基于靈巧度的手術機械臂尺寸與結構優化

于凌濤， 楊景， 王嵐， 湯澤旭， 莊忠平

(哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

機器人輔助微創外科手術作為目前研究的熱點領域，隨著機器人技術的發展也變得更加成熟。機器人輔助微創外科手術相比較于傳統的微創外科手術具有獨特的優勢，例如，從根本上改變了醫生的手術方法和手術環境，有效減少了操作醫生的疲勞和手術中的誤操作，從而大大提高了微創外科手術的效果[1]。現在微創外科手術機器人的結構已經逐漸成熟，其中較為有名的商業化的手術機器人系統有AESOP系統[2]、Zeus系統[3]和Da Vinci手術系統[4]等。

由于機械臂的尺寸和結構對自身的運動性能影響很大，因此如何通過優化幾何參數和拓撲結構得到較優的運動性能在機械臂的設計過程中具有重要的意義。鄧宗全等[5]基于變密度法對搖臂懸架進行了結構拓撲優化設計。賈世元等[6]提出了姿態可操作度的指標，并利用該指標對機械臂的尺寸進行了優化。丁淵明等[7]提出一種基于工作空間和能量消耗的綜合指標對機械臂的結構進行了優化。岳龍旺等[8]將條件數的倒數作為靈活度指標實現對雙四連桿機構的參數優化。楊世強等[9]基于對模型的有限元分析，對關鍵構件進行了減重設計和結構優化。杜志江等[10]利用條件數和可操作度建立了綜合性能指標，并基于該指標實現了對遠心點調整機構的桿件參數的優化，王宏民等[11]基于全域性能指標對主操作手結構進行了優化。趙凱等[12]以可操作度為性能指標，對機械臂被動關節參數進行了優化，提高了整體的靈活性。Surbhi Gupta等[13]基于手術中可能的切口位置數量和空間可達性，實現了對三自由度串聯手術機械手桿長參數的優化。

結合實際手術機械臂的運動要求，以機械臂運動的靈活性和平穩性為首要要求，建立能夠反映該要求的評價指標。通過對手術機械臂遠心點調整機構運動學性能的分析，建立了基于全域空間內的條件數均值和條件數波動值的手術機械臂的綜合靈巧度評價指標，實現對手術機械臂遠心點調整機構的尺寸優化。基于對手術機械臂的有限元分析，對被動關節進行了結構優化。

1 通用手術機械臂結構

優化的微創外科手術通用機械臂如圖1所示，分為主動關節與被動關節，主動關節主要用于手術過程中調整腹腔鏡或者微器械末端的位姿，被動關節主要用于術前調整遠心點位姿。機械臂末端可以安裝腹腔鏡或者微器械，對應的成為持鏡臂和持械臂。一般的手術系統由一條持鏡臂和兩條持械臂組成，如圖2所示。在手術過程中，持鏡臂實時為醫生提供病人腹腔內的手術視野，持械臂通過醫生控制的主手實現手術過程中對病灶區域的操作。

圖1 微創外科手術機械臂結構Fig.1 The CAD model of surgical robot arm

圖2 機器人輔助微創外科手術系統Fig.2 The minimally invasive surgical robot system

雙平行四邊形機構可以從機械角度保證手術過程中遠心點的固定位置(如圖3所示)，防止遠心點偏移術前規劃位置發生手術事故。

圖3 雙平行四邊形機構Fig.3 Double tandem parallelogram mechanism

2 遠心點調整機構尺寸優化

遠心點調整機構對機械臂的靈活擺位有重要的影響，因此針對遠心點調整機構的尺寸參數進行優化。

2.1 遠心點調整機構運動學分析

根據通用手術機械臂的結構分析，建立被動關節部分的運動學坐標系，如圖4所示。機構初始的連桿參數如表1所示。

圖4 通用手術機械臂被動關節坐標系Fig.4 The coordinate system of general surgical arm passive joints

關節li/mmai/raddi/mmθi/rad100a102a200θ13a300θ240-(π/2+p1)a4θ3

根據圖4中的運動學坐標系及表1中的D-H參數，可以得到各個關節之間的齊次轉換矩陣：

式中p1=π/4。

聯立關節之間的轉換矩陣，即可得到遠心點坐標系xnynzn在基坐標系x0y0z0下的位姿矩陣:

0Tn=0Tn1Tn2Tn3Tn

(1)

各關節的運動范圍為

由于第一被動關節對機械臂的運動性能不存在影響，因此優化過程不考慮該關節。為驗證運動學模型的正確性，在Matlab中搭建Simulink模型，如圖5所示。以被動關節Simmechanics模型的輸出為實際值，運動學模型的輸出為理論值。設置仿真時間為10 s，運行仿真可以得到關節的輸入角度和遠心點位置誤差，如圖6所示。仿真結果顯示建立的被動關節的運動學模型是正確的。

圖5 機構正運動學模型Simulink驗證模型Fig.5 The Simulink model of the forward kinematics model

圖6 正運動學驗證結果Fig.6 The verification results of forward kinematic model

2.2 建立綜合靈巧度評價指標

根據遠心點調整機構的正運動學模型，可以得到遠心點在基座標系下的坐標：

式中:a1、a2、a3、a4為遠心點機構幾何尺寸，θ1、θ2、θ3為關節轉角。

由于第一被動關節對機構的靈巧度沒有影響，因此不考慮第一被動關節。雅可比矩陣可以通過對θ1、θ2、θ3求導得到：

(3)

機械臂的運動性能評價指標有很多，這些指標也被廣泛應用于機構尺寸的優化中。其中應用最廣泛的是機構的靈巧度，機構靈巧度是指末端沿任意方向到達指定位姿的運動能力。雅可比矩陣的條件數是一個重要的靈巧度指標，條件數越接近于1，說明在該位姿下的運動性能越優[14]，定義如下

KJ=‖J‖·‖J-1‖

(4)

式中J為雅可比矩陣：

(5)

式中:λmax為雅可比矩陣最大特征值,σmax為雅可比矩陣最大奇異值。

由于條件數只與機械臂關節的轉角和結構尺寸有關，反映了機械臂在指定位姿下的運動能力，但不能反映在全域空間內的運動能力，對此提出了全域空間條件數均值(GCI)這一指標，即對條件數在整個運動空間內取平均值，這一指標可以反映在整個運動空間內運動學靈巧度和位置誤差的總體性能:

(6)

式中:KJ為指定位姿下的條件數，W為全域工作空間。

考慮到GCI指標并沒有反映出隨著各個位置變化時的空間靈巧度波動情況，對此提出了運動學雅可比矩陣條件數波動性能指標(GCIF)，即在全域工作空間內對雅可比矩陣條件數取方差：

(7)

考慮到以上兩個指標對機械臂的運動靈巧度同樣重要，因此對兩個指標進行加權處理，作為綜合靈巧度評價指標CDI：

CDI=k1GCI+k2GCIF

(8)

式中k1、k2為對應項加權系數。

2.3 設計優化變量及分析

在優化前利用初始參數對機械臂進行分析，根據實際手術中的擺位角度研究，關節的轉角范圍為35°≤θ1≤85°,-90°≤θ2≤-55°，-160°≤θ3≤-135°遠心點的工作空間如圖7所示，條件數的分布如圖8所示。

圖7 遠心點運動空間XY投影Fig.7 XY plane projection of the workspace of the remote center

圖8 初始桿長條件下的條件數分布Fig.8 The distribution of condition number under initial geometry

由于運動學性能指標主要由關節角度變化范圍和關節桿長所決定的，而常用角度取值范圍主要依據手術過程中醫生的觀察角度及方便術前擺位要求等其他條件所確定，變化范圍不大，故此項約束不做研究。三個關節桿長與角度變化范圍決定了運動學性能、工作空間及關節內部零件的安裝尺寸等，故以工作空間為約束，以三個桿長(a2，a3，a4)為設計變量。考慮到關節2和關節3的結構相似，因此設置l0=a2=a3，l1=a4sinp1，限定桿長范圍為140≤l0≤260 mm，310≤l1≤400 mm。

為了更全面的研究手術機械臂的運動目標性能，采用逐步求解的方法分析每個被動關節桿長對目標性能的靈敏度。通過編寫M文件得到全域空間內條件數均值與條件數波動值在變量約束范圍內的分布，如圖9、10所示。

圖9 變量對條件數均值的影響Fig.9 The influence of variables on the mean condition number

圖10 變量對條件數波動值的影響Fig.10 Effect of variables on the fluctuation of conditional number

從以上仿真結果可以得到：在設計變量約束范圍內，隨著桿長的變化，全域空間內的條件數均值變化范圍為(4,9)，而條件數波動值變化范圍為(6,10)，兩者變化范圍在同一數量級。考慮到這兩項指標在優化指標中地位同等重要，將其進行線性加權處理，權重因子分別取0.5，即k1=k2=0.5。

2.4 優化算法和優化結果

通過編寫M文件，分析設計變量對綜合目標性能的靈敏度，如圖11所示。從仿真結果中可以看出綜合靈巧度指標隨著桿3的長度增加呈現先遞減后遞增的趨勢；而隨著桿1長度的逐漸增大，目標性能開始階段一直遞減，后半段變成一直遞增的趨勢。綜合靈巧度指標隨桿長的變化趨向如圖12所示。

減小設計變量的變化梯度，得到設計變量對綜合靈巧度指標的影響關系如圖13所示，從中選擇對應最優綜合靈巧度指標的參數為最終的優化桿長，得到l0=185 mm，l1=370 mm。利用優化后的桿長參數分析遠心點的工作空間和條件數的分布，相比于優化前的結果，遠心點的工作空間基本不變，全域空間內的條件數分布更加平緩，綜合靈巧度指標CDI提高了14.8%，全域條件數均值GCI降低了15.5%，全域條件數波動值GCIF減少了14.2%，如圖14、15所示。

3 結構分析和優化

首先對機械臂的結構進行分析，對整個手術機械臂進行靜力學分析、振動模態分析和關鍵零部件的疲勞分析，從而得到主要零件的強度分布及可優化空間，機械臂靜力學應力及形變云圖如圖16所示。

圖11 變量對綜合靈巧度指標的影響Fig.11 The effect of variables on the comprehensive dexterity

圖12 單獨變量對綜合靈巧度指標的影響Fig.12 The effect of individual variables on the comprehensive dexterity

圖13 變量對綜合靈巧度指標CDI影響分布Fig.13 The distribution of design variable for CDI

從仿真結果中可以發現，整個機構應力值較低且分布很不均勻，存在較大的材料冗余，需要對其優化。

對整個機械臂來說，過渡關節不單要承受整個主動關節的重力以及力矩，還要承受手術過程中關節變化所帶來的交變載荷，所以將過渡關節作為關鍵零部件進行分析。

圖14 優化后遠心點工作空間XY投影Fig.14 The XY plane projection of optimized workspace

圖15 優化后全域空間條件數分布Fig.15 The optimized condition index on global workspace

圖16 機械臂應力及形變云圖Fig.16 The nephogram of static stress and deformation

關鍵零件的分析結果如圖17所示，由分析結果可知，該過渡關節即使在加大載荷的情況下，疲勞壽命數量級也很大而且安全因子主要集中在轉軸的過渡變形部位，基本滿足手術要求。

根據最優受力結構對小臂進行參數化建模，以最大應力、變形和振動頻率為約束對其進行輕量化設計，分析及優化結果如圖18、19所示。

圖17 疲勞分析的安全系數分布Fig.17 The distribution of safety factor for fatigue analysis

圖18 優化前后的一階固有頻率Fig.18 The nephogram of first-order modal

圖19 優化后被動關節的應力應變云圖Fig.19 The nephogram of stress and strain for optimized joint

比較優化前后的指標可以得到：優化后各項指標有明顯的提升，優化后被動關節質量減少了21.9%，一階固有頻率減少26.9%，最大應力減小了22%，如表2所示。

表2優化前后指標對比

Table2ThecontrastofeachIndexbeforeandafteroptimization

指標質量/kg一階頻率/Hz最大應力/MPa優化前1.469454.136.18優化后1.147331.664.83比例/%21.926.922.0

4 結論

1) 借助于運動學雅可比矩陣的奇異值，構造了基于全域空間的條件數均值和條件數波動值加權的綜合靈巧度評價指標，并利用該指標對機械臂桿長參數進行優化，使優化后的機械臂靈活性指標達到最優。

2) 基于靈巧度指標得到的最優參數，以質量最小為目標，以最大變形、最大應力、一階固有頻率為約束，對被動關節進行結構優化設計，得到最優的受力結構及尺寸。

3) 優化結果表明，優化后的手術機械臂具有良好的運動性能，且實現手術機械臂輕量化的設計要求，從而提高了機械臂的整體的運動性能。優化后的機械臂很好地滿足了微創手術對機械臂機構靈活性的要求。

基于靈巧度指標對主動關節的參數進行優化和加權系數的細分將是下一步的工作。

[1] GYUNG T S,INDERBIR S G.Robotic laparoscopic surgery: a comparison of the daVinci and Zeus systems[J]. Urology， 2001, 58(6): 893-898.

[2] WANG Y F, UECKER D R, WANG Y L. A new framework for vision enabled and robotically assisted minimally invasive surgery[J]. Computerized medial imaging and graphics, 1998, 22(6): 429-437.

[3] GUTHART G S, SALISBURY Jr J K. Intuitive telesurgery system: overview and application[C]//IEEE International Conference on Robotics and Automation. Piscataway, USA, 2000: 618-621.

[4] SUN L W, FREDERICK V M. Design and development of a Da Vinci surgical system simulator[C]//IEEE International Conference on Mechatronics and Automation. Harbin, China, 2007: 1050-1055.

[5] 李所軍, 高海波, 鄧宗全. 搖臂探測車懸架多工況拓撲結構優化設計[J]. 哈爾濱工程大學學報, 2010, 31(6): 749-754.

LI Suojun, GAO Haibo, DENG Zongquan. Structural topology optimization design of the rocker-bogie suspension for exploration rover based on multiple load cases[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2010, 31(6): 749-754.

[6] 賈世元，賈英宏，徐世杰. 基于姿態可操作度的機械臂尺寸優化方法[J]. 北京航空航天大學學報, 2015, 41(9): 1693-1700.

JIA Shiyuan, JIA Yinghong, XU Shijie. Dimensional optimization method for manipulator based on orientation manipulability[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2015, 41(9): 1693-1700.

[7] 丁淵明, 王宣銀. 串聯機械臂結構優化方法[J]. 浙江大學學報：工學版, 2010, 44(12): 2360-2364.

Ding Yuanming, WANG Xuanyin. Optimization method of serial manipulator structure[J]. Journal of Zhejiang University：Engineering science, 2010, 44(12): 2360-2364.

[8] 岳龍旺, 許天春, 贠今天. “妙手”系統機械結構設計與優化[J]. 機器人, 2006, 28(2): 154-159.

YUE Longwang, XU Tianchun, YUN Jintian. Mechanism design and optimization for “MicroHand” system[J]. Robot, 2006, 28(2): 154-159.

[9] 楊世強, 王蓓蓓. 輕型機械臂的輕量化結構設計優化方法[J]. 中國機械工程, 2016, 27(19): 2575-2580.

YANG Shiqiang, WANG Beibei. Lightweight structure design and optimization method for a light mobile manipulator[J]. CHINA mechanical engineering, 2016, 27(19): 2575-2580.

[10] 馬如奇, 董為, 杜志江, 等. 主被動混合式微創手術機械臂機構設計及靈巧度優化[J]. 機器人, 2013, 35(1): 81-89.

MA Ruqi, DONG Wei, DU Zhijiang, et al. Mechanical design and dexterity optimization for hybrid active-passive minimally invasive surgical manipulator[J]. Robot, 2013, 35(1): 81-89.

[11] 王宏民, 閆志遠, 李勇, 等. 微創腹腔外科手術機器人主操作手優化與分析[J]. 哈爾濱工程大學學報, 2013, 34(10): 1310-1316.

WANG Hongmin, YAN Zhiyuan, LI Yong, et al. Optimization and analysis on master manipulator of laparoscopic surgery robot[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2013, 34(10): 1310-1316.

[12] 趙凱, 付宜利, 牛國君, 等。 腹腔微創手術機器人的結構設計與尺寸優化[J]. 華中科技大學學報(自然科學版), 2013, 41(z1): 324-328.

ZHAO Kai, FU Yili, NIU Guojun, et al. Mechanical design and dimensional optimization of minimally invasive celiac surgical robot[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology(Nature Science Edition), 2013, 41(z1): 324-328.

[13] SURBHI G, SANKHO T S, AMOD K. Design optimization of minimally invasive surgical robot[J]. Applied soft computing, 2015, 32: 241-249.

[14] 石志新, 羅玉峰, 陳紅亮, 等. 機器人機構的全域性能指標研究[J]. 機器人, 2005, 27(5): 420-422.

SHI Zhixin, LUO Yufeng, CHEN Hongliang, et al. On global performance indices of robotic mechanisms[J]. Robot, 2005, 27(5): 420-422.

本文引用格式：

于凌濤， 楊景， 王嵐， 等. 基于靈巧度的手術機械臂尺寸與結構優化[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017， 38(12): 1943-1950.

YU Lingtao, YANG Jing, WANG Lan, et al. Dexterity-based optimization of dimension and structure for a surgical robot[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(12): 1943-1950.