一類具有非瞬時脈沖的分數階微分方程積分邊值問題解的存在性

, ,

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

1 問題的提出

近年來,分數階微分方程在現代科學技術領域的應用日益廣泛,其理論研究也取得了巨大的進展[1-8].作為刻畫突變現象的脈沖微分方程在電子技術及通訊工程等方面發揮了巨大的作用,瞬時脈沖理論也受到人們的關注[9-13].在生物技術及醫藥工程領域存在著大量的非瞬時脈沖現象[14-20],對這類現象進行研究具有重要意義.本文研究一類具有非瞬時脈沖的分數階微分方程積分邊值問題

(1)

定義空間:PC(J,):={u:J→存在,且取范數‖u‖PC=則PC(J,)為Banach空間.

H0g∈L1(J),且ρ≠0.

2 預備知識與引理

有關分數階微積分的定義可參見文獻[1-4].

定義1設u∈PC(J,),若u滿足邊值問題(1)中的各等式,則稱u是邊值問題(1)的一個解.

引理1[4]假設y∈L[0,1],且1<α<2,那么,Cauchy問題

(2)

有解,且以下列形式給出:

推論1假設y∈L[0,1],且1<α<2,那么,Cauchy問題

(3)

存在唯一解

引理2對任意的y∈L1[0,1],且H0成立,則邊值問題

(4)

存在唯一解

u(t) =v(t)+G(t)

(5)

其中

(6)

(7)

(8)

根據邊界條件u(0)=0,可得c0=0,故

(9)

考慮 Cauchy問題

(10)

類似地,當t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

因此,

另一方面,

將上式代入式(9),可得式(5)成立,即引理2得證.

經過化簡與計算,易得下面的引理3和引理4.

引理3對任意的s∈J,有以下不等式成立:

為了方便起見,記

根據式(7),容易證明引理4成立.

引理4對任意的t∈J,不等式|G(t)|≤N2成立.

定義算子A:PC(J,)→PC(J,).

(11)

記

Tu(t) =Au(t)+G(t)

(12)

引理5若假設H0成立,則算子T:PC(J,)→PC(J,)全連續.

證明首先,證明T為連續算子.

設un,u∈PC(J,),n=1,2,…, 且‖un-u‖PC→0(n→), 即對任意的t∈J,有un(t)→u(t)(n→),由于f是連續函數,則|f(s,un(s))-f(s,u(s))|→0,n→.

故根據Lebesgue控制收斂定理,可得

因此,當t∈[0,t1]時,結合引理3的a,可得

當t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tun(t)-Tu(t)|=0.

類似可得,當t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

即有‖Tun-Tu‖PC→0(n→), 因此,T連續.

其次,證明T是緊的.

設B?PC(J,)為有界集,則存在r>0,使得對任意的u∈B,有‖u‖PC≤r,記則當t∈[0,t1]時,結合引理3的a與引理4,可得

當t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tu(t)|=|hk(t)|≤Mh.

當t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

因此,T(B)一致有界.

即T(B)等度連續.由Arzela-Ascoli定理可知T是緊的.

綜合以上討論,T是全連續算子.

3 邊值問題解的存在性與唯一性

假設:

H1 存在非負函數a0,a1∈C[0,1], 常數σ>0, 使得對任意的t∈J及任意的x∈,有

H2 存在非負函數R∈C[0,1],使得對任意的t∈J及任意的x,y∈,有

|f(t,x)-f(t,y)|≤R(t)|x-y|

記‖a0‖‖R‖

定理1假設H0,H1成立,且0<σ<1, 則邊值問題(1)至少存在1個解.

證明取r1≥max{Mh,2(N0‖a0‖

令D={u∈PC:‖u‖PC≤r1},則D為PC(J,)中非空有界閉凸集.

對任意的u∈D,當t∈[0,t1]時,結合引理3的b、引理4以及1<α<2,可得

當t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tu(t)|=|hk(t)|≤Mh≤r1.

當t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

因此,‖T‖PC≤r1, 故T(D)?D.由引理5可知T全連續,故由Schauder不動點定理可知T在D中至少存在1個不動點,即邊值問題(1)在PC(J,)中至少存在1個解.

定理2假設H0,H1成立,如果σ=1,且0

當t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tu(t)|=|hk(t)|≤Mh≤r2.

當t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

|Tu(t)|≤|Au(t)|+|G(t)|≤

N1‖a0‖+N2+r2N1‖a1‖≤r2

因此,‖T‖PC≤r2, 故T(D)?D.由引理5可知T全連續,故由Schauder不動點定理可知T在D中至少存在1個不動點,即邊值問題(1)在PC(J,)中至少存在1個解.

定理3假設H0,H2成立,如果0

證明對任意的u1,u2∈PC(J,),當t∈[0,t1]時,

當t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tu2(t)-Tu1(t)|=0.

當t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

因為,0

4 例 子

考慮邊值問題

(13)

綜上可知定理1的所有條件均滿足,根據定理1可知邊值問題(13)至少存在1個解.

[1] 白占兵.分數階微分方程邊值問題理論及應用[M].北京:中國科學技術出版社,2013.

[2] 鄭祖庥.分數微分方程的發展和應用[J].徐州師范大學學報(自然科學版),2008,26(2):1-10.

[3] PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].New York:Academic Press,1999.

[4] KILBAS A A,SRIVASTAVA H M,TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations[M].Amsterdam:Elsevier,2006.

[5] KOU C H,ZHOU H C,YAN Y.Existence of solutions of initial value problems for nonlinear fractional differential equations on the half-axis[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,2011,74(17):5975-5986.

[6] 李燕,劉錫平,李曉晨,等.具逐項分數階導數的積分邊值問題正解的存在性[J].上海理工大學學報,2016,38(6):511-516.

[7] 劉帥,賈梅,秦小娜,等.帶積分邊值條件的分數階微分方程解的存在性和唯一性[J].上海理工大學學報,2014,36(5):409-415.

[8] 竇麗霞,劉錫平,金京福,等.分數階積分微分方程多點邊值問題解的存在性和唯一性[J].上海理工大學學報,2012,34(1):51-55.

[9] 張莎,賈梅,李燕,等.分數階脈沖微分方程三點邊值問題解的存在性和唯一性[J].山東大學學報(理學版),2017,52(2):66-72.

[10] WANG J R,LI X Z,WEI W.On the natural solution of an impulsive fractional differential equation of orderq(1,2)[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2012,17(11):4384-4394.

[11] LIU X P,JIA M.Existence of solutions for the integral boundary value problems of fractional order impulsive differential equations[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences,2016,39(3):475-487.

[14] HERNANDEZ E,O′REGAN D.On a new class of abstract impulsive differential equations[J].Proceedings of the American Mathematical Society,2013,141(5):1641-1649.

[15] PIERRI M,O′REGAN D.ROLNIK V.Existence of solutions for semi-linear abstract differential equations with not instantaneous impulses[J].Applied Mathematics and Computation,2013,219(12):6743-6749.

[16] GAUTA G R,DABAS J.Mild solutions for class of neutral fractional functional differential equations with not instantaneous impulses[J].Applied Mathematics and Computation,2015,259(15):480-489.

[17] AGARWAL R,O′REGAN D,HRISTOVA S.Monotone iterative technique for the initial value problem for differential equations with non-instantaneous impulses[J].Applied Mathematics and Computation,2017,298(1):45-56.

[18] WANG J R,ZHOU Y,LIN Z.On a new class of impulsive fractional differential equations[J].Applied Mathematics and Computation,2014,242(1):649-657.

[19] LIN Z,WANG J,WEI W.Multipoint BVPs for generalized impulsive fractional differential equations[J].Computers and Mathematics with Applications, 2015, 258: 608-616.

[20] WANG J R,ZHANG Y.A class of nonlinear differential equations with fractional integrable impulses[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, 19: 3001-3010.