探索復雜規律所要經歷的思考過程和基本步驟，通過方法的運用，學生在本節課學習中獲得的數學素養得以深化?！俊?/p>

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區盛澤實驗小學）endprint