挖深式消力池深度的顯式試算法

韓玖龍 ，孫 鵬 ，張志昌

（1.陜西省鎮坪縣水利局，陜西 鎮坪，725600；2.西安景天水利水電勘測設計咨詢有限公司，陜西 西安710016；3.西安理工大學，陜西 西安710048）

0 前言

底流消力池有三種形式，即挖深式消力池、消力坎式消力池和綜合式消力池。其中挖深式消力池的深度相對于消力坎式消力池坎高的水力計算更為復雜。

挖深式消力池水力計算的主要任務是確定消力池的深度和消力池的長度。對于消力池的長度已有許多經驗公式，本文不予討論。對于消力池的深度，我國的水力學教科書[1][2]以及水利行業標準上均采用試算法[3-4]。該方法理論上成熟，方法上可靠，精度高，缺點是試算比較麻煩。所以許多學者試圖對其進行簡化計算。早在1938年，前蘇聯的A.A烏根秋斯就對挖深式消力池做了簡化計算，他將試算法轉化為烏根秋斯曲線圖[5]，實際上就是圖解法。烏根秋斯的圖解法存在較大的誤差，筆者根據烏根秋斯圖解法的習題，用試算法求得的值比烏根秋斯曲線相差了32%。張志昌根據消力池深度計算的基本公式，通過分析給出了消力池深度的迭代計算方法[6]，該方法計算簡單，精度與試算法完全一致。Husain給出了一個計算消力池深度的簡單方法[7]，文獻[6]的驗證結果表明，該方法與試算法相差26.4%。Forster也給出了一個簡化計算公式[8]，該公式將消力池相對深度d/hc1化為躍前斷面弗勞德數Fr1的函數，公式看似簡單，但由于躍前斷面弗勞德數Fr1與消力池深度有關，所以計算時仍需試算，且計算精度很差，文獻[6]的驗證結果表明，該公式與傳統試算法甚至相差了62%。黃朝煊研究了消力池最不利條件下池深的極值[9]，給出了躍后相對水深與相對單寬流量的經驗公式，公式是假設一個消力池深度，求出躍前斷面的總水頭，然后直接求解躍后水深，但由于消力池深度隱含在公式中，所以仍需要試算才能確定消力池深度。倪漢根在擊波、水躍、跌水、消能一書中介紹了Hager等計算消力池深度的新方法[10]，Hager等稱這種方法為階控水躍，有三種計算方法。階控水躍在計算時需先確定水躍長度、水體的重量修正系數和躍后斷面的動水壓力修正系數。在計算消力池深度時，仍要先假設一個消力池深度d，然后依次計算躍前水深hc1、躍前斷面的弗勞德數Fr1、動水壓力修正系數、水躍長度Lj、水躍共軛水深比h2/hc1，將計算的水躍共軛水深比h2/hc1和下游水深ht與躍前水深hc1的比值ht/hc1相比較，如果ht/hc1>h2/hc1，水躍已經淹沒，只要淹沒系數σj在合理的范圍內，消力池深度d即為所求，如不在合理的范圍內，則需重新假設消力池深度d，重復上面的計算過程，直到達到所需的精度為止。Hager等計算消力池深度的過程十分繁瑣，但其優點是只要先假設一個消力池深度d，以后的計算均為顯式計算，不需要試算，也不需要迭代。階控水躍計算消力池的深度與傳統的試算法有一定的差距，Hager等自己提出的三種計算方法的計算結果也差距較大，例如文獻[10]給出的例題中，一種計算方法得到水躍的共軛水深比為3.26，另一種算法則為3.68，相差了11.4%，可見用階控水躍計算消力池深度的方法還值得進一步商榷。

1 顯式計算方法

挖深式消力池如圖1所示。圖中0-0線為原河床地面線，0'-0'線為挖深后的護坦底面線。當池中形成淹沒水躍后，水流出池時，其水流現象類似于寬頂堰的水流現象，水面跌落高度為Δz，然后與下面水面相銜接。

圖1 挖深式消力池剖面圖

未設消力池時，設原河床以上總水頭為E0，收縮斷面水深為hc，溢流壩的流速系數為，溢流面的單寬流量為q，寫上游水庫與收縮斷面的能量方程得

躍后共軛水深為設消力池后，設消力池的深度為d，以消力池底板算起的上游總水頭為T0，收縮斷面水深為hc1，則：

由圖 1的幾何關系可得：hT=σ1hc1"=d+ht+Δz （5）

式中，ht為下游水深；為水面跌落高度，其計算式為：

式中，φ'為消力池的流速系數。

對上式求導數并令其為零，求得0≤hc1/T0≤2/3，代入上式得η的取值范圍0≤η≤0.14815。

公式（9）為一元三次方程。一元三次方程的傳統解法為卡丹公式。近年來我國學者范盛金提出了一元三次方程的簡化計算方法，稱為盛金公式[11]，盛金公式比卡丹公式在判別式的選擇和計算方面都要簡單。

本文用盛金公式對式（9）求解得：

式中，θ=arccos（-1+27η/2）。

因為，代入式（4）并將公式無因次化得：

式（11）即為計算躍后斷面相對水深的計算公式。

將式（6）代入式（5）整理得：

對上式無因次化得：

令k=d+ht+q2/[2g（φ'ht）2]/（σjT0）代入式

（12）得：（h"c1/T0）3-k（h"c1/T0）2+λ=0 （13）

對上式求導數，并令其等于零得：

對上式求解得 0≤（h"c1/T0）≤2k/3，代入式（13）得 0≤λ≤4k3/27。

由式（13）可以看出，一元三次方程的系數 a=1、、c=0、d=λ，根據盛金公式求解公式（13），其判斷式為：

將0≤λ≤4k3/27代入上式判斷，在λ=0和λ=4k3/27時，Δ=B2-4AC=0，這兩種極端情況一般很少發生。當0＜λ＜4k3/27時，Δ=B2-4AC=81λ-12k3λ＜0。所以公式（13）的解為：

式中，α=arccos[-1+27λ/（2k3）]。

令公式（11）和公式（14）相等得：

公式（15）看似簡單，實際上 η、k、α均含有消力池深度 d、是一個隱函數關系式，無法直接求出d。但在計算中只要假設一個d，就可以依次求出 η、θ、k、λ、α，再由公式（10）求出 hc1/T0，由公式（11）求 h"c1/T0，由公式（14）求出另一個 h"c1/T0，如果公式（11）和公式（14）求得的h"c1/T0相等，消力池深度d即為所求。以上計算過程均為顯式計算，即顯式試算法，較傳統試算法計算公式簡單、計算過程方便。

2 顯式試算法應用舉例

某溢流壩為WES剖面，壩頂部設閘門控制流量。已知壩頂部水頭H=3.2 m，下泄的單寬流量q=6 m3/（s·m），相應的下游水深ht=3.05 m。已知壩高P=P1=10 m，溢流壩的流速系數φ=0.90，消力池的流速系數φ'=0.95，試判斷是否需要修建消力池，若需設置消力池，試設計一降低護坦式消力池，求消力池的深度d。

計算步驟：

1）判別壩下游水躍的銜接形式

因為下游壩高P1=10m＞1.33H=1.33×3.2=4.26m，為高壩，可不計行近流速水頭，即取H0=H=3.2m。

2）判斷是否需要修建消力池：

因為hc

"=3.9709＞ht=3.05，所以需要修建消力池。

3）消力池深度的計算

首先估算消力池的深度。消力池深度的估算公式是從式（5）得來的，假設不考慮消力池后的水面降落，則消力池的估算深度為：

已知下游水深為ht=3.05m，所以第一次試算的消力池深度為：

下面求消力池的深度。假設 d=1.12m，求參數 T01、η、θ、κ、λ、α：

η=q2/（2gφ2T301）=62/（2×9.8×0.92×14.323）=7.72205×10-4由公式（11）求得：

由公式（11）求得 h"c1/T01：

可以看出，公式（11）和公式（14）求得的值不相等，需重新假設d，重復上面的計算過程。現列表計算。在計算時用Excel列表，表中 q、E0、φ、σj、φ'、ht為已知值。再在表中列入需要計算的值 T0、η、θ、hc1/T01、h"c1/T01、k、λ 和 α 和的計算公式。計算時只改變一個參數就是消力池深度d，然后用鼠標下拉，即可得到計算值。

表1 用公式（11）計算躍后水深表

表2 用公式（14）計算躍后水深表

對比表1和表2可以看出，當d=1.103025m時，表1和表2計算的值相同，所以取d≈1.103m即為消力池深度。此算法與試算法的計算結果完全相同，但計算過程均為顯式計算，比試算法簡單的多。

3 結語

消力池深度傳統試算法的優點是公式物理意義明確，計算精度高。缺點是消力池的躍前斷面水深在計算過程中為隱函數關系式，每假設一個消力池深度，都需通過試算或迭代計算求得躍前斷面水深，然后才利用其他公式求消力池的深度，計算過程比較復雜。Hager提出了消力池深度的階控水躍算法，其優點是計算中先假設一個消力池深度，以后的計算均為顯式計算，克服了試算的困難，缺點是計算過程中需先確定水躍長度、水體的重量修正系數和躍后斷面的動水壓力修正系數，然后才能計算消力池的深度，計算公式多，計算過程較繁。本文受Hager階控水躍計算方法的啟發，從計算消力池深度的基本公式出發，利用范盛金求解一元三次方程的方法，給出了計算躍前斷面水深的顯式計算公式，從而實現了計算消力池深度的顯式試算法，此試算法比傳統試算法和Hager階控水躍算法簡單、方便。

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