微弱GPS信號矢量頻率鎖定環設計

羅士棟， 張洪倫， 巴曉輝， 陳杰

(1.中國科學院 微電子研究所，北京 100029； 2.中國科學院大學 電子電氣與通信工程學院，北京 100049)

全球衛星導航系統(GPS)提供的導航服務已經廣泛應用到全球各個領域，為了滿足在城市峽谷、密林等信號衰減嚴重環境下的信號跟蹤定位，對GPS接收機設計提出新的挑戰[1-2]。

由于載波跟蹤環是獨立GPS接收機最脆弱的環節[3]，一般情況下先于碼跟蹤環失鎖，因此載波跟蹤環在某種程度上決定了未受輔助的GPS接收機的性能，成為設計的關鍵。由此，文獻[4-8]針對如何提高載波跟蹤靈敏度進行了研究，其中文獻[4-7]將卡爾曼濾波及其擴展方法應用于載波跟蹤，文獻[8]給出一種基于FFT的高靈敏度GPS跟蹤算法，這些方法都在一定程度上改善了跟蹤靈敏度。

在單點定位時，接收端在同一時刻為所有可視衛星所共有，不同衛星信號之間具有潛在相關性，同時信號跟蹤與導航解算之間也具有相關性，跟蹤信息可用于用戶狀態估計，用戶狀態與衛星狀態決定偽碼相位與載波頻率偏移[9-10]，但文獻[4-8]都忽略了這些相關性。文獻[10]引入矢量跟蹤的概念，而傳統方法稱為標量跟蹤，提出矢量延遲鎖定環(vector delay lock loop，VDLL)，通過一個濾波器同時對所有通道碼跟蹤環進行處理，代替分立的延遲鎖定環(delay lock loop，DLL)，充分利用不同通道間的相關性。文獻[11]使用經驗跟蹤門限的方法對VDLL和矢量延遲/頻率鎖定環(vector delay/frequency lock loop，VDFLL)的熱噪聲性能進行分析，通過理論推導證明矢量跟蹤性能優于標量跟蹤。文獻[12-15]針對VDFLL及其在弱信號環境下的性能進行分析研究，但針對VFLL的研究很少。由于載波環比碼環更容易失鎖，并且考慮到VFLL實現較VDFLL簡單，本文針對VFLL及其在微弱GPS環境下的信號跟蹤進行研究，相比現有文獻詳細的給出了VFLL理論推導及實現過程，并以最小二乘估計方法證明VFLL在載波跟蹤性能上優于FLL。

1 VFLL基本原理

基于位置解算完成的前提條件下，給出方向余弦矩陣，同時根據獲得的星歷數據計算當前時刻衛星的速度，就可以實現VFLL，進行速度估計和頻率跟蹤。下面給出具體實現過程。

標稱載波頻率為fc，接收機接收到的第i顆衛星信號的載波頻率為fr,i，本地估計載波頻率為fl,i，先不考慮噪聲，則鑒頻器輸出為

FDi=fr,i-fl,i

(1)

考慮用戶與衛星相對運動，載波頻率為

(2)

(3)

(4)

式中：fc與fr,i相差很小，可近似認為相等[3]。

由式(2)、(4)整理得

(5)

(6)

用fl,i更新本地載波發生器，從而由式(1)、(5)、(6)可推出當前時刻第i通道頻率鑒別器輸出為

(7)

(8)

(9)

1.1 擴展卡爾曼濾波模型

(10)

其中觀測矩陣為

(11)

(12)

觀測噪聲協方差矩陣為

(13)

狀態方程表示為

(14)

其中狀態轉移矩陣為

(15)

過程噪聲協方差矩陣為

(16)

1.2 卡爾曼濾波具體過程

當接收機穩定跟蹤并且得到PVT解算之后，就可以初始化和啟動VFLL。

1)VFLL狀態的每一次更新，需要根據位置解算計算出方向余弦矩陣HN×4；

(17)

6)卡爾曼增益矩陣為

(18)

10)利用式(2)或式(5)對各個通道載波頻率進行估計。

2 VFLL與FLL偽距率誤差方差比較

弱信號跟蹤中，通常使用FLL代替相位鎖定環(phase lock loop,PLL)進行頻率跟蹤，假設有N個通道同時跟蹤，鑒頻器輸出N個偽距率誤差觀測量。位置的最大似然估計需要將所有的觀測信號同時在一個矢量環路中進行處理[10]，同理，對所有的偽距率誤差觀測量同時進行處理才有可能獲得最優的速度估計。當單顆衛星信號強度不足以進行頻率跟蹤時，來自所有衛星的信號可能能夠進行速度估計，通過速度估計值反過來對頻率進行跟蹤。引言部分已經指出接收機中一些潛在相關性，并且當同時跟蹤多于4顆衛星信號時，矢量跟蹤需要估計的變量較標量跟蹤少[11]，估計方程為超定方程，都可能使跟蹤性能提高，但是超定方程并不一定意味著性能更好，觀測量與接收機狀態的關聯方式至關重要。

文獻[11]通過加權最小二乘的方法給出VDLL跟蹤性能優于DLL的證明，但是在證明過程中假設所有通道的噪聲獨立同分布為高斯噪聲，并且未給出WN×N對角線元素小于1的證明。本文基于文獻[11]，利用加權最小二乘方法，在更一般情況下證明VFLL跟蹤性能優于FLL。

假設提供N個偽距率誤差觀測量，數據模型為

(19)

簡記為

(20)

其加權最小二乘估計為

(21)

(22)

由式(12)可得到狀態誤差最小二乘估計為

(23)

(24)

為了能夠和FLL跟蹤進行比較，用估計的狀態誤差對偽距率誤差進行估計為

(25)

(26)

A、B為任意兩個n×n實矩陣，當A-B為正定矩陣時記為A>B，當A-B為非負定時記為A≥B。由Schwarz不等式[16]得到：

QTQ≥(PTQ)T(PTP)-1(PTQ)

(27)

式中：(PTP)為非奇異，當且僅當存在某個矩陣S使Q=PS時，取等號。

Rv為對角矩陣且非奇異，將Rv作如下分解：

(28)

根據式(27) (28)推導如下：

(29)

通過對比VFLL和FLL對偽距率誤差估計的協方差分析，可得當可見衛星超過4顆時，矢量跟蹤方法估計的偽距率誤差方差變小，性能優于標量跟蹤方法。同時，由WN×N的表達式可以得到矢量跟蹤的性能與可見衛星數目及衛星的分布情況有關[11]。

3 基于擴展卡爾曼濾波器的VFLL實驗結果與分析

實驗之前，需要考慮下面幾個方面：

1)考慮低動態情況下的應用，卡爾曼濾波更新速度不需要很長，取0.5 s更新周期；

2)為了得到高的跟蹤靈敏度，針對GPS信號，使用20 ms數據進行鑒頻；

3)每個跟蹤通道頻率鑒別時刻不同，但在低動態情況下，可以忽略這種差異，使用距離卡爾曼濾波更新時刻最近的鑒別時刻對應的鑒頻結果；

4)為了進一步提高載波跟蹤靈敏度，可以使用更新時刻之前的幾個鑒頻結果進行平均操作，再作為觀測量輸入VFLL。

分別采用仿真程序和思博倫信號發生器產生GPS數據，選擇靜止場景、9顆衛星，信號強度逐漸遞減，如表1所示，并且為了對比，仿真程序產生一個載噪比(C/N0)恒定為40 dB/Hz的信號，其他參數設置與前面提到的用仿真程序產生的數據一致。

表1 GPS信號強度設置Table 1 GPS signal strength setting

碼跟蹤環，作20 ms相干累加，4次非相干，等效噪聲帶寬0.25 Hz，位置解算使用最小二乘方法， 將位置信息輸入VFLL模塊。

采用VFLL對仿真程序產生的兩個GPS數據分別進行處理，圖1為某顆衛星載波跟蹤結果，并且給出理論C/N0，隨著信號強度降低，估計頻率在理論值附近波動，當信號強度低至13 dB/Hz時，VFLL無法對信號進行跟蹤。圖2為Spirent STR4500信號發生器產生GPS數據中某顆衛星信號跟蹤結果，并給出相應C/N0估計結果，從圖中可以得到在540～660 s時C/N0估計值在14 dB/Hz附近波動，輸出頻率偏移沒有出現大的波動，即信號低至14 dB/Hz時VFLL依然可以進行載波跟蹤。文獻[2]在沒有比特先驗信息情況下能夠跟蹤15.5 dB/Hz衛星信號，而本文給出的VFLL能夠跟蹤至14 dB/Hz。

圖1 仿真程序產生GPS數據的VFLL跟蹤結果及對應理論載噪比Fig.1 VFLL tracking results based on simulated GPS data and its theoretic C/N0

圖2 信號發生器產生GPS數據的VFLL跟蹤結果及對應估計載噪比Fig.2 VFLL tracking results based on GPS data generated by STR4500 and its estimated C/N0

4 結論

1)通過對比VFLL和FLL對偽距率誤差估計的協方差分析，可得當可見衛星超過4顆時，矢量跟蹤方法估計的偽距率誤差方差變小，性能優于標量跟蹤方法。

2)采用仿真程序和Spirent信號發生器產生GPS數據，選擇靜止場景、9顆衛星，信號低至14 dB/Hz時基于擴展卡爾曼濾波器的VFLL依然可以進行載波跟蹤，與文獻[2]相比跟蹤靈敏度提高了1.5 dB左右。

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本文引用格式：

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