線性變換張量積的Jordan-Chevalley分解

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(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

1 張量積的基本性質(zhì)

在李理論中,Jordan-Chevally分解指出任意一個(gè)線性變換可唯一地表示成它的可交換的半單部分和冪零部分的和[1].文獻(xiàn)[2] 指出該分解存在當(dāng)且僅當(dāng)所討論的基域完備.線性變換張量積在數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用,而2個(gè)線性變換張量積的Jordan-Chevalley分解理論目前國內(nèi)外研究還比較少,本文將在代數(shù)閉域上探討2個(gè)線性變換張量積的Jordan-Chevalley分解,首先通過矩陣表示討論2個(gè)線性變換張量積的一些基本性質(zhì),接著證明該張量積的Jordan-Chevalley分解的唯一存在性,并利用這些結(jié)論給出具體表達(dá)式.

定義1[3]設(shè)是代數(shù)閉域,V,W是域上的有限維向量空間,且dimV=m,dimW=n.?x0∈V,y0∈W都有唯一的積z=x0?y0與之對應(yīng),并且對于固定y0,x0與z的對應(yīng)是線性的; 對于固定x0,y0與z的對應(yīng)是線性的.這種對應(yīng)關(guān)系稱為V與W的張量積,記為V?W,它構(gòu)成一個(gè)向量空間.

性質(zhì)1[3]?x0,x1,x2∈V,y0,y1,y2∈W,a∈,

a.0?y0=x0?0=0;

b.(ax0)?y0=x0?(ay0)=a(x0?y0);

c.(x1+x2)?y0=(x1?y)+(x2?y0);

d.x0?(y1+y2)=(x0?y1)+(x0?y2).

性質(zhì)2[3]設(shè)BⅠ:{v1,…,vm}為V的一組基,BⅡ:{w1,…,wn}為W的一組基,則BⅢ:{vi?wj:i=1,…,m;j=1,…,n}為V?W的一組基,且dim (V?W)=mn.

性質(zhì)3[4](張量積的普遍性質(zhì)) 設(shè)φ:V×W→V?W是一個(gè)雙線性映射,對任意給定的向量空間Z,若存在一個(gè)雙線性映射h:V×W→Z,那么,存在唯一的線性映射h′:V×W→Z使圖1可交換,即h=h′°φ.

圖1 交換圖Fig.1 Commutative diagram

2 End (V?W)及其矩陣表示

定義2如果線性變換x的極小多項(xiàng)式無重根,稱x是半單的.如果討論的基域是代數(shù)閉域,等價(jià)于該線性變換的矩陣可對角化.

定義3如果存在正整數(shù)k,使得xk=0,那么,稱線性變換x冪零.

式中,δsk為Kronecker函數(shù).

定理1EndV?EndW?End (V?W)

證明對?x∈EndV,y∈EndW,定義映射Tx,y:V?W→V?W,滿足

Tx,y(v?w)=x(v)?x(w),?v∈V,w∈W

由張量積的性質(zhì)易驗(yàn)證Tx,y是線性的,即Tx,y∈End (V?W).再令

φ:EndV×EndW→EndV?EndW,

φ(x,y)=x?y

h:EndV×EndW→End (V?W),

h(x,y)=Tx,y

顯然,φ,h是雙線性的.由性質(zhì)3可知,存在唯一的線性映射h′:EndV?EndW→End (V?W),使得h=h′°φ.再取EndV的一組自然基eis:1≤i,s≤m,EndW的一組自然基fjt,1≤j,t≤n,根據(jù)性質(zhì)2,EndV?EndW有基eis?ftj,且

這說明{Teis,fjt|1≤i,s≤m,1≤j,t≤n}構(gòu)成End (V?W)的一組自然基,h′將EndV?EndW的基向量eis?ftj映到End (V?W)的基向量Teis,fjt,故h′是同構(gòu)映射,定理1得證.

由定理1可知,可以將EndV?EndW中的元與End (V?W)中的元等同起來,即?z∈End (V?W),存在x∈EndV,y∈EndW,使得z=x?y且(x?y)(v?w)=x(v)?y(w).

引理1[5]若x∈EndV在基BⅠ下的矩陣為A,y∈EndW在基BⅡ下的矩陣為B,則x?y在基BⅢ下的矩陣為A?B,即A與B的Kronecker積.具體地,若A=[aij]m×n,B=[bij]p×q矩陣,則

現(xiàn)探討A?B的一些相關(guān)性質(zhì),根據(jù)線性變換與矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系,x?y有對應(yīng)的性質(zhì)4～8.

性質(zhì)4[5]a.(A?B)(C?D)=(AC)(BD); b.A?B可逆當(dāng)且僅當(dāng)A,B可逆,且(A?B)-1=A-1?B-1.

性質(zhì)6若A和B都是可對角化的矩陣,則A?B也可對角化.

證明因?yàn)?A,B可對角化,則存在可逆的矩陣P和Q,使得P-1AP=Λ1,Q-1BQ=Λ2,其中,Λ1,Λ2是對角矩陣,由性質(zhì)4可得

所以,

(P?Q)-1(A?B)(P?Q)=Λ1?Λ2

顯然,Λ1?Λ2仍是對角矩陣.

性質(zhì)7[7-8]A?B冪零當(dāng)且僅當(dāng)A和B中至少一個(gè)冪零.

證明一個(gè)矩陣冪零當(dāng)且僅當(dāng)它的所有特征值為0.現(xiàn)設(shè)α1,…,αm是矩陣A的所有特征值,β1,…,βn是矩陣B的所有特征值,由性質(zhì)5可知,A?B的特征值為{αiβj:1≤i≤m;1≤j≤n} .

充分性:若A,B中至少一個(gè)冪零,那么,所有的α1,…,αm為0,或者,所有的β1,…,βn為0,這使得的所有A?B特征值都為0,從而A?B冪零.

必要性:若A?B冪零,但A和B都不冪零,則一定存在某個(gè)αi和βj都不為0,從而αiβj不為0,這與A?B是冪零的條件矛盾.

性質(zhì)8若矩陣A與C可交換,矩陣B與D可交換,則A?B與C?D可交換.

證明若AC=CA,BD=DB,則(A?B)(C?D)=(AC)(BD)=(CA)(DB)=(C?D)(A?B).

3 x?y的Jordan-Chevalley分解

定理2設(shè)V,W是代數(shù)閉域上的2個(gè)有限維向量空間,則?x?y∈End (V?W)有唯一的Jordan-Chevalley分解:x?y=(x?y)s+(x?y)n,其中,(x?y)s是半單部分,(x?y)n是冪零部分,且(x?y)s和(x?y)n可交換.

證明設(shè)α1,…,αk是x的互不相同的特征值,重?cái)?shù)為m1,…,mk;β1,…,βs是y的互不相同的特征值,重?cái)?shù)為n1,…,ns.由性質(zhì)5可知,x?y有特征多項(xiàng)式

p(T)≡λu(mod (T-λu)lu)

p(T)≡0(modT)

設(shè)q(T)=T-p(T),顯然,p(T),q(T)是關(guān)于T的常數(shù)項(xiàng)為0的多項(xiàng)式.令

(x?y)s=p(x?y),(x?y)n=q(x?y)

則x?y,(x?y)s和(x?y)n可兩兩交換.對?u,p(T)≡λu(mod(T-λu)lu)意味著(x?y-λuidV?W)限制作用到(V?W)u為零變換,因此,(x?y)s對角地作用在(V?W)u上,其特征值只有λu.又(x?y)n=(x?y)-(x?y)s,顯然,(x?y)n是冪零的.現(xiàn)證唯一性[7],若x?y還存在另一個(gè)Jordan-Chevalley分解x?y=s+n,s半單,n冪零,且sn=ns,則有(x?y)s-s=n-(x?y)n,又因?yàn)榭山粨Q的半單或者冪零的線性變換和還是半單或者冪零的,因此,(x?y)s-s=n-(x?y)n既半單又冪零,只可能為0,因此,s=(x?y)s,n=(x?y)n.

定理3若x的Jordan-Chevalley分解為x=xs+xn,y的Jordan-Chevalley分解為y=ys+yn,那么,x?y的Jordan-Chevalley分解的半單部分是xs?ys,冪零部分是xs?yn+xn?ys+xn?yn.

證明因?yàn)?x?y=(xs+xn)?(ys+yn)=xs?ys+xs?yn+xn?ys+xn?yn,由性質(zhì)6可知,xs?ys是半單的,由性質(zhì)7可知,xs?yn、xn?ys,xn?yn是冪零的,由性質(zhì)6可知,xs?ys,xs?yn,xn?ys和xn?yn是兩兩可交換的,所以,它們的和xs?yn+xn?ys+xn?yn還是冪零的,且與xs?ys可交換.由Jordan-Chevalley分解的唯一性可得

(x?y)s=xs?ys

(x?y)n=xs?yn+xn?ys+xn?yn

由定理3可知,對任意給定的正整數(shù)k,可得

(x?y)k=xk?yk=(xs+xn)k?

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