基于延遲矢量跟蹤環(huán)的變步長(zhǎng)LMS空時(shí)濾波算法

馮 丁

（太原師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，太原 030012）

隨著無(wú)線通信的發(fā)展，導(dǎo)航接收機(jī)所面臨的電磁波環(huán)境越來(lái)越復(fù)雜。增強(qiáng)導(dǎo)航接收機(jī)的抗干擾能力變得尤為迫切，空時(shí)聯(lián)合處理STAP算法作為當(dāng)前導(dǎo)航接收機(jī)最主要的抗干擾方法得到了廣泛關(guān)注[1-4]。STAP算法是在傳統(tǒng)的陣列天線的基礎(chǔ)上，在每個(gè)陣元上增加了相同數(shù)目的抽頭延遲，使得該算法在不增加陣元的情況下，同時(shí)對(duì)多種寬帶和窄帶干擾進(jìn)行抑制[5-6]。文獻(xiàn)[1]提出的STAP算法能夠有效地抑制部分多徑干擾；文獻(xiàn)[2]提出通過(guò)利用STAP算法能將各種干擾信號(hào)抑制在噪聲水平且不會(huì)對(duì)衛(wèi)星信號(hào)產(chǎn)生失真，但是這些算法都必須預(yù)先知道衛(wèi)星信號(hào)的波達(dá)方向；文獻(xiàn)[7-8]則提供了一種基于功率倒置的盲波束構(gòu)成算法，通過(guò)最小化輸出信號(hào)功率抑制干擾。這類(lèi)算法雖然不需要預(yù)先估計(jì)波達(dá)方向，但在抑制干擾的同時(shí)使期望信號(hào)嚴(yán)重受損，并且由于需要一個(gè)陣元作為參考陣元，導(dǎo)致陣列天線抗干擾數(shù)量減少[9]；文獻(xiàn)[10]則根據(jù)導(dǎo)航信號(hào)中（C/A）碼的時(shí)域結(jié)構(gòu)提出了輔助波束形成器的方法，并將陣列天線處理后的輸出信號(hào)作為參考信號(hào)。該方法雖然不需要預(yù)先確定期望信號(hào)的來(lái)波方向，但是從接收信號(hào)中獲得參考信號(hào)同樣十分困難；文獻(xiàn)[11]中提出將陣列天線與GPS/SINS組合系統(tǒng)相結(jié)合，利用衛(wèi)星星歷與GPS/SINS組合系統(tǒng)的輸出信息為波束形成來(lái)提供先驗(yàn)信息；文獻(xiàn)[12]則提出將延遲矢量跟蹤環(huán)（VDLL）的輸出信息用作盲波束形成中的參考信號(hào)，這2種方法保證即使在強(qiáng)干擾環(huán)境中，導(dǎo)航接收機(jī)仍能穩(wěn)定的工作。

空時(shí)聯(lián)合抗干擾處理算法的計(jì)算量大，干擾抑制的實(shí)時(shí)性較差，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種算法來(lái)降低計(jì)算的維度[13]。文獻(xiàn)[14]提出利用最小方差準(zhǔn)則來(lái)實(shí)現(xiàn)MSNWF，以使算法具有抗多徑干擾的效果；文獻(xiàn)[15]則提出利用壓縮感知的原理來(lái)減少采樣矩陣的維數(shù)，但這些算法往往實(shí)現(xiàn)困難。經(jīng)典的最小均方誤差自適應(yīng)算法（LMS）通過(guò)迭代的方法實(shí)現(xiàn)權(quán)值的求解，避免了矩陣求逆過(guò)程，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、不需要數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、計(jì)算量小。但是傳統(tǒng)的LMS算法收斂速度較慢，并且不能保證收斂速度和收斂穩(wěn)態(tài)誤差同時(shí)達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)，為了改善這一缺點(diǎn)，本文中以現(xiàn)有的變步長(zhǎng)LMS算法[16-18]為基礎(chǔ)，首次提出根據(jù)誤差信號(hào)自相關(guān)值來(lái)交替采用2種不同步長(zhǎng)迭代公式的方法實(shí)現(xiàn)變步長(zhǎng)LMS算法，稱之為ILMS算法。ILMS算法相比傳統(tǒng)的變步長(zhǎng)算法能夠在不增加算法復(fù)雜度的情況下，實(shí)現(xiàn)更快的收斂速度和更低的收斂穩(wěn)態(tài)誤差。

1 傳統(tǒng)的空時(shí)濾波處理

設(shè)有M個(gè)天線陣元，每個(gè)陣元通道后面接有P個(gè)抽頭延遲組成的P階FIR濾波器，則空時(shí)加權(quán)矩陣W為MP×1維。其中W可以表示為

X為陣列輸出信號(hào)可以表示為

空時(shí)權(quán)矢量W的最佳解為

式中：Rx和Rxd分別為輸入信號(hào)的自相關(guān)，輸入與期望信號(hào)的互相關(guān)。則空時(shí)二維加權(quán)輸出為

2 基于延遲矢量跟蹤環(huán)的變步長(zhǎng)LMS空時(shí)濾波算法——VD-ILMS算法

2.1 改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS算法——ILMS算法

式（3）是傳統(tǒng)STAP在理想情況下的權(quán)值求解公式，實(shí)際中很難實(shí)現(xiàn)，因?yàn)閰f(xié)方差矩陣Rx及其逆矩陣很難通過(guò)計(jì)算得到[19]。鑒于此，本文采用改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS算法來(lái)求解空時(shí)陣列加權(quán)值。

令空時(shí)濾波器輸入的參考信號(hào)為d（k）。空時(shí)濾波器的輸出信號(hào)為 y（k）=W（k）HX（k），空時(shí)濾波器輸出的誤差信號(hào)可以表示為

利用最陡下降法推導(dǎo)出W（k）的遞推公式為

式中：μ為常數(shù)，稱為收斂因子。

式（5）、式（6）為傳統(tǒng) LMS 算法的遞推公式，該算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差較差，為了改善這一缺點(diǎn)，本文在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上通過(guò)采用兩步迭代的方式來(lái)進(jìn)一步降低計(jì)算量，改善收斂性能。步長(zhǎng)更新公式為

式中：α為幅度加權(quán)因子，β為波形約束因子。

兩步迭代變步長(zhǎng)更新公式由k時(shí)刻和k-2時(shí)刻的輸入誤差信號(hào)e（k）和e（k-2）的相似度作為采用何種變步長(zhǎng)公式的判決條件，在算法收斂的起始階段，步長(zhǎng)變化μ（k）與輸入信號(hào)誤差自相關(guān)值e（k）e（k-1）的雙曲正切函數(shù)成正比，以便在輸入信號(hào)狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，算法能夠快速地進(jìn)行收斂。當(dāng)輸入的誤差信號(hào)滿足時(shí)，步長(zhǎng)變化與前一步長(zhǎng)因子μ（k-1）以及輸入信號(hào)誤差自相關(guān)值 e（k）e（k-1）相關(guān)，這樣可以在有效抑制不相關(guān)噪聲的同時(shí)減小穩(wěn)態(tài)誤差，使算法的收斂精度得到提高。

本文通過(guò)大量仿真分析了α和β取不同值時(shí)對(duì)迭代步長(zhǎng)的影響。圖1和圖2為α和β分別取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的 μ（k）與 e（k）的關(guān)系圖。

圖1 不同α值時(shí)，μ（k）的收斂曲線Fig.1 Convergence curves of μ（k） at different values of α

圖2 不同β值時(shí)，μ（k）的收斂曲線Fig.2 Convergence curves of μ（k） at different values of β

采用Monte Carlo的方法進(jìn)行多次仿真得出，當(dāng)幅度加權(quán)因子α不變時(shí)，波形約束因子β越大收斂速度越快，但是β＞20時(shí)，會(huì)導(dǎo)致在誤差較小情況下迭代步長(zhǎng)產(chǎn)生大的波動(dòng)從而影響收斂階段的穩(wěn)定性；當(dāng)波形約束因子β不變時(shí)，α影響迭代步長(zhǎng)的幅值范圍。α＞0.9時(shí)，初始迭代步長(zhǎng)較大，導(dǎo)致加權(quán)值可能無(wú)法收斂。因此本論文采用α＝0.9和β＝20進(jìn)行加權(quán)值的迭代計(jì)算。

經(jīng)過(guò)上述討論后的改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS空時(shí)濾波算法可以表示為

2.2 VDLL提供參考信號(hào)

本文中，盲波束形成的期望信號(hào)來(lái)自矢量跟蹤環(huán)路中生成的導(dǎo)航信息。由于濾波器位于載波同步之后，因此，參考信號(hào)可以表示為

式中：δτ為碼相位誤差。

經(jīng)過(guò)上述討論后得到VD-ILMS算法的原理如圖3所示。

圖3 VD-ILMS算法流程Fig.3 Flow chart of VD-ILMS

下文具體說(shuō)明矢量跟蹤環(huán)如何為盲波束形成器提供參考信號(hào)，步驟如下：

步驟1假定矢量跟蹤環(huán)在i時(shí)刻已經(jīng)跟蹤到了衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)，接收機(jī)運(yùn)動(dòng)模型以及位置已經(jīng)被初始化。

步驟2i+1時(shí)刻的接收機(jī)位置通過(guò)運(yùn)動(dòng)模型計(jì)算得出，i+1時(shí)刻的衛(wèi)星位置可以通過(guò)星歷求解。然后可以計(jì)算出（i+1）時(shí)刻的偽距

步驟3用來(lái)控制數(shù)控振蕩器產(chǎn)生k+1時(shí)刻的碼相位是導(dǎo)航碼的頻率，c0是光速。

步驟4在i+1時(shí)刻，加入干擾，k+1時(shí)刻估計(jì)的導(dǎo)航數(shù)據(jù)被用作盲波束形成器的參考信號(hào)。

步驟5陣列輸出y=WHX在相關(guān)運(yùn)算和碼相位鑒頻器中，計(jì)算出碼相位誤差δτk+1和偽距誤差

步驟6在導(dǎo)航濾波器中，用來(lái)估計(jì)接收機(jī)的位置誤差和時(shí)鐘誤差δbk+1。接收機(jī)位置通過(guò)更新，得到的被用來(lái)估計(jì) k+2 時(shí)刻的偽距

3 試驗(yàn)仿真

在試驗(yàn)仿真過(guò)程中采用均勻線陣的陣元數(shù)為8，抽頭延遲數(shù)為4，陣元間距為半波長(zhǎng)寬度，北斗導(dǎo)航信號(hào)的入射方位角選取0°，輸入信噪比為-30 dB，一次試驗(yàn)運(yùn)行1000次。收集2015年3月5日的衛(wèi)星星歷來(lái)計(jì)算偽距，接收機(jī)位于太原（經(jīng)度、緯度和高度分別為 37.8°N/112.5°E/5 m）， 以 10 m/s的速度沿直線運(yùn)動(dòng)。三個(gè)窄帶干擾在k+1時(shí)刻加入，干擾信號(hào)的入射方位角分別為-40°，-20°，60°，干擾噪聲比分別為30 dB，40 dB，和50 dB。我們主要從以下5個(gè)方面對(duì)改進(jìn)算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

3.1 VD-ILMS算法的干擾抑制能力

VD-ILMS算法的波束形成圖如圖4所示。仿真結(jié)果表明，本文提出的算法能夠在保證期望信號(hào)不受損失的情況下有效地抑制不同方向的窄帶干擾，干擾抑制能力的平均為-75 dB。

圖4 VD-ILMS算法的波束形成圖Fig.4 Beamforming diagram of VD-ILMS

3.2 ILMS算法計(jì)算復(fù)雜度分析

本文首先對(duì)幾種不同的步長(zhǎng)更新算法的計(jì)算復(fù)雜度作出分析，結(jié)果如表1所示。

表1 四種典型變步長(zhǎng)迭代算法的計(jì)算量對(duì)比Tab.1 Comparison of the computation of 4 typical variable step sizeiterative algorithm

從表1中可以看出本文提出的算法與VSSLMS算法，改進(jìn)的LMS算法有著相似的計(jì)算量，但是遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于RLS算法的計(jì)算量。如果采用陣元數(shù)M=8，每個(gè)陣元的延遲數(shù)為4，則本文算法所需要的乘法數(shù)為60，加法數(shù)為58，僅相當(dāng)于RLS算法的0.27%，0.41%，計(jì)算復(fù)雜度明顯降低。

3.3 ILMS算法收斂性能分析

下文分別對(duì)傳統(tǒng)LMS算法，RLS算法和本文提出的ILMS算法進(jìn)行收斂性能的仿真比較，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 三種算法的收斂曲線對(duì)比Fig.5 Comparison of convergence curves of the three algorithms

從圖5中收斂曲線可以得出：①I(mǎi)LMS算法在迭代50次時(shí)收斂，傳統(tǒng)LMS算法在迭代160次時(shí)收斂，RLS算法在迭代70次時(shí)達(dá)到收斂，本文提出的ILMS算法收斂速度明顯高于LMS算法和經(jīng)典的RLS算法；②改進(jìn)的ILMS算法的MSE收斂在0.05左右，LMS算法的MSE收斂在0.25左右，經(jīng)典的RLS算法的MSE收斂在0.06左右。在試驗(yàn)條件相同時(shí)（即相同的接收信號(hào)和干擾信號(hào)），ILMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差低于其他2種算法。

3.4 VD-ILMS跟蹤能力分析

圖6表明僅用ILMS算法在經(jīng)過(guò)400次采樣時(shí)能夠準(zhǔn)確地跟蹤到衛(wèi)星信號(hào)。圖7表明將本VDILMS算法準(zhǔn)確跟蹤到衛(wèi)星信號(hào)的采樣數(shù)為200次，相比于ILMS時(shí)間縮減一半，大大提高了算法的跟蹤速度。

圖6 ILMS算法跟蹤圖Fig.6 Tracking diagram of ILMS algorithm

圖7 VD-ILMS算法跟蹤圖Fig.7 Tracking diagram of VD-ILMS algorithm

4 結(jié)語(yǔ)

為了提高導(dǎo)航接收機(jī)的可靠性和抗干擾能力，本文提出了一種將VDLL與變步長(zhǎng)LMS算法相結(jié)合的抗干擾方法——VD-ILMS算法。該算法將VDLL的輸出信號(hào)用于盲波束形成的參考信號(hào)，然后利用改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS算法來(lái)抑制干擾和增強(qiáng)期望信號(hào)。本文中從5個(gè)方面對(duì)VD-ILMS算法進(jìn)行了仿真分析，分析結(jié)果表明VD-ILMS算法能夠在降低計(jì)算復(fù)雜度的前提下，增強(qiáng)算法的抗干擾能力，提高接收機(jī)的跟蹤速度。

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