在線課程中高等數學經濟應用教學分析

王曉明

摘要：針對目前高校高等數學教學中存在的重理論，輕應用的現象，利用高等數學在線課程，在在線課程中向經管類專業的學生介紹高等數學的經濟應用，主要內容有：微分學在經濟學中的應用，積分學在經濟學中的應用。對于經濟管理類專業的學生來講，這是對高等數學教學的重要補充，有助于學生深刻體會到數學和經濟學的結合，以及經濟學是一門邏輯思維嚴謹的學科。

關鍵詞：微積分；邊際分析；彈性分析；最優化；無理數e

中圖分類號：G4文獻標識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2018.02.074

高等數學作為理工農經類學生的必修基礎課，具有課堂大，時間長，進度快的特點，課程內容十分豐富，但學時有限，所以我們往往在緊鑼密鼓地講重點、難點、疑點、概念、思路的時候，忽略了它的應用，忽略了它對后繼專業課的基礎作用。對于經管類學生而言，能夠在各種各樣的數學活動中了解、體驗數學在經濟學中的應用，體會到數學的樂趣與神奇，在某種意義上來講，比學習抽象的定理證明更為重要。基于在線課程的混合式教學模式，有效的彌補了傳統課堂的這一不足。為此我們在在線課程中增加了經濟應用板塊，學生通過這個板塊的學習，深刻體會到數學和經濟學的結合，給經濟學的發展帶來了很大的進步，讓經濟學成為一門邏輯思維嚴謹的學科，給經濟學的研究方法帶來質的飛躍，成為經濟學分析方法上的里程碑。

1微分學在經濟學中的應用

微分學在經濟學中的應用主要包含邊際分析、彈性分析以及最優化問題。

在經濟學中， 常常會用到平均變化率和邊際量，這些都是用來表示變化率的。邊際量表示的是當自變量發生一個單位的變化時，因變量究竟變化了多少。從數學意義上講， 如果我們考慮的經濟函數是連讀的， 則邊際量表示的是當自變量的改變量趨于零時，因變量的對應改變量與自變量改變量的比值的極限， 假設函數為y=f（x），那么邊際量就是導函數y′=f′（x）。對邊際量的研究主要包括兩個內容——邊際成本和邊際收入。在經濟學中，我們把產量增加一個單位時，所增加的總成本稱為邊際成本，邊際成本就是總成本函數C=C（x）在定點處的導數C′=C′（x），其中變量x為產量。其經濟學意義為：在某一產量水平上的邊際成本，指的是相應的總成本函數圖像在該點處切線的斜率，也就是總成本函數在該產量處的導數。在實際經營管理中，邊際成本可以用來判斷產量的增減在經濟上是否合算。

類似地，我們定義邊際收入為R′（x），也就是說邊際收入為總收入函數R（x）關于銷售量x的導數，其經濟含義是：當銷售量為x時，銷售量增加一個單位（即Δx=1），總收入增加了多少。所以邊際收入約等于收入函數的變化率。

在經濟分析中，邊際分析研究的是函數的絕對改變量和絕對變化率，然而很多時候，我們需要研究一個變量對另一個變量的相對變化情況。而彈性這個概念，就是用來描述當自變量發生變化時，因變量的反應程度，詳細來說，就是自變量變化了1%時，因變量會變化多少個百分比。對函數y=f（x），函數的相對改變量Δyy=f（x+Δx）-f（x）f（x）與自變量的相對改變量Δxx之比ΔyyΔxx，稱為函數f（x）在x與x+Δx兩點間的彈性。而這個比值的極限limΔx→0ΔyyΔxx稱為函數f（x）在x處的彈性。

如果函數y=f（x）為需求函數Q=f（P），這里P表示產品的價格，則可以得到需求彈性η=η（P）=limΔP→0ΔQQΔPP=limΔP→0ΔQΔP·PQ=P·f′（P）f（P），需求彈性的經濟學意義是，近似地表示價格當為P時，價格變動1%，需求量變化η%，它反映產品需求量對價格變動反應的強烈程度。

利用導數求函數的最大最小值是高等數學中的一個重要內容，而利用這種求最值的方法，可以解決很對經濟學中最優化的問題，比如成本最小化問題，利潤最大化問題，利用需求彈性分析總收益的變化等。例如假設需求函數為Q=f（P），則總收益為

R=P·Q=P·f（P）

由R′=f（P）+P·f′（P）=f（P）1+f′（P）Pf（P）=f（P）（1+η），知若|η|<1，那么需求的變動幅度要小于價格的變動幅度；若|η|>1，那么需求的變動幅度大于價格的變動幅度；若|η|=1，那么需求的變動幅度等于價格的變動幅度，此時，R′=0，取得最大收益。

2積分學在經濟學中的應用

作為導數（微分）的逆運算，如果我們已知邊際函數F′（x），通過不定積分運算，可求出原經濟函數F（x）=∫F′（x）dx ，其中常數C可由經濟函數的具體條件確定。我們也可以利用牛頓萊布尼茲公式

∫x0F′（x）dx=F（x）-F（0）

求得原經濟函數

F（x）=∫x0F′（t）dt+F（0）

并可由此求原經濟函數從a到b的變動值

ΔF=F（b）-F（a）=∫baF′（x）dx

比如說成本函數C（x）=∫x0C′（t）dt+C0，其中C′（x）為邊際成本，C0為固定成本。收入函數R（x）=∫x0R′（t）dt，因為R（0）=0。利潤函數

L（x）=R（x）-C（x）=∫x0R′（t）-C′（t）dt-C0=∫x0L′（t）dt-C0

其中∫x0L′（t）dt稱為產銷量為x時的毛利，毛利減去固定成本即為純利。

3無理數e在經濟學中的應用

3.1經濟學中關于無理數e的計算及函數Aert的應用

從數學上看，數e等于極限limx→∞1+1xx。在經濟學中，它可以解釋成復利的一種具體計算過程的結果。

假設張某有本金1美元，一個銀行年利率為100%（每年1美元利息）。若利息按復利每年計算一次，那么第一年末資產價值為2美元，我們用P（1）表示此值，其中括號里的數字代表一年內計算復利的次數。endprint

P（1）=本金×（1+利息率）=1×（1+100%）=2

但是，如果半年計算一次復利，則六個月末利息等于本金的50%（本金的一半）。因此在第二個六月期間，本金為1.5美元，此期間利息按1.5美元的50%計算。所以年末資產可用如下公式表示：

P（2）=（1+50%）×（1+50%）=（1+50%）2

以此類推，我們可以用表達式來表示它們的關系：

P（m）=1+1mm

其中m表示1年內進行復利計算的次數。

當利息在一年內連續按復利計算時，就是說當m取無窮大時，資產價值將以“利滾利”的方式增長，在一年末變成：

limm→∞P（m）=limm→∞1+1mm=e

因此，如果按年利率100%連續計算復利，那么無理數e可以解釋為1美元本金到年底的價值（其中應要注意：100%的利息率僅是名義利息率，若一年后1美元變成e美元，那么該情況下的實際利率約為每年172%）。

假設初始本金為A美元，名義利息率為r，投資t年，復利計算公式將變為：

P（m）=A1+rmmt

不難得出，連續復利計算方法求得的資產價值為P=limm→∞P（m）=Aert與前面的預期相同（其中應要注意的是t是一個離散的變量）。

3.2無理數e和銀行業

在今天的銀行業里， 無理數e對銀行家們是一個非常重要且不可或缺的數。到底它與銀行業有什么樣的關系呢？起到什么樣的重要作用呢？我們不妨看銀行的儲存利息的問題：

正如剛才的分析，如果一家銀行的年利率是1（即100%），那么半年的利率就是50%；相對的一個月的利率就是……更具體一點就是倘若有位客戶儲戶在銀行存1元錢，如果他一年存兩次，那么他就多得0.25元的利息，如果一年存三次，那么他就多得0.37元的利息……這樣下去你是不是會發現，存儲戶只要多存幾次多幾次手續，那么他就可以多得很多利息了，這樣下去那些多得的利息錢從哪兒出呢？

通過上面的案例分析，是不是也讓你感覺到在1年的時間內，存取款越頻繁，就會得到越多的利息呢？事實真的是這樣嗎？咱們一起來分析一下，如果存取款的次數是可以無限增加的，那是不是哪怕如果只有一元錢，但是在1年的時間里，也許他可能就會增加到1萬元錢？如果有這樣的事情，是每個人都十分期待的發生的！但是，實際情況并不是這樣的，當存取款的次數很少時，每多存取一次，增加的利息收益還是很好的，然而，隨著存取次數的不斷增加，我們會發現，總利息增加的幅度越來越小，并且無法跨過無理數e這個數值。這就意味著，即使一個人存取次數為無限多，1年后，1元會變成大概2.7183元，這一年的總利息最多為1.7183元。

雖然不能讓1元錢在一年里變成10000元，但儲戶們為了得到最大的利益想，仍然會不斷地多次存入取出，這樣造成儲蓄的混亂。所以，雖然從直覺上我們認為利率與存期成正比，但實際操作中，它卻存在著重大的缺陷。事實上，理想的儲蓄與中國人民銀行制定的下表定期存款利率相違背。

表1定期存款利率

存期3個月6個月1年

利率（%）0.4951.082.25

根據以上數據顯示可知，1年的利率2.25是6個月的利率1.08的2倍多一點，6個月的利率1.08又是3個月的利率0.495的2倍多一點。

參考文獻

[1]華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.endprint