Numerov算法和轉移矩陣法的分析和比較

本文對薛定諤方程進行了初步的討論，在介紹了波函數的一些基本性質以及基本解法的前提下，選取了較為實用的兩種求解微分方程的算法——Numerov算法和轉移矩陣法，以一維定態薛定諤方程求解為例進行求解，并對它們的原理進行了基本的闡述。根據波函數的實際性質，如有界性和漸變性等，對兩種方法進行了分析和比較，繼而得到一些較為實用的結論，以及對兩種方法使用過程中的建議。

其中）（x 被稱為定態波函數，簡稱波函數，這說明，微觀粒子在一個固定的勢場中運動時，只需要知道其能量，便可以求出其波函數。理論上，對于任何的E，都有一個波函數與之對應，但在物理還要求波函數滿足自然條件，例如邊界值為零等，故方程只對應一些特定的能量才有解。需要指出，定態并不意味著與時間無關，只不過與時間相關的部分都歸結到相因子上去而已。

即使是一維定態薛定諤方程這樣看似簡單的方程，也只有在勢能形式極為特殊的情況才有精確解。例如：當勢能取諧振子勢時，波函數具有厄米多項式形式。所以對于一維薛定諤方程來說，仍需要求諸于數值手段。歷史上，人們針對薛定諤方程發展了很多優秀的計算機算法，包括矩陣對角化算法，轉移矩陣法，虛時間法，快速傅里葉變換法等等。這些算法各有優缺點，適用于不同勢的薛定諤方程求解。

本文中，主要討論、分析和和比較求解薛定諤方程Nummerov算法和轉移矩陣法。所有使用的程序都是在Matlab環境中開發的。

算法分析

打靶法+Numerov +Simpson算法

Numerov可以求解波函數，打靶法可以搜索本征能量值。要求非零能量本征值。本征值小于零的解是束縛解，這時它表現的較像兩端被固定的，在振動琴弦。波函數在經典力學允許的范圍內是震蕩的，在經典力學禁止的范圍內為指數行為。由于波函數分為兩個有不同行為的區域，直接積分會是交界區域不和諧或者數值不穩定。知道波函數的圖像及其導數必須連續，也就是通常所說的平滑的曲線，可以通過從節分交界處向左積分，再向右積分。因為一定有一種歸一化系數使兩函數在交界處的值相等，所以只需要讓其導函數連續便可。

其中 <ψ和>ψ分別代表向左積分向右積分得到的波函數。

于是，利用拼湊的方法將不同區域內的波函數湊成完整的一個波函數，利用打靶法獲得本征能量時，需要從最小值一點一點向上搜索，若發現F變號，則說明剛剛錯過了一個本征能量值，或說明波函數多了一個零點，于是減小步長，在這個范圍內，重新搜索，獲得一個更加精確的能量值，并把它記錄下來。然后繼續向上搜索，獲得更多的能量本征值，直到粒子跳出束縛態，即E>0為止。對于一個本征波函數，采取具有較高精度的Simpson算法進行積分，對其進行歸一化處理。

轉移矩陣法

式（2）可寫成如下形式

由于E表示某一特定能量，V（X）也可視為某一特定勢能，故可將求解區域均勻分為N個區域，每個區域內的波函數都近似為常數。于是式（7）可寫成

將式（12）表示成矩陣形式，并帶入邊界值，即可求出式（10）中的系數，這樣就求出了波函數。

算法優缺點分析

上文是對于兩種算法的分析和理解。理論上兩種算法都可以對任意勢陷的薛定諤方程求以解。

在Numerov算法計算中，效率較高，可一次性將所有的束縛態的本征能量值求出。但在運行Numerov程序時，發現，本征能量值共有36個，而波函數卻有50個。這里排除了多個不同的波函數對應同一個本征能量值的簡并情況，因為求解的是一維薛定諤方程，無其他維度，故一個本征能量值，僅僅對應一個波函數。故多出來的波函數為假態，即非物理的數學解，在此函數和其導函數中，有突變的情況出現，如圖1。

所以要利用量子力學中對波函數的要求（如波函數連續性、波函數的導數連續性要求等等）把這些假態剔除出去，這是此算法的缺點之一：在計算的過程中會出現假態。

對比圖2的左圖和右圖，不難發現：在波函數圖像仿真度上，轉移矩陣法不及Numerov算法。原因是若波函數在N個格點上表示，對于Numerov算法來說波函數就是一個N維數組，但對于轉移矩陣法則一個N×N維矩陣。所以轉移矩陣法會消耗很多的內存，這就大大限制了轉移矩陣法中波函數所在的格點數目。也因此轉移矩陣法給出的圖像顯得比Numerov算法要粗糙。

從結構上說，轉移矩陣法有很多優點，例如：1）它能夠很好的考慮邊界條件，可以從它的推導過程中看到：充分考慮了函數在邊界處的取值）（aψ和）（bψ；2）通過構造矩陣的方法來求解，可以使用很多現成的庫函數，如 LAPACK（Linear Algebra Package）或者擅長矩陣運算的軟件，如MATLAB。

但是，轉移矩陣法也有一些固有缺點：因涉及到矩陣求逆的過程，在求解過程中出現奇異矩陣，則該辦法失效。且隨著所取的格點數目的增多，矩陣維數上升很快，會影響計算速度和運算效率。在其程序中，可以隨意規定勢阱，但必須手動輸入所滿足的本征能量，并且其與打靶法尋找本征能量的配合很差（轉移矩陣法本身沒有判斷能量是否為本征能量的能力）。所以對于像諧振子勢這種本征能量值有特定函數表示的勢能比較合適，對于本征能量并不清楚的情況則是采用Numerov算法收效更大。

結論

根據以上分析，知道：打靶法+Numerov算法更適合于本征能量事先不知道的薛定諤方程，并且計算代價小。缺點是在求解過程中容易出現假態，需要額外的機制作為刪選條件。轉移矩陣法則更適用于本征能量已經給定的情況，且改法能夠很好地處理波函數的邊界條件。涉及矩陣運算，可以調用專門的線性代數庫函數或軟件進行求解。

參考文獻

[1]大猩猩Hψ=Eψ.一維定態薛定諤方程本征值的數值解法[EB/OL].豆瓣網，[2011-07-20].https：//www. douban.com/note/162335796/.

[2]王憶鋒，唐利斌.利用轉移矩陣和MATLAB求解一維薛定諤方程的一種簡潔方法[J].紅外技術，2010，32（3）：177-180.

（作者簡介：張存良，東平明湖中學。）endprint