極點配置問題下二階系統研究現狀及發展動態分析

羅海林

摘要：極點配置問題常出現于控制結構系統中，是其中重要問題之一。極點配置問題的關鍵就是通過選取適當的狀態反饋矩陣，使得閉環控制系統中的矩陣所期望的極點配置到事先給定的位置上，從而保證整個系統具有良好的動態特性，即部分極點配置問題。

關鍵詞：極點配置;二階系統

0 引言

極點配置問題研究最早是由Wonham （1967）提出。早期學者主要研究的是在開環控制系統中極點的完全配置問題，但是在實際工程問題中，開環控制系統中僅有小部分極點是其產生共振現象的原因。因此我們只需重新配置這些點就可以避免共振的發生，如果剩余的特征結構仍然保持穩定性，那么就把這類問題叫做部分極點配置問題。

該問題就是通過狀態反饋控制將閉環系統中的不期望的極點配置成預期指定的極點，從而改善系統的性能，也就是通過修正外力控制，來引起開環系統矩陣的部分特征結構的變化。最近幾年還將二階系統問題的相關研究方法逐步推廣到了高階系統的部分極點配置問題中。本文的主要工作是對前人研究的問題和所用的方法做一個系統的歸納，為以后學者研究該問題提供參考和依據。

1 二階系統研究現狀及發展動態分析

1.1 研究背景

二階系統部分極點配置問題研究的是如下振動結構形式的有限元生成模型：

M₀v（t）+C₀v（t）+K₀v（t）=f（t）（1）

其中M₀，C₀和K₀分別表示質量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣，V（t）是n階狀態變量。然而這些系數矩陣具有以下特殊性質：①矩陣M正定，C和K半正定;②都是n階對稱矩陣。對于（1）式的一般解可由等式：

M₀v（t）+C₀v（t）+K₀v（t）=0（2）

確定。設v（t）=xe^λt，其中x∈C，λ∈Cⁿ，代入（2）得：

（λ²M+λC+K）x=0（3）

記P（λ）=λ²M+λC+K，那么就稱P（λ）為開環二次束。其中，特征值λ與自然頻率相關，特征向量表示（2）的模態振型，并且（3）式有2n個特征對，表示為{λ_t，x_i}i=1²n.

在實際工程中，為了避免系統的共振現象，一般是通過修正外力來改變P（λ）的部分特征結構，從而提高系統的穩定性。令

f（t）=Bu（t），u（t）=F^Tv（t）+G^Tv（t）（4）

其中B∈R^n×m為滿秩控制矩陣，u（t）∈R^m表示狀態反饋控制變量，F，G∈R^n×m表示反饋矩陣。結合上述（3）式，可以有下面的二階閉環控制結構系統：

My（t）+（C-BF^T）v（t）+（K-BG^T）v（t）=0（5）

對（5）式作上述同樣的變量分離，得到二階閉環系統的特征值問題模型：

P_c（λ）x=[λ²M+λ（C-BF^T）+（K-BG^T）x=0]

（6）

其中稱P_c（λ）=λ²M+λ（C-BF^T）+（K-BG^T）為閉環二次束。

1.2 文獻分析

Brahmaa和Datta研究的是在二次振動系統中最小范數優化和魯棒性的部分特征值配置問題。給定M，D和K對稱，M正定和K半正定。本文基于我們提出新的優化算法來解決這些問題，并且滿足無溢出條件。Yuan和Liu研究的是阻尼結構系統的一種迭代修正方法，使用了對稱特征值去重新配置。當給定系數矩陣M，D和K對稱，矩陣M非奇異，C=B^T時，使得BFB^T和BGB^T的范數同時達到最小。Ladaci和Bensalia研究的是基于自適應控制的間接分數階極點配置問題。本文由分數階極點位置提出一種間接自適應控制器，所提出的控制策略是基于自我調優控制結構和植物模型參數的在線估計，采用了遞歸最小二乘（RLS）算法，設計過程的目的是使控制裝置以改進的性能行為和對干擾和噪音具有良好的魯棒性作為參考。Liu和Yuan研究的是具有時間延遲的部分二次極點配置問題的多步方法。給定M，C和K都是實對稱矩陣，矩陣M正定，K非奇異，求解反饋矩陣F和G，并且保持無溢出。然而，多步方法的優勢在于不用敏感矩陣和解西爾維斯特方程。

1.3 有待進一步研究的問題

近些年，對干部分二次特征值配置問題研究取得了一定的成果。Yuan和Liu利用對稱特征結構配置研究了阻尼和剛度系數矩陣的修正問題的最佳逼近問題，提出了一種交替方向求解算法。對干部分二次極點的配置問題，當矩陣C對稱，M和K分別正定和半正定時，如何保持二次束結構的穩定性，甚至保證配置的無溢出性，這仍然是一個很具挑戰性的問題。

3 總結

本文對部分極點配置問題的理論與方法進行了歸納，內容主要包括：二階系統的研究背景、文獻分析以及有待進一步研究的問題。部分極點配置問題的核心是對影響整個系統性能因素的分析和控制，狀態反饋、時滯現象、解的優化等因素，這些問題有待進一步展開研究。

參考文獻

[1]Brahmaa S.，Datta B.，An optimization approach for minimumnorm and robust partial quadratic eigenvalue assignment prob-lems for vibrating structures，Journal of Sound and Vibration，2009（324）：471-489.

[2]Ladaci S.，Bensafia Y.，Indirect fractional order pole assignmentbased adaptive control，Engineering Science and Technology，anInternational Journal，2016（19）：518-530.

[3]Liu H.，Yuan Y.，A multi-step method for partial quadratic poleassignment problem with time delay，Applied Mathematics andComputation，2016（283）：29-35.

[4]Yuan Y.，Liu Hao，An iterative updating method for dampedstructural systems using symmetric eigenstructure assignment，Journal of Computational and Applied Mathematics，2014，（256）：268-277.