淺析三角函數公式的運用

福建省三明市第九中學 周 赟

縱覽全國近五年的試卷，可以發現解答題對數列和三角函數這兩塊主干知識的考查是交替出現的.全國卷除側重于解三角形，一般都考查基礎知識和基本技能，難度屬中、低檔，解答題題序相對穩定，那么我就三角函數的幾個考查熱點進行簡單的分析.

縱觀2011年～2015年全國新課標（Ⅰ）卷，高考試題對三角函數部分的考查，本文就選取以下三個熱點進行簡單的分析：

（1）任意角的三角函數；

（2）應用同角變換、誘導公式、兩角和與差的三角函數公式；求值和等式證明問題；

（3）三角函數概念的理解.

1.三角函數內容最大的特點就是公式多，變換的形式和方法多，如何找準方向，靈活運用三角函數公式，使學生學會公式的“正用、逆用、變用、巧用”是解題的關鍵.

例1．設α為銳角，若則的值為_____．

解：∵α為銳角，即，

2.存在問題：這道填空題必須注意三角函數的化簡、求值，觀察已知與未知之間的差異，聯想公式的內在聯系，通過拆、配等方法分析和解決問題.但在實際教學中，本題角的關系相對隱蔽，想要發現它們的內部共同特征是不容易的，如果發現不了這個公式的本質聯系就不能有效地實現配角、湊角.

教學實錄：對例1.學生主要出現三種思路：

經過換元，變逆向問題為正向問題，解題的方法一目了然，不用配湊，直接運用公式進行計算的步驟，我們都知道其實算法的核心思想就是可以找到解決問題的通解通法.在我們的日常教學中，解決問題的方法要爭取到算法這個層次，形成通法通性.我們觀察到課本中經常出現的有關湊角，配角，整體代換的運用，那么我們到了復習課上仍然有很大一部分同學使用思路1在解題，那么問題就來了，我們的學生為什么就想不到整體換角這個思路呢？我想這里最為客觀的一個原因是我們在教學中沒有足夠重視課本的教學，從而忽視對課本的深度開發與發掘.

又如例2《.必修4》習題3.1A組第4題：

例 2. 已知α，β都是銳角，

實際上上面2個例子在本質上是同一類型的題目，一樣可以將α+β看作一個整體，引入一個記號γ來表征，即設α+β=γ，則α=γ-β這樣，例 2就可以改寫為：已知為銳角，求 cos（γ-α）的值.

例題1是讓學生直接運用公式解題，而例題2是想通過角的“整體”代入后再運用公式解決問題，后面的問題是前面問題的自然拓展.有了初步的認知我們就可以更進一步去引導學生使用角的整體代換這一方法，從而去發現問題的本質.

那么接下來我們繼續深入的挖掘課本資源，課本中在用向量數量積的方法推導出兩角差的余弦公式 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，用 -β代換β，得到 cos（α+β）=cos[α-（-β）]=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ，推導出兩角和的余弦公式co（sα+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.運用單位圓的三角函數定義推導出誘導公式代換α，得即同樣也推導出兩角和的正弦公式

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

上面用-β代換代換α，都體現了變量代換的數學思想方法，故在教學中我們要一步一步的去引導學生用變量的思想來解公式中的角——公式中的角某某其實就是一個數，一個式子而已.考試大綱中要求學生學會推導和差化積的這個公式.

有以上的這些認識，大家就尋找到角代換方法的著陸點.

3.教學反思：對數學公式的教學要多比較各種方法的優劣，抓住問題的本質，加深學生印象.并及時總結出常見角的變換方法有等等.可以在課堂上讓學生熟悉一些常見的恒等變形代換，如“1”的 代 換 ，1=cos2θ+sin2θ=tanθ·cotθ=tan45°，又如分拆項：2sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）+sin2x=1+sin2x，引入輔助角把不同名函數化同名函數等，有利于培養學生化歸與轉化思想，培養學生的計算能力及逆向思維能力，克服逆用公式這一困難，靈活運用公式.

開拓學生思維，培養學生的數學思想方法是問題的關鍵.在平時的教學中，教師要注意教學思維訓練，克服單向性、定向性.通過訓練讓學生親自體驗如何利用角之間的倍、半、和、差等關系進行變角，如何將條件角轉化為目標角，將目標角用條件角表達，如何進行降冪與升冪、切化弦、常值代換等.而且把這些訓練滲透到平時的教學中，并注意引導學生進行及時總結歸納，提高學生對問題分析及對知識的靈活應用的能力.

1.三角函數的坐標定義是研究三角函數的基礎，如三角函數的符號，同角三角函數公式的推導，三角函數的圖像都是與定義或其幾何意義緊密聯系.

例 3.在平面直角坐標系中，O（0，0），P（6，8），將向量按逆時針旋轉

后，得向量—O→Q則點Q的坐標是（ ）

本題體現三角函數與向量的內在聯系.入口寬，方法多，活而不難，注重通性通法，淡化特殊技巧，突出了對學生靈活運用知識能力的考查，將向量的旋轉與三角函數定義結合. 可設則

2.存在問題：學生對如何利用單位圓“活化”三角函數的有關知識，感到困惑.在教學中重視利用三角函數線直觀展示其定義域、值域、單調性、周期性、最值、對稱性等，進一步指出兩角和與差的三角函數公式是“圓的旋轉對稱性”的解析表述.讓學生理解三角函數的圖像與性質即是單位圓的性質的體現.課堂教學中以“已知，求證：sinα＜α＜tanα”為例加強訓練.

3.教學反思：三角公式的確多，在平時的教學中除了引導學生記憶、運用公式外，應重視數學概念的教學.引入“單位圓定義法”是新教材內容，可以幫助學生直觀而具體認識任意角三角函數概念，也能使我們方便地采用數形結合的思想討論三角函數的定義域、值域、函數值符號的變化規律、同角三角函數的基本關系式、最值、誘導公式、周期性、單調性，應注重概念的生成發展過程，理解三角函數最本質的問題，注意引導學生突破定義，真正會運用定義解題.

[1]劉紹學等.普通高中課程標準實驗教科書——數學（必修4）.人民教育出版社.

[2]普通高中數學課程標準（實驗）.中華人民共和國教育部.人民教育出版社.