多欠驅動自主水面船的魯棒協調控制器設計

朱齊丹， 馬俊達， 劉志林， 劉可

(哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱150001)

近年來，自主水面船(autonomous surface vehicle，ASV)協調控制問題成為船舶運動控制領域的研究熱點之一。相較于單個ASV，多ASV協調作業有活動范圍大、魯棒性與容錯性強等優點[1]，因而廣泛應用于海底繪圖、資源勘探、環境監控以及其他軍事鄰域等[2]。ASV根據控制輸入數量分為全驅動ASV與欠驅動ASV。全驅動ASV協調控制相對簡單，其研究成果已相對成熟[2-4]。由于欠驅動ASV在側向缺少控制輸入，屬于含二階非完整約束的欠驅動系統[5]，所以全驅動ASV[2-4]與非完整移動機器人[6]的協調控制研究成果無法直接應用。此外，ASV易受到復雜海洋環境的干擾，且船之間通信伴隨著延時，這都為多欠驅動ASV協調控制帶來了困難。

欠驅動ASV協調控制按照研究方法可分為領航者-跟隨者法[7]、基于行為法[8]、虛擬結構法[9]以及基于圖論法[10-12]。基于圖論法的協調控制是指各個船之間通過無線網絡交換信息，進而實現協調控制。目前，基于圖論的欠驅動ASV協調控制問題研究較少。Dong[10]利用圖論和Lyapunov理論實現了多欠驅動ASV以一定期望隊形跟蹤期望軌跡，但需要假設其艏向角速度持續激勵，即期望軌跡不可以是直線；B?rhaug[11]將控制分為基于視線導航原理的實現跟蹤和非線性協同律兩部分，并用非線性級聯理論證明了系統的穩定性，但該方法僅限于直線跟蹤；上述兩種策略共同缺點是期望軌跡無法同時跟蹤直線和曲線，且依賴于精確的ASV數學模型；針對ASV模型不確定問題，Peng[12]基于動態面神經網絡法提出了一種魯棒軌跡協同策略，但其在線運算量較大，不易于工程實際，且僅實現了半全局閉環系統穩定。

基于圖論法的協調控制的核心問題是如何設置協議使得各個ASV特定狀態在時間上是趨于一致的，即一致性問題。近十年來，一致性理論廣泛應用于一階系統[13]、二階系統[14]、拉格朗日系統[15]以及其他復雜非線性系統[16]。一階或二階系統的一致性算法是完美的，但如何將其與欠驅動ASV這類特殊模型相結合，并考慮通信延時是充滿挑戰的。此外，上述一致性算法并未考慮實際物理約束。

針對上述問題，本文借鑒文獻[17]點對點引導原理，利用反演技術和上下界快端滑模法，結合圖論、Lyapunov穩定性理論以及約束函數特性等相關知識，提出了一種基于通信延時下的多欠驅動ASV魯棒協調編隊控制策略，實現了在外界環境干擾、水動力參數攝動以及通信延時情況下的軌跡協同。在運動學回路中，結合圖論相關知識、Lyapunov穩定性理論以及飽和函數特性設計一種基于飽和延時特性的一致性虛擬控制律來實現協同控制目標；在動力學回路中，利用上下界終端滑模法實現對虛擬控制的跟蹤，且能夠較好抑制水動力參數變化以及外界海洋環境干擾對協同控制的影響；最終證明了多ASV閉環系統的全局穩定性；此外，本文進一步考慮了通信延時下的魯棒協調控制。

1 圖論與穩定性理論

首先給出圖論相關知識：

考慮N個ASV組成的協調系統，ASV之間的通信拓撲結構可由無向連通圖G=G(V,ε)表示。G包含節點集合V={v1,v2,…,vN}和邊集ε={(ni,nj)∈V×V}，其中εij=(ni,nj)表示信息從節點ni傳遞至節點nj，同時εij∈ε意味著εji∈ε。如果ASVi可以獲得ASVj的相關信息，一定存在邊εji∈ε，即G是無向的，此時稱ASVj是ASVi的一個鄰居。對于ASVi，其所有鄰居的集合可用表示Ni。圖G的一個路徑是指一組有向邊構成的連通邊集合。如果無向圖G中的任意兩個節點都存在一個路徑，則稱G是連通的。定義無向圖G的鄰接矩陣A=[aij]∈RN×N，如果εji∈ε，則aij=aji=1；反之aij=aji=0。定義圖G的入度矩陣D=[dij]∈RN×N，若i≠j，dij=0；若i≠j，

進一步，定義無向圖 的Laplacian矩陣L，其滿足L=D-A。若無向圖G是連通的，則0是L特征值且L的其他非零特征值為正數，即L半正定。

給出級聯系統穩定性引理。

引理1[5]針對以下兩個子系統構成的非線性時變級聯系統：

(1)

(2)

式中：x1∈Rn1,x2∈Rn2,u∈Rn3。函數f1(t,x1)在(t,x1)上連續可微，f2(t,x2,u)和g(t,x1,x2)是局部Lipschitz且連續。若上述級聯系統滿足以下條件，則該系統是全局一致漸進穩定(globally uniformly asymptotically stable, GUAS)：

2)級聯項函數g(t,x1,x2)滿足對任意時刻t有

‖g(t,x1,x2)‖2≤θ1(‖x2‖2)+

θ2(‖x2‖2)‖x1‖2

(3)

式中θ1、θ2:R≥0→R≥0為連續函數；

3)存在控制律u使得子系統(2)全局漸進穩定(globally asymptotically stable, GAS)。

進一步給出有限時間穩定性引理：

引理2[18]考慮自治系統：

(4)

其中X∈Rn，函數f:D→Rn是包含原點的定義域D到n維空間Rn的連續映射。針對式(4)，若存在一個連續可微正定函數V(X):D→R滿足：

(5)

式中：常數c1,l>0且α1∈(0,1),原點開鄰域D0∈D，則系統(4)局部有限時間穩定(locally finite time stable, LFTS)，即在時間T(X0)內系統穩定，且抵達時間T(X0)滿足：

(6)

若D=Rn，且式(5)在Rn/{0}上均成立，則系統(4)全局有限時間穩定(global finite time stable, GFTS)。

引理3[19]考慮自治系統：

針對系統(4)，若存在一個連續可微正定函數V(X):D→R滿足：

(7)

式中：常數c2>0且α2∈(0,1),原點開鄰域D0∈D，則系統(4)局部有限時間穩定LFTS，即在時間T(X0)內系統穩定，且抵達時間T(X0)滿足：

(8)

若D=Rn，不等式(7)在Rn/{0}上均成立，則系統(4)全局有限時間穩定(GFTS)。

2 控制問題描述

2.1 單個ASV數學建模

ASVi水平面運動學與動力學方程表示為[20]

(9)

(10)

式中：(xi,yi)表示ASVi在大地坐標系下的位置信息，ψi表示ASVi艏向角信息；ui、vi以及ri分別表示ASVi的體坐標系下的前進速度、橫移速度以及艏向角速度；m11、m22以及m33表示ASVi包含其附加質量的慣性參數且均為正數；du、du2、dv、dv2、dvr、dr、dr2、drv表示ASVi的水動力阻尼項參數且均為正；τwui、τwvi以及τwri表示ASVi收到的外界海洋環境干擾。τui與τri分別表示船的縱向控制輸入與艏向控制輸入。由于ASV 在側向沒有控制力矩，即本文研究的是欠驅動ASV控制問題。

假設2ASV之間的通信拓撲是無向連通的。

2.2 問題描述

設N個ASV的參考軌跡的位置信息為pd(t)=[xd(t)yd(t)]T∈R2, 期望幾何隊形定義為Δ={Δi},其中Δi=[Δxi(t),Δyi(t)]T∈R2,i=1,2,…,N。

進一步，定義ASVi位置跟蹤誤差為

xei=xd+Δxi-xi,yei=yd+Δyi-yi

(11)

借鑒文獻[17]點對點引導原理，定義ASVi距離跟蹤誤差與艏向角跟蹤誤差為

(12)

式中：ψdi=arctan 2(yei,xei)∈(-π,π]表示ASVi相對于期望軌跡的期望艏向角，即軌跡協同問題可以轉化為對跟蹤誤差dei,ψei的鎮定與協同一致。

注意2從ψdi的定義可以看出，當xei收斂于0時期望角ψdi將產生奇異現象。為此，引入了正常數偏置量δ，將控制問題轉化為鎮定zei=dei-δ。

假設3針對ASV的物理約束，假設ψdi個ASV的虛擬領導者ψdi的一階二階導數有界。

協同編隊控制目標歸納為：在假設1～3的情況下，針對欠驅動ASVi式(9)和(10)，利用自身狀態信息與其鄰居跟蹤偏差信息ψdi設計魯棒協同控制律ψdi使得ASV的ψdi漸近跟蹤其期望軌跡并與編隊系統其他鄰居保持協同一致，即滿足:

(13)

(14)

3 無通信延時下控制器設計

針對控制目標(13)和(14)，考慮ASV之間無通信延時下的協同編隊控制問題。整個設計過程分為三個步驟：1)在運動學回路設計一種基于飽和約束函數的協同虛擬控制律αui與αri；2)設計一種基于上下界滑模的魯棒控制器設計魯棒控制律τui與τir使得ASVi縱向速度與艏向轉速快速收斂于其對應虛擬控制律；3)利用級聯穩定性理論證明了N艘欠驅動ASV的閉環系統穩定性。

3.1 運動學回路設計

對式(12)求導，經整理可得

2uisin2(0.5ψei)-ui

(15)

(16)

為實現控制目標(13)和(14)，提出一種ui與ri的虛擬控制律αui與αri:

tanhzej)-fi

(17)

(18)

進一步，給出定理1。

定理1針對偏差微分方程(15)和(16)，當縱向速度與艏向速度滿足ui=αui,ri=αri,且其中控制參數kui,kri,pui,pri,滿足：

(19)

則控制目標(13)和(14)成立。

證明選擇如下Lyapunov能量函數：

(20)

顯然有V0≥0，并當且僅當zei=ψei=0時有V0i為零。對V0i關于時間t求導得

(21)

式中：Pu=diag(pu1,pu2,…,puN),Pr=diag(pr1,pr2,…,prN),pui,pri>0,(i=1,2,…,N)。

(22)

(23)

(24)

證畢

注意3為實現協同控制目標，虛擬控制律αui與αri也可設計為

(25)

(26)

然而，系統在初始狀態下|zei|、|zej|、|ψei|、|ψej|，往往使得虛擬控制律αui與αri超過各個ASV 的縱向速度與艏向速度的物理極限值，造成控制失效。針對此問題，本文在虛擬控制律設計中引入了連續可微的飽和函數，防止初始偏差量過大對系統的影響。

(27)

(28)

3.2 動力學回路設計

3.2.1 縱向控制器設計

定義ASVi的縱向速度跟蹤誤差為

uei=ui-αui

(29)

定義關于uei的一階終端滑模面:

(30)

式中：常數λ1i,λ2i>0，0

對式(30)求導得

λ1im11uei)

(31)

(32)

同時考慮海洋外界干擾以及水動力參數不確定性，設計縱向控制律τui

τui=τu1i-Kuisign(S1i)=

(33)

進一步，選擇縱向Lyapunov能量函數：

(34)

對式(34)兩邊求導，并代入控制律式(33)可得

(35)

由引理3可知S1i在有限時間趨近于0，且抵達時間Tu1i滿足：

(36)

(37)

由引理2可知uei在有限時間內趨于0，且抵達時間uei滿足：

(38)

綜上論述，給出定理2。

定理2假設1～3成立，針對縱向速度跟蹤誤差uei，在采用控制律(33)的情況下，在任何初始狀態下跟蹤誤差uei都能在有限時間內趨于零附近鄰域，且收斂時間Tui滿足Tui≤Tu1i+Tu2i。

3.2.2 艏向控制器設計

定義ASVi的艏向速度跟蹤誤差:

rei=ri-αri

(39)

定義關于rei的滑模面

(40)

式中：常數γ1i,γ2i>0，0<σ<1。

對式(40)求導得

(41)

(42)

同時考慮海洋外界干擾以及水動力參數不確定性，設計艏向控制律τri：

τri=τr1i-Krisign(S2i)=

(43)

選取艏向Lyapunov能量函數：

(44)

對式(44)兩邊求導，并代入式(43)得

(45)

與定理2分析類似，這里不再展開，直接給出定理3。

定理3假設1～3成立，針對艏向速度跟蹤誤差rei，在控制律(43)作用下，在任何初始狀態下rei都能在有限時間內趨于零附近鄰域，且收斂時間滿足Tri≤Tr1i+Tr2i,其中Tr1i,Tr2i滿足：

(46)

整個ASVi控制結構如圖1所示，共包括三部分：引導系統、運動學回路以及動力學回路。首先，引導系統通過ASV自身位置信息以及參考軌跡產生期望航向角ψdi以及距離跟蹤誤差zei，并將信息傳遞給ASVi的鄰居以及運動學回路；進一步，運動學回路通過zej、ψdj，ASVi鄰居信息zej、ψdj和自身狀態信息產生縱向和艏向的虛擬控制律αui、αri來實現編隊協同一致的目標；最后，在運動學回路設計中考慮模型不確定以及外界環境擾動因素，設計魯棒控制律，實現縱向速度ui和艏向轉速ri對虛擬控制律αui、αri的復現。

3.3 穩定性分析

3.3.1 多ASV閉環系統的穩定性

在控制律(34)和(43)作用下，閉環系統(15)、(16)與(10)可分解為以下級聯結構：

(47)

(48)

(49)

此時定義連續函數ρ1(‖x2‖2)=1+‖x2‖2以及ρ2(‖x2‖2)=0滿足引理1的條件2。綜上所述，在假設1～3滿足條件下，N個ASV組成的閉環系統(47)與(48)是GUAS，即滿足(zei,ψei,uei,rei)T漸進趨近于(0,0,0,0)T。

3.3.2 橫移速度vi有界性

選取橫向Lyapunov能量函數：

(50)

對式(50)求導可得

(51)

4 基于通信延時下控制器設計

實際海洋環境比較復雜，ASV之間的相互信息交互往往伴隨著通信延時，這里假設信息從ASVj發送至ASVi的延遲時間為常數εij。針對式(15)與(16)，提出一種基于通信延時和狀態約束的ui和ri的虛擬協同控制律

tanh(zej(t-εij)))-fi

(52)

(53)

定理4針對運動學方程(15)和(16)，當縱向速度與艏向速度滿足ui=αui,ri=αri且控制參數kui、kri、pui、pri滿足式(19)，則

(54)

(55)

證明選擇如下Lyapunov能量函數

(56)

對式(56)求導，并代入(52)和(53)得

tanhzej(t-εij))2-

(57)

(58)

(59)

(60)

進一步得

證畢。

基于通信延時下的動力學回路設計及其穩定性分析與第3節一致，這里不在展開討論。

5 仿真實驗

為驗證魯棒協同控制律的有效性，采用四艘相同欠驅動ASV船模，其模型參數如表1所示[20]。假設欠驅動ASV之間的通信拓撲結構如圖2所示。

圖1 協調控制策略的結構圖Fig.1 Architecture of the coordination control design

參數數值參數數值m1125.8dv24.5m2233.8dvr0.2m332.76dr0.5du12dr20.1du22.5drv0.5dv17

通信拓撲結構對應Laplacian陣設為

設定參考軌跡為pd(t)=(0.05t，0.015t)及各個ASV對應的期望隊形向量分別為

Δ1=(-4;0),Δ2=(0;-4),Δ3=(4;0),Δ4=(0;4);4個ASV的初始速度為ui(0)=vi(0)=0 m/s;ri(0)=0 rad/s;(i=1,2,…,N)。

圖2 通信拓撲圖Fig.2 Communication topology

初始位置向量為

η1(0)=(-5，-1.8，-π/4),η2(0)=(1.5，-5.2，-π/6),η3(0)=(5，-1.4，π/3),η4(0)=(-1.25，4.3，π/3)。

設定偏置量為δ=0.3,控制參數為

kui=0.015,kri=0.3,pui=pri=0.02,λ1i=0.5,λ2i=0.1,γ1i=0.5,γ2i=0.1,p=σ=0.75。

水動力參數估計誤差取：

M11=0.02m11,M22=0.02m22,Du=0.02du,Du2=0.02du2,Dv=0.02dv,Dv2=0.02dv2,Dvr=0.02dvr,Dr=0.02dr,Dr2=0.02dr2,Drv=0.02drv。

下面分析三種不同情況下的協同控制效果。

5.1 實時通信與無干擾情況

圖3～5給出的是多ASV協同控制系統在實時通信與無外界環境干擾下的控制效果。4艘ASV運動軌跡曲線如圖3，可以看出各個ASV能夠以期望隊形運行；各個ASV的距離跟蹤誤差和艏向角跟蹤誤差分別如圖4與5所示。從圖中可以發現dei、ψei在100 s時候趨于一致，dei最終收斂于0.3左右(即zei收斂于零附近鄰域)，ψei收斂于零附近，即實現了協同控制目標(15)和(16)。

圖3 實時通信與無干擾下各個ASV的運動軌跡Fig.3 Trajectory of each ASV without considering the communication delay and the external disturbance

圖4 實時通信與無干擾下位置跟蹤誤差Fig.4 Time evolution of position errors without considering the communication delay and the external disturbance

5.2 通信延時1 s環境擾動情況

圖6～8為同時考慮通信延時、參數攝動以及外界環境干擾作用下的協同控制效果。假設ASV受到的環境擾動為

τwui(t)=0.35sin(0.012t+π/6)+0.05
τwvi(t)=0.018cos(0.01t+π/4)+0.002
τwri(t)=0.042sin(0.008t+π/4)+0.008

從圖6可以看出在外界干擾下各個ASV仍能夠按照其期望隊形運行；從圖7和8可以看出曲線在瞬態和穩態都出現了波動增大的現象，但最終曲線均收斂于平衡狀態附近，即實現了控制目標。

圖5 實時通信與無干擾下艏向角跟蹤偏差Fig.5 Time evolution of heading errors without considering the communication delay and the external disturbance

圖6 在通信延時1 s和外界干擾下各個ASV的運動軌跡Fig.6 Trajectory of each ASV with considering the communication delay 1 s and the external disturbances

圖7 在通信延時1 s和外界干擾下位置跟蹤誤差Fig.7 Time evolution of position errors with considering the communication delay 1 s and the external disturbances

圖8 在通信延時1 s和外界干擾下艏向角跟蹤偏差Fig.8 Time evolution of heading errors with considering the communication delay 1 s and the external disturbances

6 結論

1)與文獻[13]相比，本文提出一種基于飽和約束的一致性算法，防止變量較大時控制輸入超過模型的物理約束；

2)本文克服了文獻[10]需要假設艏向轉速持續激勵的問題，即可以同時實現對直線與曲線軌跡的協同跟蹤;

3)與文獻[10-12]不同，本文借鑒文獻[17]的引導部分，將系統分為運動環和動力環，并將閉環編隊控制系統構建成級聯系統形式，證明了系統的全局穩定性；

4)區別于文獻[9,12]，本文無需在線估計不確定項，克服神經網絡設置參數過多的難題，僅需設定干擾與參數攝動的上界，設計參數少，具有結構簡單、魯棒性強等優點。

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本文引用格式：

朱齊丹， 馬俊達， 劉志林， 等. 多欠驅動自主水面船的魯棒協調控制器設計[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017， 38(12): 1897-1905.

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